理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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TSPのBellman-Held-Karpアルゴリズムの時間の複雑さ、テイク2
最近の質問では、BellmanとHeld-Karpに独立した、TSPの現在の古典的な動的プログラミングアルゴリズムについて説明しました。このアルゴリズムは、O （2 n n 2）時間で実行されることが広く報告されています。しかし、私の学生の一人が最近指摘したように、この実行時間には不当に強力な計算モデルが必要になる場合があります。O(2nn2)O(2nn2)O(2^n n^2) アルゴリズムの簡単な説明を次に示します。入力は有向グラフで構成さG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)とnnn頂点と非負の長さの関数ℓ:E→R+ℓ:E→R+\ell\colon E\to\mathbb{R}^+。任意頂点のsssとttt、および任意のサブセットバツXX除外すること頂点のsss及びttt、聞かせてL(s,X,t)L(s,X,t)L(s,X,t)からの最短ハミルトン経路の長さを示すsssにttt誘導された部分グラフでG[X∪{s,t}]G[X∪{s,t}]G[X\cup\{s,t\}]。Bellman-Held-Karpアルゴリズムは、次の再発に基づいています（または、経済学者や制御理論家が「ベルマンの方程式」と呼ぶのを好むように）。 L(s,X,t)={ℓ(s,t)minv∈X (L(s,X∖{v},v)+ℓ(v,t))if X=∅otherwiseL(s,X,t)={ℓ(s,t)if X=∅minv∈X (L(s,X∖{v},v)+ℓ(v,t))otherwise L(s,X,t) = \begin{cases} \ell(s,t) & \text{if $X = \varnothing_{\strut} $} \\ \min_{v\in X}~ \big(L(s, X\setminus\lbrace v\rbrace, v) + \ell(v,t)\big) & \text{otherwise} \end{cases} 頂点場合、最適な巡回セールスマンツアーの長さはです。最初のパラメーターsはすべての再帰呼び出しで定数であるため、\ Theta（2 ^ nn）個の異なるサブ問題があり、各サブ問題は最大でn個に依存します。したがって、動的プログラミングアルゴリズムはO（2 ^ nn ^ 2）時間で実行されます。sssL(s,V∖{s},s)L(s,V∖{s},s)L(s,V\setminus\{s\}, s)sssΘ(2nn)Θ(2nn)\Theta(2^n n)nnnO(2nn2)O(2nn2)O(2^n n^2) それともそれ！？ 標準整数RAMモデルでは、O(logn)O(log⁡n)O(\log n)ビットを使用して整数を一定時間操作できますが、少なくとも算術演算と論理演算では、大きい整数をワードサイズのチャンクに分割する必要があります。（そうでなければ、奇妙なことが起こります。）これは、より長いメモリアドレスへのアクセスにも当てはまりませんか？ アルゴリズムがスーパー多項式空間を使用する場合、メモリアクセスには一定の時間しか必要ないと仮定するのは合理的ですか？ …
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主張されている利点にもかかわらず、微分近似比が標準の比と比較して十分に研究されていないのはなぜですか？
supAOPTsupAOPT\sup\frac{A}{OPT}MINMINMINAAAAAAOPTOPTOPTinfΩ−AΩ−OPTinfΩ−AΩ−OPT\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}ΩΩ\Omega 同じ問題の異なる実現であることが知られている最小頂点被覆および最大独立集合のような問題に対して同じ近似比を与える; 同じ問題の最大バージョンと最小バージョンで同じ比率が得られます。同時に、標準理論ではMIN TSPとMAX TSPの比率が非常に異なることがわかっています。 最適な距離だけでなく、ペシマム\ Omegaまでの距離も測定しΩΩ\Omegaます。そのため、頂点カバーの場合、標準近似理論では222が最適な上限であると言われています。ただし、essentialy 222は、ペシマムと最適の最大比です。したがって、このようなアルゴリズムは、最悪の値を持つソリューションを出力することが保証されています。 私の議論の長所は、漸近分析では定数と低次の項を考慮しないことです（ここでは、Avi Widgersonの引用を思い出しました：「適切な抽象化レベルを使用しているため成功しています」）。アルゴリズムのリソース使用量を比較するための抽象化レベル。しかし、近似を研究するとき、何らかの理由で、それを回避できる場所に違いを導入します。 私の質問は なぜ微分近似理論はあまり研究されていません。または、関係する議論は十分に強力ではありませんか？
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限られた直径の最大点のセットを見つける
所与の点におけるRのD及び距離Lは、それらのどの2つのユークリッド距離を超えるように、これらの点の最大の部分集合を見つけるリットル。p1,…,pnp1,…,pnp_1,\ldots,p_nRdRd\mathbb{R}^{d}llllll この問題の複雑さは何ですか？ 2つのポイントの距離が最大である場合は常にエッジを持つポイント上のグラフでは、問題は最大クリークを見つけることに相当します。必ずしもすべてのグラフは（例は星であるこの方法で得ることができるので、逆は成り立たないかもしれK 1 、7のためにD = 2）。したがって、関連する質問は、このクラスのグラフについて何が知られているのかということです。lllK1,7K1,7K_{1,7}d=2d=2d=2
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家族がSperner家族かどうかを判断する複雑さ
{1、...、n} のサブセットのファミリが与えられます。がSpernerファミリーであるかどうかを判断する複雑さの非自明な下限を見つけることは可能ですか？自明な下限はあり、厳密ではないと考えています。 m F O （n m ）FF\mathcal{F}mmmFF\mathcal{F}O （n m ）O(nm)O(n m) とが場合、セットはSpernerファミリーであることを思い出してください。、およびY \ nsubseteq Xを意味します。SS\mathcal{S}バツXXYYYSS\mathcal{S}バツ≠ YX≠YX \ne Yバツ⊈ YX⊈YX \nsubseteq YY⊈ XY⊈XY \nsubseteq X
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ほぼ同じサイズのtreapのようなデータ構造の高速結合
所与2本のAVL木T1T1T_1及びT2T2T_2及び値trtrt_rよう∀x∈T1,∀y∈T2,x&lt;tr&lt;y∀x∈T1,∀y∈T2,x&lt;tr&lt;y\forall x \in T_1, \forall y \in T_2, x < t_r < y、それが含む新しいAVLツリーを構築することが容易であるtrtrt_rと値T1T1T_1及びT2T2T_2時間でO(1+|h(T1)−h(T2)|)O(1+|h(T1)−h(T2)|)O(1+|h(T_1) - h(T_2)|)、ここでh （T）h（T）h(T)はツリー高さを示しますTTT（ツリーが高さを保存している限り）。 これは赤黒木でも可能です。他の多くの種類のバランスの取れた木も同様に想定しています。 これは、盗用または盗用のようなデータ構造で可能ですか？を省略するとどうなりtrtrt_rますか？ O （min （h （T1）、h （T2）））O（分（h（T1）、h（T2）））O(\min(h(T_1),h(T_2)))
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順列行列のカバーを設定
nxnの順列行列のセットS（n！の可能な順列行列のごく一部です）が与えられた場合、Tの行列の追加がすべての位置で少なくとも1になるように、Sの最小サイズのサブセットTを見つけるにはどうすればよいですか？ SがS_nの小さなサブグループであるこの問題に興味があります。貪欲なアルゴリズムよりもはるかに速い近似アルゴリズムを見つける（そして実装する）ことが可能かどうか疑問に思っています（「ラッキー」になるまで何度も実行しますが、これは非常に遅い手順ですが、それにもかかわらずいくつかの最適範囲に近づいています）小さい場合）、または近寄れないことが保証できないかどうか。 この問題に関する簡単な事実：長さnの順列行列の巡回グループは、もちろん最適にこの問題を解決します。（各置換行列にはn個の1があり、n ^ 2個の行列が必要であるため、少なくともn個の行列が必要です。） 私が興味を持っているセットSには、n環式グループがありません。 この問題は、セットカバーの非常に特殊なケースです。実際、Xをn ^ 2個の要素を持つ集合（1,2、... n）*（1,2、... n）とすると、各置換行列はサイズnのサブセットに対応し、I Xをカバーするこれらのサブセットの最小のサブコレクションを探しています。セットカバー自体は、一般的なセットカバー問題の近似なので、この問題を確認する良い方法ではありません。 貪欲なアプローチを使用してこの問題がそれほど遅くない唯一の理由は、順列グループの対称性が多くの冗長性を排除するのに役立つからです。特に、Sがサブグループで、Tが最小のカバーセットである小さなサブセットである場合、セットsT（グループsの任意の要素にTを掛ける）はまだSにあり、カバーセット（もちろん）です。同じサイズなので、まだ最小です。）疑問に思った場合、成功したケースにはn〜30と| S |〜1000があり、幸運な貪欲な結果には| T |があります。〜37。n〜50のケースには、取得に非常に長い時間がかかる非常に貧弱な境界があります。 要約すると、この問題に対する近似アプローチがあるのか​​、それとも一般的な集合カバー問題のように、いくつかの非近似性の定理に収まるほど一般的であるのか疑問に思っています。実際に関連する問題を近似するためにどのアルゴリズムが使用されていますか？サブセットはすべて同じサイズであり、すべての要素は同じ小さな頻度1 / nで表示されるため、何か可能性があるようです。 -B
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研究データの整理
これは、あなたが何かをしたこと、なぜそれをしたのか、何が機能していないのかを追跡することが重要であると答えた、この精神の質問です。私はその目的のためにノートブックを個人的に使用しますが、いくつかの欠点があります。1つ目は多くのストレージサーフェスが必要で、2つ目は旅行中にデータにアクセスできず、最後に共同作業ができないことです。ただし、強力な利点があります。ノートブックは、実験ノートと同等のものとして使用できます（各ページに署名する人を見つける必要があります...）。 だから、私は他の研究者がその問題についてどのように進んでいるかを知ることに興味があります。たとえば、私が言及したすべての問題を解決する特定のソフトウェアはありますか？
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「一方向関数」には暗号化以外のアプリケーションがありますか？
関数は、が多項式時間アルゴリズムによって計算できる場合、ただしすべてのランダム化多項式時間アルゴリズム一方向です。f:{0,1}∗→{0,1}∗f:{0,1}∗→{0,1}∗f \colon \{0, 1\}^* \to \{0, 1\}^*fffAAA Pr[f（A(f（x ）))=f（x ）] &lt; 1 / p （n ）Pr[f(A（f（バツ）））=f（バツ）]&lt;1/p（n）\Pr[f(A(f(x))) = f(x)] < 1/p(n) すべての多項式のためにと十分に大きいN、と仮定Xをより均一に選択される{0,1 \} \ ^ N。確率は、xの選択とAのランダム性に基づいて取得されます。Np （n ）p（n）p(n)nnnバツバツx{ 0 、1 }n{0、1}n\{ 0, 1 \}^nバツバツxAAA それで...「One Way Functions」には暗号化以外の用途がありますか？はいの場合、それらは何ですか？
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情報理論的なセキュリティモデルでは、ビットコミットメントによって忘却的な転送が行われますか？
互いに信頼しない2人のarbitrarily意的に強力な参加者がいるとします。彼らはビットコミットメントにアクセスできます（たとえば、あるプレイヤーが他のプレイヤーに渡すことができるが、最初のプレイヤーが2番目のプレイヤーにキーを与えるまで開けられないデータを含む封筒）。これを使用して忘却型転送プロトコルを構築できますか。これは、プレーヤーが不正行為を検出するために最後にすべての封筒を開くことに同意した場合でも（たとえば、ポーカーハンドがプレイされた後、全員が自分のカードを公開することに同意します）？ 忘却転送は暗号学的に普遍的であるため、ビットコミットメントから忘却転送を取得できないと仮定し、ビットコミットメントと言う参照を見つけることができませんが、それを行うことができない証拠はどこかにありますか？ 最後に、プレイヤーがクオンタムである場合、誰も問題を見ていませんか？
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停止問題の制限されたバージョンについて私たちは何を知っていますか
（UPDATE：良く形成疑問が提起され、ここでこの質問を明確に定義されていないことを示し、以下の受け入れ答えのコメントとして） 停止問題の不可能性の古典的な証明は、入力としてそれ自体に停止検出アルゴリズムを適用しようとするときに矛盾を実証することに依存します。詳細については、以下の背景を参照してください。 実証された矛盾は、自己参照パラドックスのために適用されます（「この文は正しくない」という文のように）。しかし、そのような自己参照を厳密に禁止した場合（つまり、そのような自己参照が停止することを決定できないという事実を受け入れた場合）、どのような結果が残されますか？非自己参照マシンの残りのセットの停止の問題は、停止するかどうかを決定できますか？ 質問は次のとおりです。 自己参照ではない（つまり、入力として自分自身を受け取らない）可能性のあるすべてのチューリングマシンのサブセットを検討する場合、このサブセットの停止問題について何がわかりますか？ 更新 たぶん、私が何を求めているかをよりよく再定式化することは、決定可能なセットを定義するものをよりよく理解することです。HALTを実行する場合を除いて、決定不能性に関する情報を追加しないため、古典的な決定不能性の証明を分離しようとしました。 背景： チューリングマシンのエンコードである入力とを決定できるチューリングマシンがあり、停止するかどうかの矛盾を前提としています。次に、とを取り、を使用して停止するかどうかを決定し、逆のことを行うチューリングマシン考えます。つまり、が停止しない場合はが停止し、は停止します。次に、は矛盾を示しますQQQMMMバツバツXM（X）M（バツ）M(X)KKKMMMバツバツXQQQM（X）M（バツ）M(X)KKKM（X）M（バツ）M(X)M（X）M（バツ）M(X)K（ K）K（K）K(K)KKK 停止しない場合は停止する必要があり、停止しても停止しません。 動機： 同僚がソフトウェアシステムの正式な検証に取り組んでおり（特に、システムがソースコードレベルで既に証明されており、コンパイラーの問題を中和するために、コンパイルされたバージョンでそれを修正したい場合）、彼の場合、組み込みの制御プログラムの特別なセットで、自己参照型ではないことは確かです。彼が実行したい検証の1つの側面は、入力ソースコードが終了することが証明された場合に、コンパイルされたプログラムが停止することが保証されるかどうかです。 更新 以下のコメントに基づいて、非自己参照チューリングマシンの意味を明確にします。 目標は、それを証明で提示された矛盾を引き起こさないセットとして定義することです（上記の「背景」を参照）。次のように定義できます。 チューリングマシンが存在すると仮定すると、チューリングマシンのセットのための停止問題を決定する、その後、に対して非自己参照されるそれが呼び出したすべてのマシン除外した場合上（直接または間接的に）。（明らかに、はメンバーにはなれません。）QQQSSSSSSQQQQQQSSSQQQSSS を間接的に呼び出すことの意味を明確にするには：QQQSSS でを呼び出すことは、状態のセットとテープ上の特定の可能な初期入力（任意のメンバーに対応）を持つチューリング機械によって示され、最初はその入力の先頭にあります。マシン呼び出す上の段階の（有限の）シーケンスがあることがあれば、「間接的に」、初期設定にその設定が「準同型」にするためにかかるだろう。QQQSSSQQQSSSWWWQQQSSSWWWQ （ S）Q（S）Q(S) 更新2 同じタスクを実行するチューリングマシンが無限に多く、が一意ではないという議論からの回答から、は単一のチューリングマシンではなく、すべてのマシンコンピューティングの（無限）セットであると言うことで上記の定義を変更します同じ関数（HALT）。HALTは、特定の入力でチューリングマシンが停止するかどうかを決定する関数です。QQQQQQ 更新3 チューリングマシン準同型の定義： ラベル付きノードANDエッジを持つグラフの準同型の標準的な意味で、Aの遷移グラフがBの遷移グラフと準同型である場合、A TM AはTM B と準同型です。TMの遷移グラフ（V、E）は、V = states、E = states間の遷移アークです。各アークには、（S、W、D）、S =テープから読み取ったシンボル、W =テープに書き込むシンボル、D =ヘッドショーが移動する方向のラベルが付いています。
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確率過程のような雪崩
次のプロセスを検討してください。 あるnnnビンは上から下に配置されています。最初は、各ビンに1つのボールが含まれています。すべてのステップで、私たちは ランダムに均一にボール を選び、bbb bbbを含むビンからその下のビンにすべてのボールを移動します。既に最下位のビンであった場合、プロセスからボールを​​削除します。 プロセスが終了するまで、つまり、nnnボールがすべてプロセスから削除されるまで、どのくらいのステップが予想されますか？これは以前に研究されたことがありますか？答えは既知の手法から簡単にわかりますか？ 最良の場合、プロセスはnnnステップ後に終了できます。最悪の場合、Θ(n2)Θ（n2）\Theta(n^2)ステップかかることがあります。ただし、どちらの場合も非常にまれです。私の推測では、Θ(nlogn)Θ（nログ⁡n）\Theta(n\log n)ステップかかり、これを確認するようにいくつかの実験を行いました。 （ランダムにビンを均一に選択することは非常に異なるプロセスであり、明らかにΘ(n2)Θ（n2）\Theta(n^2)ステップを完了することに注意してください。）
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P = NPの意味？時空幾何に依存しますか？
この質問は、「双曲線空間のセルオートマトン：第2巻」の書籍125ページに関するもので、モーリス・マーゲンスターン著、Publisher Archives contemporaines、2008 http://books.google.com/books?id=eEgvfic3A4kC&amp;pg=PA125 著者の意見では、質問P = NPは不適切です。なぜなら、双曲線の設定ではP = NPであるか、本の後半で使用される表記法P h = NP hであるためです。 私はこれについて何をすべきかを知るのに十分な複雑さについては知りませんが、面白いように聞こえます。 質問は基本的に、あなたはそれで何を作りますか？ 彼の主張は理にかなっていますか？
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ランダムなターン順を持つヘックスの複雑さ。
hexの変形を考えてきました。2人のプレイヤーが交互に移動する代わりに、プレイヤーがランダムに選んだ各ターンが移動します。各プレイヤーが勝つ可能性を判断するのはどれくらい難しいですか？この問題は明らかにPSPACEにありますが、NP困難であり、PSPACE完全ではないことはできません。困難は、プレイヤーがオプションの中から選択を強いられることをランダム性が不可能にすることから生じます。そのプレイヤーが幸運だった場合、彼は2つのオプションを十分に手に入れ、プレイヤーが運が悪ければ、両方のオプションをブロックするのに十分な動きを相手に与えます。一方、このための多項式時間アルゴリズムは考えられません。
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（奇数ホール、反ホール）フリーグラフのリファレンス？
Xフリーグラフは、誘導サブグラフとしてXからのグラフを含まないグラフです。穴は、少なくとも4つの頂点を有するサイクルです。奇数穴は、頂点の数が奇数の穴です。antiholeは、穴の補数です。 （奇数穴、奇数穴）フリーグラフは、まさに完璧なグラフです。これが強い完全グラフ定理です。多項式時間の完全なグラフで最大の独立集合（および最大のクリーク）を見つけることは可能ですが、そのための唯一の既知の方法では、ロバシータシータ数を計算する半正定値プログラムを作成する必要があります。 （hole、antihole）-freeグラフはweakly chordalと呼ばれ、多くの問題（INDEPENDENT SET およびCLIQUEを含む）に対してかなり簡単なクラスを構成します。 （奇数穴、反穴）フリーグラフが研究されているか、記述されているかどうかは誰にもわかりますか？ これらのグラフは、関連する変数のグラフがツリーを形成する制約充足問題で非常に自然に発生します。このような問題はかなり簡単なので、Lovászシータを計算せずに、このファミリのグラフの最大の独立集合 クリークを見つける方法があればいいでしょう。 同様に、（ホール、奇数アンチホール）フリーグラフの最大の独立セットを検索する必要があります。Hsien-Chih Changは、これが（奇数ホール、反ホール）フリーのグラフよりも独立セットにとってより興味深いクラスである理由を以下に指摘します。
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