家族がSperner家族かどうかを判断する複雑さ

{1、...、n} のサブセットのファミリが与えられます。がSpernerファミリーであるかどうかを判断する複雑さの非自明な下限を見つけることは可能ですか？自明な下限はあり、厳密ではないと考えています。 $\mathcal{F}$ $m$ $\mathcal{F}$ $O(n m)$

とが場合、セットはSpernerファミリーであることを思い出してください。、および意味します。 $\mathcal{S}$ $X$ $Y$ $\mathcal{S}$ $X \ne Y$ $X \nsubseteq Y$ $Y \nsubseteq X$

ds.algorithms co.combinatorics

— アンソニーレベリア
ソース

あるかどうだからあなたは求めている上限ナノメートルの？

— スレシュヴェンカト

基本的にははい。実際、複雑さO（mn）で（最悪の場合）成功するアルゴリズムはないことを証明したいと思います。

— アンソニーレベリア

サブセットはどのように与えられますか？「隣接行列」または「エッジリスト」？

— ユヴァルフィルム

入力は隣接行列です。

— アンソニーレベリア

マトリックス乗算の問題を気付かずに解決するために私たちを取得しようとするための+1。:-)

— ピーターショー

行列の乗算でこれを解決できませんか？セットを $S_1$ 、 $S_2$ 、 $\ldots$ 、 $S_m$ ます。行列 $A$ を $m \times n$ 行列とし、場合は $A_{ij}=1$ 、それ以外の場合は0とし、場合である行列とします。それ以外の場合は0。現在、エントリがあるのは、1つのセットが別のセットに含まれている場合のみです。 $j \in S_i$ $B$ $m \times n$ $B_{ij}=1$ $j \notin S_i$ $AB^T$ $0$ $\mathcal{F}$

したがって、の場合に下限を証明する場合、行列乗算の同じ下限を証明しました。これは有名な未解決の問題です。 $\Omega(n^{2+\epsilon})$ $m = \theta(n)$

私はそれについてあまり考えていませんが、この行列乗算の特定のケースが一般的なケースと本質的に同じくらい難しいことを証明できる方法は見当たりません。本当に下限が必要な場合は、これが行列乗算の問題を解決せずに下限を証明する唯一の希望のようです。

プラス面では、これはを取る単純なアルゴリズムよりも優れているこの問題のアルゴリズムを提供します。 $\theta(m^2n)$

— ピーター・ショー
ソース