理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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因数分解のNP完全バリアント。
Arora and Barakの本は、ファクタリングを次の問題として提示しています。 FACTORING={⟨L,U,N⟩|(∃ a prime p∈{L,…,U})[p|N]}FACTORING={⟨L,U,N⟩|(∃ a prime p∈{L,…,U})[p|N]}\text{FACTORING} = \{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists \text{ a prime } p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\} さらに第2章では、が素数であるという事実を取り除くと、この問題がNP完全になると付け加えていますが、これは数値の因数分解の難しさとは関係ありません。SUBSETSUMから削減できるように見えますが、私はそれを見つけることができなくなりました。この辺りでもっと良い運がありますか？ppp 編集3月1日：報奨金は、確定的Karp（またはCook）削減を使用した完全性の証明です。NPNPNP
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正のトポロジカル順序
頂点に実数の重みを持つ有向非巡回グラフがあるとします。DAGのトポロジカルな順序付けを見つけたいと思います。トポロジカルな順序付けのすべてのプレフィックスについて、重みの合計が負ではありません。または、順序理論の用語を好む場合、重み付き半順序があり、各プレフィックスが負でない重みを持つような線形拡張が必要です。この問題について何がわかっていますか？NP時間完全または多項式時間で解けるか？
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表示的セマンティクスを構成するものは何ですか？
で、別のスレッド、アンドレイ・バウアーは、表示的意味論を次のように定義されます。 プログラムの意味は、その部分の意味の関数です。 この定義について私を悩ませているのは、一般に非表示的セマンティクス、つまり構造的操作セマンティクスと一般に考えられているものから、表示的セマンティクスと一般に考えられているものを選び出さないように見えることです。 より正確には、ここでの重要な要素は、セマンティクスのモジュール性、または構成性、または別の言い方をすれば、プログラムの抽象的な構造に従って定義されているという事実です。 現在、ほとんどの（すべて？）正式なセマンティクスは構造的である傾向がありますが、これは必須の定義ですか？ だから、私の質問は：表示的意味論とは何ですか？
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一般化されたラドナーの定理
ラドナーの定理によれば、P≠NPの場合、Pを厳密に含み、NPに厳密に含まれる複雑度クラスの無限階層が存在します。この証明は、NPの多対1削減の下でのSATの完全性を使用しています。階層には、ある種の対角化によって構築された複雑度クラスが含まれ、各クラスには、下位クラスの言語が多対1で還元できない言語が含まれています。 これは私の質問の動機です： Cを複雑度クラス、Dを厳密にCを含む複雑度クラスとする削減？ より具体的には、削減の適切な概念について、D = PおよびC = LOGCFLまたはC = NCで既知の結果があるかどうかを知りたいと思います。 Ladnerの論文には、空間限定クラスCの定理7がすでに含まれています。Kavehが答えで指摘したように。最強の形で言うと、NL≠NPの場合、NLとNPの間には、厳密に硬度が増加する無限の言語シーケンスが存在します。これは、P≠NPを条件とする通常のバージョン（定理1）よりも少し一般的です。しかし、ラドナーの論文では、D = NPのみが考慮されています。
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チョムスキー階層は古くなっていますか？
Chomsky（–Schützenberger）階層は、理論的なコンピューターサイエンスの教科書で使用されていますが、完全なComplexity Zoo Diagramと比較して、明らかに形式言語（REG、CFL、CSL、RE）のごく一部しかカバーしていません。階層は現在の研究でもう役割を果たしていますか？私はここcstheory.stackexchangeでチョムスキーに少しだけの参照を見つけ、中に複雑動物園の名前チョムスキーとSchützenbergerは一切言及されていません。 現在の研究は、正式な文法以外の記述の他の手段に焦点を合わせていますか？私は、表現力の異なる形式言語を記述する実用的な方法を探していましたが、コンテキストセンシティブ言語（GCSL）と目に見えるプッシュダウン言語（VPL）の両方に出会いました。Chomsky階層を更新してそれらを含めるべきではありませんか？または、複雑なクラスの完全なセットから特定の階層を選択する必要はありませんか？私が理解している限り、チョムスキー階層のギャップに収まる言語のみを選択しようとしました。 REG（= Chomsky 3）⊊VPL⊊DCFL⊊CFL（= Chomsky 2）⊊GCSL⊊CSL（= Chomsky 1）⊊R⊊RE 自然言語処理には実用的な関連性があるように見えますが、「マイルドな文脈依存言語」と「インデックス付き言語」（CFLとCSLの間）がどこに収まるのかはまだわかりません（しかし、実用的な関連性はあまり面白くないです）理論的研究;-)。さらに、GCSL⊊P⊂NP⊂PSPACEおよびCSL⊊PSPACE⊊Rに言及して、有名なクラスPおよびNPとの関係を示すことができます。 私はGCSLとVPLで見つけました： ロバートマクノートン：チョムスキー階層への挿入？で：宝石は永遠に、Arto Salomaaの名誉における理論的コンピューターサイエンスへの貢献。S. 204-212、1999 http://en.wikipedia.org/wiki/Nested_word#References（VPL） また、VPL、DCLF、GCSL、およびインデックス化された文法も扱っている正式な文法に関する最新の教科書を知っていれば幸いです。実用的なアプリケーションへのポインタが望ましいです。
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死んだ推測の死亡記事
ある時点で多くの人に信頼されていると考えられていたアルゴリズムと複雑さについての推測を探していますが、後にそれらは反証の台頭により反証されるか、少なくとも信じられませんでした。以下に2つの例を示します。 ランダムオラクル仮説：ほとんどすべての相対化された世界に適用される複雑性クラス間の関係は、相対化されていない場合にも適用されます。これは、結果によって反証され、がほぼすべてのランダムなオラクルに適用されることを示すことにより、「ランダムなオラクル仮説は偽」を参照してください。I P X ≠ P S P A C E X XIP=PSPACEIP=PSPACEIP=PSPACEIPX≠PSPACEXIPX≠PSPACEXIP^X\neq PSPACE^XXXX 有界エラーのランダム性は、多項式時間のパワーを適切に拡張します（つまり、）。これはしばらくの間信じられていましたが、後に、洗練されたランダム化解除の結果と回路の複雑性への接続のために、反対の推測（）が普及しました（まだ開いています）。P = B P PP≠BPPP≠BPPP\neq BPPP=BPPP=BPPP=BPP 時の試練に失敗した他の推測はどれですか？
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プルーフアシスタントで「戦術」はどのように機能しますか？
質問：プルーフアシスタントで「戦術」はどのように機能しますか？それらは、用語を等価用語に書き換える方法を指定する方法のようです（「等価」の定義のため）。おそらくこれには正式なルールがありますが、それらが何であり、どのように機能するかをどのように知ることができますか？彼らはベータ削減のための順序の選択以上のものを含みますか？ 私の興味に関する背景：数ヶ月前、私は正式な数学を学びたいと決めました。予備調査からは正しい方法（TM）のように見え、魅力的なプログラミングと数学を統一するように思われるため、型理論を採用することにしました。私の最終的な目標は、Coqのような証明アシスタントを使用して理解できるようにすることだと思います（特に、行列のタイプを表すようなものに興味があるので、依存型を使用できると思います）。私は、初歩的な関数型プログラミングでさえほとんど知らずに始めましたが、ゆっくりと進歩しています。型とプログラミング言語（Pierce）の大部分を読んで理解し、HaskellとMLをいくつか学びました。
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Metric TSPの近似アルゴリズム
メトリックTSPは以内で近似でき、多項式時間でを近似できないことが知られています。指数時間（たとえば、多項式空間のみでステップ未満）で近似解を見つけることについて何か知られていますか？たとえば、距離が最大ツアーを見つけることができる時間と空間は何ですか？1231.51.51.5 2n1.1×OPT123122123122123\over 1222n2n2^n1.1 × O PT1.1×OPT1.1\times OPT
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プルーフを巡るカジュアルツアー
本日、Ryan Williams は、arXiv に関する記事（以前はSIGACT Newsに掲載されていました）を投稿しました。これには、最近のACC下限技術の技術的ではないバージョンが含まれています。 私の質問はテクニックそのものに関するものではありません（もちろん、絶大な称賛に値する）が、それは論文のスタイルに関するものです。要約では、彼は次のように書いています。 証拠は、それを発見しようとする誰かの観点から説明されます。 驚くばかり！「背景」セクションに次のように追加します。 この記事は、証拠を発見する方法についての議論であり、それについてのカジュアルなツアーです。すべての詳細が示されるわけではありませんが、すべてのピースがどこから来たのか、どのように組み合わされているのかがわかります。複雑性理論についての私自身の偏った直観、つまり、真実であるべき、そうでないと思うもの、そしてその理由が、この道に散らばるでしょう。この直感の多くは間違いかもしれません。しかし、少なくとも一度は生産的な方向に導いたと言えます。 これは驚くべきことで、私が見たのは初めてです。私はいつも、論文の著者が、なぜ解決策を導いたトラックに到達する前に試みた失敗したアプローチを含めて、どのように証明に到達したかを書かないのだろうと思っていました。arXivに関するRyanの論文を見たとき、それを読むことに非常に意欲を感じました。この観点からは革新的な論文だと思います。ほとんどの場合、紙でできることはその正確性を確認することだけです。 質問は次のとおりです。 一連の技術的な補題ではなく、「カジュアルツアー」で画期的な結果が提示されるTCSの他の論文をご存知ですか？ 私は、ブログの投稿や技術レポートではなく、ジャーナルの出版物について話している。 また、実際にそうなることを期待して、big-listとしてタグ付けしました。
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チューリングマシンを主要な計算モデルとして採用する歴史的な理由。
チューリングのモデルは、計算を記述する際の「標準」になったと私は理解しています。なぜそうなのか、つまり、TMモデルが他の理論的に同等の（私の知る限り）モデル、たとえばKleeneのμ-RecursionやLambda Calculus（私は理解している）よりも広く使用されるようになった理由を知りたい前者は後ほど登場せず、後者はもともと計算のモデルとして特別に設計されていなかったが、代替案が最初から存在していたことを示している）。 私が考えることができるのは、TMモデルがその代替よりも実際に持っているコンピューターをより厳密に表しているということです。これが唯一の理由ですか？
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計算の複雑さにおけるコルモゴロフの複雑さの応用
非公式的に言えば、文字列のコルモゴロフ複雑性出力がその最短番組の長さ。それを使用して「ランダム文字列」の概念を定義できます（場合、はランダムです）。ほとんどの文字列がランダムであることがわかります（短いプログラムはそれほど多くありません）。X X K （X ）≥ 150 | x |バツxxバツxxバツxxK（X ）≥ 150 | x |K(x)≥0.99|x|K(x) \geq 0.99 |x| コルモゴロフ複雑性理論とアルゴリズム情報理論は、最近非常に発達しています。また、コルモゴロフの複雑さに関する記述に何も含まれていないさまざまな定理の証明でコルモゴロフの複雑さを使用するいくつかの面白い例があります（建設的なLLL、ルーミス-ホイットニーの不等式）。 計算の複雑さおよび関連分野でコルモゴロフの複雑さとアルゴリズム情報理論の優れたアプリケーションはありますか？Kolmogorovの複雑さを単純なカウント引数の単純な置換として使用する結果があるはずです。もちろん、これはそれほど興味深いものではありません。
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統合性ギャップの重要性
積分ギャップ（IG）とその限界の重要性を理解するのにいつも苦労しました。IGは、問題の緩和の最適な実際の解（の品質）に対する最適な整数の回答（の品質）の比率です。例として頂点カバー（VC）を考えてみましょう。VCは、次の一連の線形方程式の最適な整数解を見つけることと言えます。 我々は、ゼロ/ 1値の変数を有するxvxvx_v各頂点に対するSをv∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)グラフGGG。式は次のとおり0≤xv≤10≤xv≤10 \leq x_v \leq 1のためのv∈V(G)v∈V(G)v\in V(G)、及び1≤xv+xu1≤xv+xu1 \leq x_v+x_u各辺のuv∈E(G)uv∈E(G)uv \in E(G)。我々は最小限に抑えられます値を探している∑v∈V(G)xv∑v∈V(G)xv\sum_{v \in V(G)} x_v。 この問題を緩和すると、000から間の実数値が許可される111ため、解の空間が大きくなり、最適な実解は、求める最適な整数解よりも小さくなります。したがって、整数解を見つけるために、線形計画法から得られた最適な実際の答えに対して「丸め」プロセスを実行する必要があります。最適な整数解は、最適な実数解と丸めプロセスの結果の間になります。IGは、最適な整数解と最適な実数解の比であり、丸め処理については何も言いません。丸めプロセスは（理論上）実際の解を完全に無視し、最適な整数解を直接計算できます。 なぜ人々はIGの限界を証明することに興味があるのですか？
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幾何学的複雑性理論のウィキペディアスタイルの説明
専門家ではない人が理解できるマルムレーのGCTアプローチの簡潔な説明を誰かが提供できますか？トピックに関するウィキペディアのページに適した説明（現時点ではスタブです）。 動機：私はストリング・セオリーの研究者である私の友人とデモクリトス以来、スコット・アーロンソンの本「量子コンピューティング」を「共読」しています。本の序文で、アーロンソンはGCTを「コンピューターサイエンスの弦理論」と呼んでいます。ストリング理論家である私の友人は、この主張に興奮し、GCTとは何かを尋ねました。その時点で、私は彼の質問に対するウィキペディア対応の回答がないことを恥ずかしく思いました。
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