理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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SATの最高の上限
で、別のスレッド、ジョー・フィッツシモンズは、について尋ねた「3SATで最高の現在の下限。」 私は他の方法に行きたいです：3SATの現在の最高の上限は何ですか？言い換えれば、最も効率的なSATソルバーの時間の複雑さは何ですか？ 特に、SATの部分指数（まだ超多項式）アルゴリズムを見つけることは考えられますか？
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SATソルバーの実際の成功の理論的説明は？
SATソルバーの実用的な成功のために、どのような理論的説明がありますか。誰かがそれらをまとめて「ウィキペディアスタイル」の概要と説明を与えることができますか？ 同様に、シンプレックスアルゴリズムの平滑化解析（arXivバージョン））は、最悪の場合指数関数的な時間がかかり、NPマイティ（arXivバージョン）であるという事実にもかかわらず、実際にうまく機能する理由を説明する素晴らしい仕事をします。 バックドア、条項グラフの構造、および相転移などについて少し聞いたことがありますが、（1）これらがどのように組み合わさって大きな画像を提供するか（もしあれば）、および（2） SATソルバーが産業用インスタンスなどでうまく機能する理由をこれらが本当に説明しているかどうかはわかりません。また、節グラフの構造のようなものになると、現在のソルバーが特定の節グラフ構造を利用できるのはなぜですか？ 少なくとも現在の私の理解では、相転移についての結果はこの点で部分的に満足しているだけです。相転移の文献はランダムな k-SATのインスタンスに関するものですが、実際のインスタンスについては本当に説明できますか？SATの実世界のインスタンスがランダムなインスタンスのように見えるとは思わない。したほうがいい？ランダムなインスタンスのように見えなくても、フェーズ遷移が実世界のインスタンスについて直感的にさえ何かを伝えると考える理由はありますか？ 関連する質問は役立ちますが、私の質問には完全には答えられません。特に、物事をまとまりのある写真にまとめるためのリクエスト： SATソルバーに大きな違いがあるのはなぜですか？ どのSATの問題は簡単ですか？ ランダムな3SATからのツリー幅とインスタンスの硬さとの相関関係は何ですか？
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対称群の表現理論の応用
この質問、特にOrの回答の最後の段落に触発されて、次の質問があります。 TCSの対称群の表現理論の応用を知っていますか？ 対称グループSnSnS_nは、グループ演算構成を持つのすべての順列の{ 1 、… 、n }{1,…,n}\{1, \ldots, n\}グループです。表現SnSnS_nから準同型であるSnSnS_n可逆の一般線形群に対してn × nn×nn \times n複雑なマトリックス。表現は行列の乗算により作用しCnCn\mathbb{C}^nます。の既約表現はSnSnS_n、CnCn\mathbb{C}^n不変の適切な部分空間を残さないアクションです。有限群の既約表現により、定義することができます非アーベル群上のフーリエ変換。このフーリエ変換は、巡回/アーベル群上の離散フーリエ変換の優れた特性のいくつかを共有しています。たとえば、畳み込みはフーリエ基底の点ごとの乗算になります。 対称群の表現理論は美しく組み合わせられています。各既約表現はSnSnS_n、整数分割に対応しnnnます。この構造および/または対称群のフーリエ変換は、TCSで用途を見つけましたか？
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物理学はTCSをもたらしますか？
理論計算機科学の多くのサブフィールドが、理論物理学の結果によって大きく影響を受けていることは明らかです。これの2つの例は 量子計算 複雑性分析/ヒューリスティックアルゴリズムで使用される統計力学の結果。 だから私の質問は、私が行方不明になっている主要な分野はありますか？ 私の動機は非常に単純です：私は量子情報を介してTCSに来た理論物理学者であり、2つの領域が重複する他の領域について興味があります。 これは比較的やさしい質問ですが、これがビッグリスト型の質問であるとは限りません。重複が重要な領域を探しています。
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どのような階層や階層定理を知っていますか？
現在、TCSの階層定理に関する調査を書いています。関連論文の検索階層は、TCSや数学だけでなく、神学や社会学から生物学や化学に至るまでの多くの科学における基本的な概念であることに気付きました。情報量が膨大であることを見て、私はこのコミュニティに助けを求めることができることを望みます。もちろん、私に書誌検索をしてもらいたくはありませんが、2種類の情報を求めています。 あなたの仕事の結果である階層と階層定理、同僚やあなたがよく知っている他の人々の仕事であり、あなたはそれがあまり知られていないと思います。これは、たとえば、興味のあるあいまいな計算モデルの階層定理や、ゲーム理論に関連する特定のクラスの階層などです。 この種の調査に含める必要があるとみなされる階層と階層定理。これはおそらく私には既に知られているでしょうが、どの階層がより重要だと考えているのか、なぜそうなっているのかを知るのに役立ちます。これは、「PHPHPHがないとこの種の研究を行うことができないため、P Hは非常に重要だ」または「あまりよく知られていないが、論理ベースのTCSでは常にこの階層を使用し、重要なツールだと考えています。」。そして、はい、論理の人々は言及すべき多くの階層を持っていると信じていますが、問題の階層について話していることに留意してください。 ここで更新されたリストを保持します。 DTIMEDTIMEDTIME階層 NTIMENTIMENTIME階層 SPACESPACESPACE階層 算術（Kleeneとも呼ばれる）階層 超算術階層 分析階層 チョムスキー階層 Grzegorczyk階層と関連：Wainer階層（急成長）、Hardy階層 （低速成長）、およびVeblen階層 リッチーの階層 Axtの階層（Axt63で定義） ループ階層（MR67で定義） NCNCNC（ACACAC、ACCACCACC）階層 Sipser83で定義されている深度階層 多項式階層（）およびあまり洗練されていないMeyer-Stockmeyer階層（数量詞間の区別なし）PHPHPH 指数階層（）ELEMENTARYELEMENTARYELEMENTARY 中間階層（ラダーの定理） NPNPNP それほど頑丈ではない（アーサー・マーリン）AMAMAM （非決定的な固定パラメータ）階層と関連交互W階層（A W -hierarchy）とW * -hierarchy（パラメータ依存深さW）WWWAWAWAWW∗W∗W^{*} 階層のカウント フーリエ階層 （上ブール階層）、また（上クエリ階層に等しいN P）NPNPNPNPNPNP GoldreichKNR09に見られるプロパティテストの階層 星のない通常言語のドットの深さの階層 ：入力の各ビットが最大d回テストされるという追加条件を使用して、多項式サイズの分岐プログラムによって解決可能なクラスは、 dの異なる値の階層を形成しますBPd(P)BPd(P)BP_{d}(P)ddd 回路の複雑さの時間階層 通信の複雑さにおける多項式階層 注：独占的に言及されたくない場合は、そう言ってください。経験則として、コミュニティと、新しい情報を明らかにする特定の人物の両方に言及します。
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実際のコンピューターの状態の数は限られているので、チューリングマシンの実際のコンピューターとの関連性はどうですか？
実際のコンピューターのメモリは限られており、状態の数は限られています。したがって、それらは本質的に有限オートマトンです。理論的なコンピューター科学者がコンピューターの研究にチューリングマシン（および他の同等のモデル）を使用するのはなぜですか？実際のコンピューターに関して、これらの非常に強力なモデルを研究するポイントは何ですか？有限オートマトンモデルでは不十分なのはなぜですか？
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最小正規表現を見つけることはNP完全問題ですか？
次の問題を考えています：特定の文字列セット（たとえば、有効な電子メールアドレス）に一致し、他の文字列（無効な電子メールアドレス）に一致しない正規表現を見つけたい。 正規表現によって、明確に定義された有限状態マシンを意味すると仮定します。正確な用語についてはよくわかりませんが、許可された表現のクラスについては同意しましょう。 式を手動で作成するのではなく、肯定的な例と否定的な例のセットを与えたいと思います。 次に、+の1に一致し、-の1を拒否し、明確に定義された意味で最小の式（オートマトンの状態の数？）を作成する必要があります。 私の質問は： この問題は考慮されましたか、より具体的な方法でどのように定義でき、効率的に解決できますか？多項式時間で解決できますか？NPは完全ですか、どうにか近似できますか？どのクラスの式に対して機能しますか？このトピックについて説明している教科書、記事などへのポインタをいただければ幸いです。 これは何らかの形でコルモゴロフの複雑さに関連していますか？ これは何らかの形で学習に関連していますか？正規表現が私の例と一致している場合、それが最小限であるために、まだ見られない例の一般化力について何か言うことができますか？これにはどのような最小性の基準がより適していますか？どちらがより効率的でしょうか？これには機械学習とのつながりがありますか？繰り返しますが、どんなポインターでも役に立ちます... 厄介な質問でごめんなさい...これを理解するために私を正しい方向に向けてください。ありがとう！
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あなたが取り組んできた問題を進展させることができないとき、あなたは何をしますか？
私は理論上2年生です。私は昨年（グラフ理論/アルゴリズムで）問題に取り組んできました。昨日まで、私はうまくやっていると思っていました（論文から定理を拡張していました）。今日、私は単純な間違いを犯したことに気付きました。自分がやろうとしていたことをやろうと思ったよりもずっと難しいだろうと思いました。私は大学院生を辞めることを考えているのでとても失望しています。 これは、研究者が自分のアイデアがかなりの量の仕事を経てもうまくいかないことに気づく一般的な状況ですか？ 考えていたアプローチが機能せず、問題を解決するのが難しすぎるようだと気付いたとき、あなたは何をしますか？ 私の状況で学生にどんなアドバイスをしますか？
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TCSのグレブナーベース？
誰もがグレブナー基底の理論的計算機科学への興味深い応用を知っていますか？ グレブナー基底は、一般にNP困難な問題である多変量多項式を解くために使用されます。TCSまたはTCS関連分野（組み合わせ論、コーディング理論）で効率的なアルゴリズム/構築/証明を提供するために、扱いやすい特別なケースが使用されているかどうか疑問に思っていました。
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どの計算モデルが「最良」ですか？
1937年、チューリングはチューリング機械について説明しました。それ以来、実際のコンピューターに似ているが、アルゴリズムを設計および分析するのに十分なほど単純なモデルを見つけようとして、多くの計算モデルが記述されてきました。 その結果、たとえば、さまざまな計算モデルのSORT問題など、多数のアルゴリズムがあります。残念ながら、ビットベクトル演算が許可されたワードRAMでの実行時間O（n）のアルゴリズムの実装が、実行時間O（n⋅logn）のアルゴリズムの実装よりも速く実行されることを確信することさえできません。ワードRAM（もちろん、「良い」実装についてのみ話しています）。 そのため、既存のモデルのどれがアルゴリズムの設計に「最適」であるかを理解したいと思います。また、モデルの長所と短所、および現実に近いことを示す計算モデルに関する最新かつ詳細な調査を探しています。
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洞察につながるリゴール
MathOverflowで、Timothy Gowersは「厳密さが重要であることを示す」という質問をしました。議論の大部分は、証明の重要性を示す事例に関するものであり、CSTheoryの人々はおそらく納得する必要はないでしょう。私の経験では、連続した数学の多くの部分よりも理論的なコンピューターサイエンスの方がより厳密である必要があります。なぜなら、私たちの直感は離散構造に対してしばしば間違っていることが判明するからです。数学者は存在証明に満足するかもしれませんが、理論的なコンピューター科学者は通常建設的な証明を見つけようとします。LovászLocal Lemmaは良い例です[1]。 したがって、私は知りたい 理論的コンピューターサイエンスに、真実と信じられている声明の厳密な証拠が根本的な問題の性質に対する新しい洞察をもたらした特定の例はありますか？ アルゴリズムと複雑性理論から直接ではない最近の例は、証明論的合成、事前条件と事後条件からの正確で効率的なアルゴリズムの自動導出です[2]。 [1]ロビン・A・モーザーとガボール・タルドス、ロヴァス・ローカル補題の建設的証明、JACM 57、第11条、2010年。http： //doi.acm.org/10.1145/1667053.1667060 [2] Saurabh Srivastavaさん、スミットGulwani、およびジェフリー・S.フォスターは、プログラム検証からプログラム合成を、ACM SIGPLANは特記事項45、313から326まで、2010 http://doi.acm.org/10.1145/1707801.1706337 編集：私が念頭に置いていた種類の答えは、スコットとマトゥスによるもののようなものです。Kavehが示唆したように、これは人々が証明したかった3つのもの（ただし、「物理」、「手振り」、または「直感的」な議論によって必ずしも予期されていなかった）、証拠、および「根本的な問題」の結果予想されなかった証明に続いた（おそらく、証明を作成するには予期しない新しいアイデアが必要であったか、当然のことながらアルゴリズムにつながるか、領域に関する考え方を変えた）。証明の開発中に開発された技術は、理論的なコンピューターサイエンスの構成要素であるため、このやや主観的な質問の価値を保持するには、スコットや参考文献によって裏付けられた議論などの個人的な経験に焦点を当てる価値があります。マトゥスがしたように。また、私は m何かが適格かどうかについての議論を避けようとする; 残念ながら、質問の性質は本質的に問題がある場合があります。 複雑さの「驚くべき」結果についての質問がすでにあります：複雑さの驚くべき結果（複雑さのブログリストではありません）理想的には、必ずしもブレークスルーのサイズではなく、厳密な証明の値に焦点を当てる答えを探しています。
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なぜ分散コンピューティングの統一された複雑性理論を開発できなかったのですか？
分散コンピューティングの分野は、分散アルゴリズムを記述するための単一の数学的理論を開発する上で非常に不十分です。単に相互に互換性のない分散計算のいくつかの「モデル」とフレームワークがあります。さまざまな時間プロパティ（非同期、同期、部分同期）、さまざまな通信プリミティブ（メッセージパッシングと共有メモリ、ブロードキャストとユニキャスト）、複数の障害モデル（フェイルストップ、クラッシュリカバリ、送信省略、ビザンチンなど）の爆発的な爆発on）は、難解な数のシステムモデル、フレームワーク、および方法論を残しており、これらのモデルとフレームワーク全体の相対的な可解性の結果と下限を比較することは困難で扱いにくく、時には不可能になります。 私の質問は非常に単純ですが、なぜそうなのですか？分散コンピューティングについて（シーケンシャルなものとは）根本的に何が異なり、研究を分散コンピューティングの統一理論にまとめることができなかったのですか？シーケンシャルコンピューティングでは、チューリングマシン、再帰関数、およびラムダ計算がすべて同等になるように調整されました。これは単なる幸運だったのでしょうか、それとも分散コンピューティングではまだ達成されていない方法でシーケンシャルコンピューティングをカプセル化するのに本当に良い仕事をしましたか？ 言い換えれば、分散コンピューティングは本質的にエレガントな理論に屈しない（そしてそうであれば、どのように、なぜですか？）か、単にそのような理論を発見するのに十分にスマートではありませんか？ この問題に対処できる唯一の参考文献は、Fischer and Merritt DOIによる「20年間の分散コンピューティング理論研究の評価」：10.1007 / s00446-003-0096-6です。 参照や説明は本当に役立つでしょう。
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単著論文の重要性
私は理論計算機科学の博士課程4年生です。アカデミアに留まりたいので、自分のキャリアをどのように前進させるかを考えています。明らかにそれを行うための最良の方法は、たくさんの良い論文を書くことですが、別の質問は、それらの論文の多くを一人の著者にしようとするべきかどうかです。 これまでのところ、著者の論文は6つのうち1つしかありません。私の最高の作品でも、最近の作品でもありません。それはポスドクや教職員の職に応募する際に危険ですか？単著者の論文をもっと多く作ろうとするべきですか？ これは、研究に対する私のアプローチに帰着します。私は人と話すのが好きです。私は自分が取り組んでいることを人々に伝えるのが好きで、もし興味があれば彼らと一緒に仕事をしたいと思っています。つまり、厳密に必要ではない場合でも、私はコラボレーションに対して非常にオープンです。変更する必要がありますか？つまり、私はプロジェクトをもっと自分自身に留めて、単一の著者の論文になるようにすべきですか？ この質問がトピックから外れている場合はおologiesび申し上げます。academia.seのような一般的なフォーラムではなく、私の地域の人々にこの質問をしたいです。特に、私のすべての論文では、著者はアルファベット順に並んでいます。これにより、著者の注文がこの情報を伝える他の分野よりも、TCSでの単一著者論文の重要性が高まります。
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興味深い研究問題を見つける方法
数年の授業にもかかわらず、研究テーマの選択に関してはまだ困っています。私はさまざまな分野の論文を見て、教授と話をしてきましたが、これは間違ったアプローチだと思い始めています。 私は、それが興味深い問題を見つけるのに役立つことを読んだことがあります。教科書は有名な未解決のものに言及していますが、私はそれらに直接取り組むことはしたくないでしょう。研究論文では、失敗した試みではなく、肯定的な結果のみが言及されました。 興味深い研究問題を見つけるにはどうすればよいですか？興味深い研究問題をどのように見つけますか？どこかにリストはありますか？ 特定の問題に取り組む価値があるかどうかをどのように判断しますか？
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「P」と「NP-hard」の居心地の良い近所
ましょアルゴリズムの作業になります。（決定問題、最適化問題、またはその他のタスクのいずれかです。）XがNP困難であると仮定して、多項式階層が崩壊することを意味することがわかっている場合、Xを「多項式側」と呼びます。Xが多項式アルゴリズムを受け入れると仮定して、多項式階層が崩壊することを意味することがわかっている場合、Xを「NP側」と呼びましょう。XXXXXXXXXXXXXXX もちろん、Pのすべての問題は多項式側にあり、NP困難な問題はすべてNP側にあります。また、たとえば、因数分解（またはNP交差coNPのすべて）は多項式側にあります。グラフ同型は多項式側にあります。QUANTUM-SAMPLINGはNP側にあります。 1）多項式側のアルゴリズムタスクの（可能な限り自然な）例、および（特に）NP側のより多くの例に興味があります。 2）単純に、NP側はNP困難問題の一種の「近傍」であり、P側は「Pの近傍」であるように見えます。NP側の問題をP側の問題と比較して「かなり難しい」と考えるのは正しい洞察ですか。または、NP側の問題を「道徳的にNP困難」と見なすこともできますか？ 3）（これは明らかかもしれませんが、私には見えません）両側にがありますか、またはそのようなXがありそうもないと信じる理論的な理由があります。更新答えはYESです。以下のユバルフィルマスの回答を参照してください。XXXXXX （これらの「サイド」が実際の複雑さのクラスに関連し、関連するccの専門用語や関連する結果が見当たらない場合はお知らせください。） 更新：現在、この質問に対するいくつかの非常に良い答えがあります。Yuval Filmusが最初に指摘し、再度言及したように、質問は形式的ではなく、XがP側/ NP側にあることを示す議論に対する制限が必要です。（さもなければ、両側にある0 = 1の証明を提示するタスクをXにすることができます。）これをさておき、NP側の問題X（本物）が何らかの形で硬度をキャプチャする場合があります。ただし、これは、SATの硬度が証明可能な方法で（わずかでも）弱められているP側の問題の場合もあります。Yuval Filmusは、両側にあるSATの弱体化バージョンを提供しました。Andy Druckerは（2つの回答で）SchöningのLowおよびHigh階層への参照を含む5つの興味深い例を示し、Scott Aaronsonはさらに興味深い例を示しました。NPの硬さに近い一方向関数を逆変換する問題に言及しましたが、P側では、QUANTUMSAMPLINGの興味深いケースについても説明しています。FeigeとLundによるこの種の古い結果に出会いました。
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