最小正規表現を見つけることはNP完全問題ですか？

次の問題を考えています：特定の文字列セット（たとえば、有効な電子メールアドレス）に一致し、他の文字列（無効な電子メールアドレス）に一致しない正規表現を見つけたい。

正規表現によって、明確に定義された有限状態マシンを意味すると仮定します。正確な用語についてはよくわかりませんが、許可された表現のクラスについては同意しましょう。

式を手動で作成するのではなく、肯定的な例と否定的な例のセットを与えたいと思います。

次に、+の1に一致し、-の1を拒否し、明確に定義された意味で最小の式（オートマトンの状態の数？）を作成する必要があります。

私の質問は：

• この問題は考慮されましたか、より具体的な方法でどのように定義でき、効率的に解決できますか？多項式時間で解決できますか？NPは完全ですか、どうにか近似できますか？どのクラスの式に対して機能しますか？このトピックについて説明している教科書、記事などへのポインタをいただければ幸いです。
• これは何らかの形でコルモゴロフの複雑さに関連していますか？
• これは何らかの形で学習に関連していますか？正規表現が私の例と一致している場合、それが最小限であるために、まだ見られない例の一般化力について何か言うことができますか？これにはどのような最小性の基準がより適していますか？どちらがより効率的でしょうか？これには機械学習とのつながりがありますか？繰り返しますが、どんなポインターでも役に立ちます...

厄介な質問でごめんなさい...これを理解するために私を正しい方向に向けてください。ありがとう！

$OPT^k$$k$$P = NP$

学習に関する質問について：Kearns and Valiant は、RSAをDFAにエンコードできることを証明しました。そのため、ラベルの付いた例が一様分布に由来する場合でも、将来の例に一般化できる（均一分布にも由来する）とRSAが壊れます。したがって、最悪の場合、ラベル付きの例を使用してもDFAを学習するのに役立ちません（PACモデルで）。これは、学習のための古典的な暗号硬度の結果の1つです。

これらの問題は両方とも、OccamのRazor Theoremと呼ばれるものが絡み合っています。基本的に、同じクラスの仮説によってラベル付けされたサンプルと一致する、与えられたクラスから最小の仮説を見つける手順があれば、そのクラスをPACで学習できると述べています。したがって、RSAの硬度の結果を考えると、一貫性のある最小のDFAを見つけることは一般に難しいと予想されます。

ポジティブな学習結果を追加するために、Angluin は、独自の例を作成すればDFAを学習できることを示しましたが、「現在の仮説は正しいですか？」これは、学習における独創的な論文でもありました。

他の質問に答えるために、これはすべて、コルモゴロフの複雑さに関連しています。ターゲットDFAの正規表現の複雑さが低いと学習問題が容易になるためです。

質問の学習関連の側面に答えます。

この問題は、文献では「DFA学習」と呼ばれるようです。

金【Gol78]は、与えられた、決定するためにNP完全であることを示した誘電 ∈ℕ及び2点の有限集合P及びNせいぜいと決定性有限状態オートマトン（DFA）が存在するかどうか、文字列のk個の中のすべての文字列を受け付ける状態PおよびNの文字列はなし。論文[PH01]は、この動機に関連する問題を議論しているようです（もっと多くの可能性があります。Googleで関連性のある論文を見つけようとしたときに思いついたものです）。

参照資料

[Gol78] Eマークゴールド。指定されたデータからのオートマトン識別の複雑さ。 情報制御、37（3）：302から320、6月1978 http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(78)90562-4

[PH01]ラジェシュ・パレフとヴァサント・ホナバール。簡単な例からDFAを学習します。 機械学習、44（1–2）：9–35、2001年7月 。http ：//www.springerlink.com/content/kr2501h2442l8mk1/ http://www.cs.iastate.edu/~honavar/Papers/parekh- dfa.pdf

この議論を通して、最小限の正規表現を見つけることは、言語を認識する最小限のFSMを見つけることになると考えられてきましたが、これらは2つの異なることです。正しく覚えていれば、DFAは多項式時間で最小化できますが、特定の正規言語を表す最小正規表現を見つけるのはPSPACE困難です。後者は、オートマタ理論の伝承に属する結果の1つですが、その証拠はどこにも見つかりません。私はそれがパパディミトルの本の練習問題として述べられていると思います。

このスタックオーバーフローの記事もご覧ください。お探しの本は、Michael Sipserによる計算理論入門のようです。

あなたはいくつかの異なる質問をしているので、それらを一度に一つずつ取ってください：

Is finding a minimal Finite State Machine for a language L NP-complete?

いいえ、そうではありません。Stack Overflowの投稿では、FSMを最小サイズに縮小するための単純なn ^ 2アルゴリズムについて説明しています。（停止状態から逆方向に作業し、正確に「同一」の状態を結合します。）

どうやら（私はリンクをたどらなかった）、これを行うためのn log nアルゴリズムがあります。

I have a training set of strings, how do I find the minimal FSM 
that separates the good examples from the bad?

あなたがそれを言い表したように、あなたのトレーニングセットは有限の言語を説明しています。有限言語は自明でFSMにマップします。言語の文字列ごとに停止状態で終わる状態の線形セットを作成します。ループは必要ありません。次に、結果のマシンでFSM最小化アルゴリズムを実行します。

Is this a good way to build a classifier?

私はそうは言いません。FSMを最小化しても、その識別力は変わりません。それがポイントです。最小FSMは、ストリングのセットを、同等の非最小FSMとして正確に受け入れます。

一般に、正規表現は新規データの分類には適していません。有限トレーニングセットの場合、新しいデータに一般化する機能はなく、そのセットの肯定的な例のみに一致するRE / FSMを取得します。トレーニングコーパスに一致する無限の正規言語を見つけようとするアプローチを見たことはありません。

機械学習では、単純なベイズ分類器、決定木、ニューラルネットワーク、またはよりエキゾチックなものを探しています。Russell and Norvigの人工知能：モダンアプローチは、機械学習技術の概要（およびその他の多く）を見つけるのに最適な場所です。