興味深い研究問題を見つける方法

数年の授業にもかかわらず、研究テーマの選択に関してはまだ困っています。私はさまざまな分野の論文を見て、教授と話をしてきましたが、これは間違ったアプローチだと思い始めています。

私は、それが興味深い問題を見つけるのに役立つことを読んだことがあります。教科書は有名な未解決のものに言及していますが、私はそれらに直接取り組むことはしたくないでしょう。研究論文では、失敗した試みではなく、肯定的な結果のみが言及されました。

興味深い研究問題を見つけるにはどうすればよいですか？興味深い研究問題をどのように見つけますか？どこかにリストはありますか？

特定の問題に取り組む価値があるかどうかをどのように判断しますか？

「未解決の問題のリストを見つける」アプローチに強く反対します。通常、未解決の問題を進行させるのは非常に困難であり、技術分野で難しいが面白くない問題に取り組むことで良い研究が行われるとは完全に納得できません。

そうは言っても、もちろん、未解決の問題を解決することは、学術的な資格にとって本当に良いことです。しかし、それはあなたが求めていることではありません。

研究は、高いレベルで理解を生み出すように設計されたプロセスです。技術的な問題を解決することは、そのための手段です。多くの場合、問題とその解決策は、いくつかの科学現象（数学的構造、プログラミング言語の実践など）の構造または動作を明らかにします。

だから私の最初の提案は：あなたが理解したい問題を見つけることです。研究は基本的に混乱に関するものです。興味のある特定のトピックがありますが、あなたは根本的に不完全な理解を持っていると感じたり、技術的に明確に見えますが、良い直観に欠けていますか？これらは良い出発点です。テリー・タオのアドバイスに従ってください。これらの考慮事項から多くの優れた研究が生まれています。実際、このページ全体には多くの良いアドバイスが含まれています。十分に調査された問題や分野を見ている場合、すぐにオリジナルの洞察を得ることはほとんどないので、自分の調査と同時に文献を読むことが重要であることに注意してください。

第二に、教授とのコミュニケーションを軽視しないでください。彼らにあなたに提供したいプロジェクトについてではなく、彼ら自身の研究について尋ねてください。会話に参加しましょう！これは、あなたが興味を持っているものを見つけるのに役立ちますが、研究分野が彼らの分野でどのように見えるかも示します。研究は真空状態では行わ​​れないので、仲間の学生、学部の博士号、大学の講演やワークショップなどに行く必要があります。リストや特定の問題を見つけて、オフィスで自分をロックするだけではありません。

最後に、小さなものに取り組むことをお勧めします。研究はトップダウンよりもボトムアップであり、非常に単純なタスク（プルーフまたはプログラムの作成）が期待どおりに単純になることはめったにありません。研究規模ではないいくつかの小さなプロジェクト（宿題の拡大、学んだことの説明の作成）を行うと、しばしば真の研究レベルのものになります。最初は「大きく」しようとするのが一般的ですが、それが今の脳の働きです。

デイビッド・ヒルバートは有名な数学者です。彼は1900年にパリで国際数学者会議で述べ23の未解決の問題のリストを入れて
、私はただの一部を引用したいゆりマニンのヒルベルトと彼のリストについては、「作るグッド証明されている証明たちワイザー」と題したインタビューを：

今年の国際会議は、今世紀最後のICMです。ヒルベルトはまだ可能だと思いますか？ヒルベルトの問題に対応する現代的な問題はありますか？
実際、ヒルベルトのリストが今世紀の数学に大きな役割を果たしたとは思いません。それは確かに多くの数学者にとって心理的に重要でした。たとえば、アーノルドは、若い大学院生である間、ノートブックのヒルベルト問題のリストをコピーし、常に彼と一緒に保管していたと言いました。しかし、ゲルファンドがそれについて知ったとき、彼は実際にこれについてアーノルドをm笑しました。アーノルドは、問題解決を数学的業績の重要な部分と考えていました。私にとっては違います。数学的創造のプロセスは、既存のパターンを認識する一種と考えています。トポロジー、確率、数論など、何かを研究するとき、まず広大な領域の一般的なビジョンを獲得し、次にその一部に集中します。後で「そこにあるもの」と「すでに他の人に見られているもの」を認識しようとします。
問題を強調することは、山を征服する偉大なヒーローという一種のロマンチックな見方を解決するのでしょうか？
はい、どういうわけか一種のスポーツ観。無関係だとは言いません。若者が大きな成果を上げるために何らかの社会的認知を生み出すように誘う心理的デバイスとして、若者にとって非常に重要です。良い問題は、数学的心のビジョンを具現化したものです。それは、ある程度の高さを導く道を見ることができませんでしたが、山があることを認識していました。しかし、数学を見る方法も、一般の人々に数学を提示する方法もありません。そしてそれは本質ではありません。特にそのような問題がリストに載っているとき、それは世界の偉大な国の首都のリストのようなものです。それは、可能な限り最小限の情報を伝えます。私は、ヒルベルトがこれが数学を整理する方法であると思ったとは実際には信じていません。

これは最終的に主観的かつ個人的な質問であり、「長期的に」ある程度重要であると考えられる問題は科学的手法に出入りするものですが、多くの人が同意する大まかな共通のガイドラインがあり、トップの専門家もいます質問を検討しました。問題は非常に遍在しており、それを絞り込むプロセスです。

• リストの＃1はほとんどの場合、アドバイザーに相談してください！それは彼らの仕事の一部であり、もし彼/彼女が素晴らしいアイデアではないかもしれないと考えているなら、あなたは別の恩恵を受けたり、必要とするかもしれないと思う。

• あなたの大学の多くの人々は何に取り組んでいますか？通常、各大学には特定の専門分野があり、特定の分野/問題に対する熱意や興奮さえあります。

• 分野の賞を見て、彼らが勉強している分野、または賞を確認してください。TCSでは、チューリング賞、ゴデル賞、ネバンリンナ賞、ミレニアム賞。明らかに、これらは非常にトップ/ブレークスルーの仕事のためのものですが、本質的にそれらはすべて、漸進的な仕事がある広い領域を網羅しています。

• トップTCSブログは、さまざまな問題に対するコミュニティの関心のパルスを取得する素晴らしい情報源です。

また、この質問に答えるには、次の意味で「ルーツに戻る」ことが洞察力があるかもしれません。この分野で最も偉大な実績のある伝説的な巨匠の一人は数学者ヒルベルトであり、問​​題選択に関する彼の基本的な考え方の多くが適用され、検討/研究する価値があります。20世紀の変わり目に数学を駆り立てた彼の未解決の問題の多くは、ゴデルのthm、ホールティング問題、重要な第10の問題など、決定不能性などのアルゴリズム理論と驚くほど深いつながりがあることが判明しました。彼の見解は、コラッツ予想を「良い問題」として評価する際のラガリア、9秒で要約されています。

問題の価値を事前に正しく判断することは難しく、多くの場合不可能です。最終的な賞は科学が問題から得た利益に依存します。それにもかかわらず、我々は良い数学的な問題をマークする一般的な基準があるかどうかを尋ねることができます。フランスの古い数学者は、「数学の理論は、通りで出会った最初の人に説明できるほど明確になるまで、完全とは見なされない」と言いました。数学的理論の場合、完璧であるためには、数学的問題をさらに要求する必要があります。明確で理解しやすいものが魅力的であるため、複雑なものは反発します。さらに、数学的問題は私たちを誘惑するために難しいはずですが、完全にアクセスできないわけではありません。私たちの努力をあざけりません。それは私たちにとって、隠された真実への気まぐれな道についてのガイド投稿であり、最終的には成功した解決策の喜びを思い出させるものでなければなりません。

ラガリアでは、これらの要素を次のように要約しています。

1. 問題は明確で、単に述べられている問題ですか？
2. 難しい問題ですか？
3. それはアクセス可能であり、「それを解決するための私たちの努力を見せかけている」のではないでしょうか？

残念ながら多くの未解決の問題は＃3で失敗しますが、前述のように、より近くにあると思われる近くの問題とリラクゼーションが常に存在し、これらのリラクゼーションを公式化するだけでも有効な研究の一部と見なすことができます。