理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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カリキュラム：セキュリティの論理的/形式的方法
現在、私はセキュリティの論理的方法に関する短いコース（修士レベルでの2時間の講義4回）を教えていますが、「セキュリティの形式的方法」というタイトルの方が適切かもしれません。以下のトピックを簡単に説明します（関連する論理的方法を使用）。 デジタル著作権管理とポリシー施行（一般的な形式化、モーダルロジック、オートマトンによる施行） プルーフキャリングコードおよびプルーフキャリング認証（証明理論、論理システム、カリーハワード同型、検証） アクセス制御（非古典的な論理、証明理論） スタック検査（プログラミング言語のセマンティクス、コンテキストの等価性、バイシミュレーション） 当然、このコースには複数の目標があり、そのうちの1つが潜在的な大学院生を惹きつけています。 今後数年間で、コースは通常のコースに拡張される可能性があり、より多くのコンテンツが必要になります。ここの人々の背景は私のものとはまったく異なるので、そのようなコースにどのようなコンテンツを含めるか知りたいです。
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バイナリ乗算とパリティ畳み込み
この質問は、2進数の通常の乗算​​と多項式乗算mod 2の関係に関するものです。質問を具体的にするために、Knuth vol。2、第3版、本で与えられているものより420ページ。 「係数がコンピューターワードにパックされている場合、バイナリコンピューターで通常の算術演算を使用することにより、2を法とする多項式の乗算を容易にすることができます。」 Knuthは、最悪の場合に入力のビット数を対数乗数因子で拡張する合理的な単純な削減を提供します。このログ係数を減らすことはできますか？
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BosonSamplingペーパーは、複雑なマトリックスの簡単なクラスをどのように回避しますか？
線形光学の計算の複雑さ（ECCC TR10-170）、スコット・アーロンソンとアレックスArkhipovは、量子コンピュータを効率的に古典的コンピュータによってシミュレートすることができるならば、多項式階層が第3のレベルまで崩壊すると主張しています。動機付けの問題は、線形光学ネットワークで定義された分布からのサンプリングです。この分布は、特定のマトリックスのパーマネントとして表現できます。古典的な場合、行列のすべてのエントリは非負であるため、Mark Jerrum、Alistair Sinclair、およびEric Vigodaが示すように、確率的多項式時間アルゴリズムが存在します（JACM 2004、doi：10.1145 / 1008731.1008738）。クォンタムの場合、エントリは複素数です。一般的な場合（エントリが非負である必要がない場合）、Valiantの古典的な1979年の結果では、恒久係数は一定の係数内であっても近似できないことに注意してください。 この論文では、行列で定義される分布とサンプリング問題を定義していますDADAD_AAAA BosonSampling 入力：マトリックスサンプル：分布からAAA DADAD_A 硬さの結果を使用することは、特定の量子セットアップの行列のクラスがすべて特別な形式になる可能性があるため、古典世界と量子世界の分離の弱い証拠のようです。それらは複雑なエントリを持っているかもしれませんが、まだ多くの構造を持っているかもしれません。したがって、一般的な問題が＃P-hardであっても、そのような行列の効率的なサンプリング手順が存在する可能性があります。 論文でBosonSamplingを使用すると、簡単なクラスが避けられますか？ この論文は、量子の複雑さにはない多くの背景を使用しています。このサイトのすべての量子の人々を考えると、正しい方向へのポインタを本当に感謝しています。特定の実験設定で見られる複素数値行列のクラスが、サンプリングしやすい分布のクラスに実際に対応していることを発見した場合、引数はどのように保持されますか？それとも、これが起こらないことを保証する量子システムに固有の何かがありますか？
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どのくらいの計算能力が立方センチメートルに収まりますか？
この質問は、Aadita Mehraが尋ねたDNAアルゴリズムに関する質問のフォローアップです。 そこのコメントで、ジョー・フィッツシモンズは次のように言った。 これを避けるために、システムの半径は質量に比例して拡大縮小する必要があります。計算能力は、質量内で最大で線形にスケーリングします。したがって、機械の指数関数的な量には指数関数的な半径があります。光よりも速く信号を送ることはできないため、一方から他方への信号は反対側に到達するのに指数関数的に長い時間がかかります。時間。 私の質問には2つの部分があります。 （1）「計算能力は最大で線形に比例して拡大する」などのステートメントを形式化するための最良の方法/方法は何ですか？この声明は本当に議論の余地がないのでしょうか？ （2）ステートメントが真であると仮定します。そうであっても、自然がすでに指数関数的な量の前処理を行っていれば、それを利用できるかもしれません。たとえば、「ブルートフォースランダム化」による進化の視覚システムの作成などです。 私はこの種の質問に対するかなりの数のソフト（擬似科学的）回答を聞いて読んでおり、ここでの回答に感謝しますが、私は（1）と（2）がどのように作り直されることができるかに最も興味がありますTCSの厳格さ。
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ガベージコレクションされたプログラミング言語で指定された最悪のデータ構造の実行時間を分析するとき、GCのコストを無視できますか？
私は自分の質問への答えが「はい」であると仮定してきたことに気付いたが、正当な理由はない。おそらく、ワーストケースのスローダウンのみを導入するガベージコレクターがあると思います。引用できる決定的なリファレンスはありますか？私の場合、純粋に機能的なデータ構造に取り組んでおり、これらの詳細が重要な場合は標準MLを使用します。O(1)O(1)O(1) そしておそらく、この質問は、たとえばJavaで指定されたデータ構造に適用されると、さらに関連性が高くなるでしょうか？Javaを使用するアルゴリズム/データ構造の教科書に関連する議論があるかもしれません。（SedgewickにはJavaバージョンがあることは知っていますが、Cバージョンにしかアクセスできません。）
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ルービックキューブを解くために必要な移動数に極大はありますか？
Peter Shorは、ルービックキューブを解く複雑さに関する以前の質問に答えようとする試みに関して、興味深い点を持ち出しました。私はそれがNPに含まれなければならないことを示すためにかなり素朴な試みを投稿しました。ピーターが指摘したように、私のアプローチはいくつかの例で失敗します。このようなインスタンスの潜在的なケースの1つは、パスの長さに極大が存在する場合です。これにより、構成からキューブを解くには移動が必要になり、から1回の移動で到達できる任意の位置からキューブを解くにはまたはいずれかが移動することがあります。場合、これは必ずしもそのような問題ではありませんS A A S A S A − 1 A S A S A 3 × 3 × 3n×n×nn×n×nn \times n \times nSASAS_AAAASASAS_ASA−1SA−1S_A - 1AAASASAS_A一般的にキューブを解くのに必要な移動の最大数（そのキューブのGod's Number）ですが、がそのキューブのGod's Numberより厳密に小さい場合は間違いなく問題です。だから私の質問は、そのような局所的な最大値が存在するのですか？キューブに対する答えでさえも私にとって興味深いものです。SASAS_A3×3×33×3×33 \times 3 \times 3
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完全な準同型暗号化は、忘却型コード実行に使用できますか？
しばらく前にこの回答を読んだ後、私は完全に準同型暗号化に興味を持ちました。Gentryの論文の紹介を読んだ後、私は彼の暗号化スキームが3番目の段落で定義されているように忘却的なコード実行に使用できるかどうか疑問に思い始めました。 完全準同型暗号化スキームでは、通常、一部のデータを暗号化し、データに対して特定の関数が計算される敵対的な環境に送信します。その結果は、受信者が受信したデータを見つけたり、関数の結果は次のとおりです。 気付かないコードの実行とは、ある問題を解決するために設計されたコードを暗号化し、敵対的な環境に送信することを意味します。敵は使用したい解決するために、私たちは彼がどのように知っている必要はありませんCで動作します。彼が入力されている場合、私のためにPを、彼は暗号化することができ、私をしてから（上のいくつかの暗号化方式）を使用するCとIその後、（暗号化されていない）の出力を返し、O（溶液P入力用のICCCPPPCCCPPPCCC私私IPPP私私ICCC私私IOOOPPP私私I）。暗号化スキームは、攻撃者がコードの一部がどのように機能するかを決して見つけられないようにします。つまり、彼にとってはオラクルのように機能します。 このような暗号化スキームの主な実用的方法（考えられる）は、著作権侵害をより困難にするか、不可能にすることです。 完全に準同型の暗号化スキームを使用してこれが可能になると思うのは、暗号化されたデータ、特にユニバーサルチューリングマシンで任意の回路を実行できるからです。次に、コードをデータのように暗号化し、この暗号化されたデータでユニバーサルチューリングマシンの回路を使用してコードを実行できます。 このアイデアが使えるかどうかわからないので、ここで質問としてこれを提起します。Gentryの論文の紹介よりもはるかに先に進むことはなく、暗号に関する私の知識は限られています。また、忘れがちなコードの実行によく使われる用語があるかどうかもわかりません。Googleでアイデアを検索しようとしましたが、適切な用語がわからずに何も見つかりませんでした。 このアプローチで問題を引き起こす可能性のある複数の問題が考えられます。まず、修正せずに完全準同型暗号化を使用すると、計算結果（OOO）が暗号化されます。したがって、Pを解くためにコードを使用したい敵にとっては役に立ちませんPPP。これは、たとえばクラウドコンピューティングにはまだ有用かもしれませんが、私が達成したいことではありません。 次に、任意のチューリングマシンではなく回路を使用しているため、任意の量のメモリを使用することはできません。所定の量のメモリに制限されています。つまり、この方法でプログラムを実行する場合、メモリフットプリントは常に同じ、つまりピークメモリ使用量になります。 最後に、関連する定数は、ほぼ確実にそのようなシステムの実際の使用を完全に無効にしますが、それでもこのアイデアは興味深いと思います。
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社会的選択、矢の定理、未解決の問題
ここ数ヶ月、社会的選択、矢の定理、および関連する結果について自分自身で講義を始めました。 独創的な結果について読んだ後、半順序の優先順位で何が起こるかについて自問しました。答えはピニらの論文にあります。：部分的に順序付けられた設定の集約：不可能性と可能性の結果。それから、許容可能な社会的選択機能の特性を見つけることが可能かどうか疑問に思いました。そして再び誰かがそれをしました（MosselとTamuzによるArrowの定理の条件を満足する関数の完全な特徴付け）。完全なリストは提供しませんが、社会的選択に関連する問題のいずれかは、過去5年間ですべて解決したと考えることができます:( それで、フィールドで最近何が行われ、何が行われなかったかについての調査があるかどうか知っていますか？ 別の質問：複雑さと社会的選択に関連する問題（たとえば、少なくとも1つの社会的選択機能と互換性のあるユーザーの最大のサブセットを見つける複雑さ、またはこの種の質問）を知っていますか？
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3-SUMの乗算バージョン
3-MULと呼ばれる次の問題の時間の複雑さについて何が知られていますか？ 集合所与のnは整数、そこ要素は、B 、C ∈ Sように、B = C？SSSnnna,b,c∈Sa,b,c∈Sa,b,c\in Sab=cab=cab=c この問題は、3つの要素があるかどうかを尋ねる3和問題と類似している、B 、Cは∈ Sよう+ B + C = 0（または同等に+ B = C）。3-SUMは、nの約2次時間を必要とすると推測されます。3-MULについて同様の推測がありますか？具体的には、3-MULは3-SUMとして知られていますか？a,b,c∈Sa,b,c∈Sa,b,c\in Sa+b+c=0a+b+c=0a+b+c=0a+b=ca+b=ca+b=cnnn 時間の複雑さは、「合理的な」計算モデルに適用されることに注意してください。例えば、我々はセットに3-SUMから減少させることができるセットに3-MULにS '、ここで、 S ' = { 2 X | X ∈ S }。次いで、3-MULの溶液、2 ⋅ 2 、B = 2 、Cは、場合にのみ存在+ B = C。ただし、この指数の爆発的な拡大は、たとえばRAMモデルなどのさまざまなモデルで非常に悪くなります。SSSS′S′S'S′={2x∣x∈S}S′={2x∣x∈S}S'=\{2^x\mid x\in S\}2a⋅2b=2c2a⋅2b=2c2^a\cdot 2^b=2^ca+b=ca+b=ca+b=c
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機械スケジューリングのための多項式時間近似アルゴリズム：いくつの未解決問題が残っていますか？
1999年、Petra SchuurmanとGerhard J. Woegingerが論文「機械スケジューリングのための多項式時間近似アルゴリズム：10の未解決問題」を発表しました。それ以来、私の知る限り、同じ問題のリストに関係するレビューは出ていません。したがって、私たち一人一人が10の未解決の問題のいくつかについてそのような要約を作成し、ここでそれを貢献できれば、とても便利です。
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「実験的複雑性理論」は未解決の問題を解決するために使用されていますか？
スコットアーロンソンは興味深い挑戦を提案しました。物理学者が大粒子衝突型加速器を使用するのと同じ方法で、CS問題を解決するのに今日スーパーコンピューターを使用できますか？ より具体的には、私の提案は、次のような質問に答えるために、世界の計算能力の一部を全面的な試みに充てることです。 彼は、これには約浮動小数点演算が必要であり、現在の手段を超えていると結論付けています。スライドが用意されていますし、また読書の価値があります。 101231012310^{123} 総当たり実験によって未解決のTCS問題を解決するための優先順位はありますか？
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ワーストケース、平均ケースなどの他の種類の実行時間分析？
アルゴリズムの実行時間を分析する方法は次のとおりです。 1）最悪の場合の分析：最悪のインスタンスでの実行時間。 2）平均ケース分析：ランダムインスタンスの予想実行時間。 3）償却分析：インスタンスの最悪のシーケンスでの平均実行時間。 4）平滑化された分析：最悪のランダムに摂動されたインスタンスの予想実行時間。 5）一般的なケース分析：インスタンスの小さなサブセットを除くすべての最悪の実行時間。 私の質問：これは完全なリストですか？
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非決定的時間階層に自然な分離はありますか？
元の非決定的時間階層定理はクックによるものです（リンクはS.クック、非決定的時間複雑性の階層、JCSS 7 343–353、1973）。定理は、任意の実数r1r1r_1およびr2r2r_2について、場合、NTIME（）は厳密にNTIME（）に含まれることを示しています。N 、R 1 N 、R 21≤r1<r21≤r1<r21 \le r_1 \lt r_2nr1nr1n^{r_1}nr2nr2n^{r_2} 証明の重要な部分の1つは、（指定されていない）対角化を使用して、より小さいクラスの要素から分離言語を構築します。これは非構造的な議論であるだけでなく、対角化によって得られる言語は、通常、分離自体以外の洞察を提供しません。 NTIME階層の構造を理解したい場合は、おそらく次の質問に答える必要があります。 NTIME（）には自然言語がありますが、NTIME（）にはありませんか？ n knk+1nk+1n^{k+1}nknkn^k 候補の1つはk-ISOLATED SATで、ハミング距離k内に他の解がないCNF式の解を見つける必要があります。ただし、下限を証明することは、いつものよう に難しいようです。ハミングkボールをチェックすると、異なる割り当てをチェックする必要がある可能性のある解決策がないことは明らかですが、これを証明するのは決して簡単ではありません。 （注：Ryan Williamsは、 -ISOLATED SATのこの下限が実際にP≠NPであると証明するため、この問題は正しい候補ではないようです。）Ω(nk)Ω(nk)\Omega(n^k)kkk 定理は、P対NPなどの証明されていない分離に関係なく、無条件に成立することに注意してください。したがって、この質問に対する肯定的な回答は、上記のk -ISOLATED SATのような追加のプロパティがない限りkkk、P対NPを解決しません。 NTIMEの自然な分離は、おそらくNPの「困難な」動作の一部を明らかにするのに役立ちます。NPの難しさは、無限に上昇する一連の硬さから困難を導き出します。 下限は難しいので、まだ証拠がなくても、下限を信じる正当な理由があるかもしれない自然言語を答えとして受け入れます。この質問はDTIMEについてであった場合たとえば、私は受け入れられていたf(k)f(k)f(k)非減少関数のために、-CLIQUEをf(x)∈Θ(x)f(x)∈Θ(x)f(x) \in \Theta(x)、おそらく必要な分離を提供することを自然言語として、 RazborovとRossmanの回路の下限とCLIQUEのn1−ϵn1−ϵn^{1-\epsilon} -inapproximabilityに基づいています。 （KavehのコメントとRyanの回答に対処するために編集されました。）
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本からの削減。
これは、「本からのアルゴリズム」に沿っています。リダクションはアルゴリズムでもありますが、本からのアルゴリズムに関する質問への応答のリダクションを考えることは疑わしいと思いました。したがって、別のクエリです！ あらゆる種類の削減は大歓迎です。 まず、頂点のカバーから星のマルチカットへの本当に簡単な削減から始めます。ソースの問題が特定されると、その減少はほとんど示唆されます（その前に、問題が星では難しいと信じることは難しいでしょう）。この削減には、リーフを持つスターの構築、およびグラフのすべてのエッジとのペアの端末の関連付けが含まれ、それが機能することは「見やすい」です。参照が見つかったら、参照へのリンクでこれを更新します。nnn 本の文脈を逃している人は本からアルゴリズムに関する質問を見たがっているかもしれません。 更新：私は、この本からの縮小とみなされるものについて完全に明確ではなかったことを認識しています。私はこの問題に少し注意が必要だと思うので、他のスレッドへの参照をすり抜けて、故意に問題をかわすことを告白します:) それで、私が念頭に置いていたものを説明させてください、そして、私はそれが言うまでもなく行くと思います-この点でYMMV。私は本からの証拠の本来の意図に直接類似するつもりです。私は非常に賢い削減を見てきましたが、その一連の思考がどのように誰に起こったのかについて、私はギャップを残しています。このような削減によって明確なa敬の念が残りますが、これらはこの文脈で収集しようとしている例ではありません。 私が探しているのは、把握しやすいが思い付かないという理由で、難易度が低く説明されている削減であり、おそらく多少驚くべきことです。問題の削減にはカバーする講義が必要だと推定する場合、法案に合わない可能性が高いですが、高レベルのアイデアがエレガントで、詳細に悪魔がいる例外があるかもしれないと確信しています（記録、私は私が何かを考えることができるかどうかわからない）。 私が与えた例は、意図的に単純であり、できれば完全にではないにしても、これらの特性をある程度説明することを望んでいます。マルチカットについて初めて聞いたのは教室で、インストラクターは、一般にNPが難しいだけでなく、木に制限されていてもNPが難しいと言い始めました... { 高さの劇的な一時停止} 一つ。振り返ってみると明らかですが、すぐに証明できなかったことを思い出します。 私は考え振り返ってみると明らかに密接に私が探していますについて説明します。これが説明の複雑さに関係しているかどうかはわかりません-おそらくはっきりしない何かがエレガントと分類される場合があります-遠慮なくあなたの例を持ち出してください（例外？）が、正当化を本当に感謝します。ある時点の後、これは好みの問題であることを考えると、あなたが私がめちゃくちゃ複雑で完全に美しいと見ているものを見つけることを確かに気軽にすべきです。さまざまな例を見るのを楽しみにしています！
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