非決定的時間階層に自然な分離はありますか？

元の非決定的時間階層定理はクックによるものです（リンクはS.クック、非決定的時間複雑性の階層、JCSS 7 343–353、1973）。定理は、任意の実数$r_1$および$r_2$について、場合、NTIME（）は厳密にNTIME（）に含まれることを示しています。N 、R 1 N 、R $1 \le r_1 \lt r_2$$n^{r_1}$$n^{r_2}$

証明の重要な部分の1つは、（指定されていない）対角化を使用して、より小さいクラスの要素から分離言語を構築します。これは非構造的な議論であるだけでなく、対角化によって得られる言語は、通常、分離自体以外の洞察を提供しません。

NTIME階層の構造を理解したい場合は、おそらく次の質問に答える必要があります。

NTIME（）には自然言語がありますが、NTIME（）にはありませんか？ n $n^{k+1}$$n^k$

候補の1つはk-ISOLATED SATで、ハミング距離k内に他の解がないCNF式の解を見つける必要があります。ただし、下限を証明することは、いつものよう に難しいようです。ハミングkボールをチェックすると、異なる割り当てをチェックする必要がある可能性のある解決策がないことは明らかですが、これを証明するのは決して簡単ではありません。 （注：Ryan Williamsは、 -ISOLATED SATのこの下限が実際にP≠NPであると証明するため、この問題は正しい候補ではないようです。）$\Omega(n^k)$$k$

定理は、P対NPなどの証明されていない分離に関係なく、無条件に成立することに注意してください。したがって、この質問に対する肯定的な回答は、上記のk -ISOLATED SATのような追加のプロパティがない限り$k$、P対NPを解決しません。 NTIMEの自然な分離は、おそらくNPの「困難な」動作の一部を明らかにするのに役立ちます。NPの難しさは、無限に上昇する一連の硬さから困難を導き出します。

下限は難しいので、まだ証拠がなくても、下限を信じる正当な理由があるかもしれない自然言語を答えとして受け入れます。この質問はDTIMEについてであった場合たとえば、私は受け入れられていた$f(k)$非減少関数のために、-CLIQUEを$f(x) \in \Theta(x)$、おそらく必要な分離を提供することを自然言語として、 RazborovとRossmanの回路の下限とCLIQUEの$n^{1-\epsilon}$ -inapproximabilityに基づいています。

（KavehのコメントとRyanの回答に対処するために編集されました。）

私が知る限り、私たちはそのような言語を知りません、または知っていれば、それらの「自然さ」について重大な論争があります。私はこれが本当に満足のいく答えではないことを知っていますが、私は言うことができます：

（a）kごとにk -ISOLATED SATの時間の下限を証明する場合、実際にはP ≠ N Pであることが証明されています。$\Omega(n^k)$$k$$P \neq NP$

（b）k-ISOLATED SATがにおけるこれらの自然問題の1つであることを示すことを望む1つの方法は、k-ISOLATED SAT問題は、N T I M E [ n k ]にとって難しい（通常、正式な意味での効率的な削減）。実際、これがそのような結果を証明する方法を知っている唯一の方法です。しかし、k-ISOLATED SATはおそらくこの意味では難しくありません。非常にまれな結果がいくつかあります。$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$$NTIME[n^k]$

主な理由は、K単離さSATインスタンスがで解決可能であるである独立の、K。孤立した割り当てを実存的に推測し、その後、すべてのO （log （∑ k i = 1 （$\Sigma_2 TIME[n]$$k$割り当てでkビットまでフリップする方法）他の「ローカル」割り当ては機能しない。$O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$$k$

これがパート（a）の証明です。ISOLATED SATを問題のバージョンとし、入力の一部として（単項で、たとえば）与えます。ISOLATED SATがすべてのk に対して Ω （n k）時間を必要とすることを証明すると仮定します。場合P = N Pは、その後、Σ 2 T I M Eは、[ N ]であるT I M E [ N C ]いくつかの固定のためにC（証明はクックの定理の効率的なバージョンを使用する：SATアルゴリズムは時間で実行がされている場合n $k$$\Omega(n^k)$$k$$P=NP$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^c]$$c$$n^d$、その後で十分です）。しかし、我々は、中の言語があることを証明したΣ 2 T I M E [ N ]であるないにT I M E [ n個のk ]すべてのために、kは。これは矛盾であるため、P ≠ N Pです。$c > d^2$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^k]$$k$$P \neq NP$

これは、パート（b）の証明です。すべての場合効率K単離さSAT公式に低減することができる（例えば、全てのnのビット・インスタンスLは、に縮小うkはせいぜいの-ISOLATED SAT式をF （K ）N Cサイズ）をN P = ⋃ K N T I M E [ N K ] ⊆ Σ 2 T I M E $L \in NTIME[n^k]$$n$$L$$k$$f(k) n^{c}$。これはすぐに暗示 C O N P ≠ N Pを、しかし、さらにそれだけですべてのことを非常に低く見え N Pは多項式階層内でその効率的にシミュレートすることができます。$NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$$coNP \neq NP$$NP$