3-SUMの乗算バージョン

3-MULと呼ばれる次の問題の時間の複雑さについて何が知られていますか？

集合所与のnは整数、そこ要素は、B 、C ∈ Sように、B = C？$S$$n$$a,b,c\in S$$ab=c$

この問題は、3つの要素があるかどうかを尋ねる3和問題と類似している、B 、Cは∈ Sよう+ B + C = 0（または同等に+ B = C）。3-SUMは、nの約2次時間を必要とすると推測されます。3-MULについて同様の推測がありますか？具体的には、3-MULは3-SUMとして知られていますか？$a,b,c\in S$$a+b+c=0$$a+b=c$$n$

時間の複雑さは、「合理的な」計算モデルに適用されることに注意してください。例えば、我々はセットに3-SUMから減少させることができるセットに3-MULにS '、ここで、 S ' = { 2 X | X ∈ S }。次いで、3-MULの溶液、2 ⋅ 2 、B = 2 、Cは、場合にのみ存在+ B = C。ただし、この指数の爆発的な拡大は、たとえばRAMモデルなどのさまざまなモデルで非常に悪くなります。$S$$S'$$S'=\{2^x\mid x\in S\}$$2^a\cdot 2^b=2^c$$a+b=c$

SUMから3 MUL への削減は、わずかな標準修正で機能します。元の整数が{ 1 、… 、M }にあったとします。変換x → 2 xの後、新しい整数は{ 2 、… 、2 M }にあります。範囲を縮小します。$3$$3$$1,\ldots,M$$x\rightarrow 2^x$$2,\ldots,2^M$

新しいセットS 'の整数トリプルを考えます。ゼロ以外のa b − cの素数の数は< 2 Mです。そのようなトリプルの数はn 3です。したがって素数の数Qの少なくとも一方で除算B - Cゼロ以外の番号が最大である2 M nは3。$a,b,c$$S'$$ab-c$$<2M$$n^3$$q$$ab-c$$2Mn^3$

ましょう最初の組である2 M ⋅ N 4つの素数。最大のそのような素数のサイズは最大でO （M n 4 log M n ）です。ランダムプライム選びのp ∈ Pを。高い確率でpはゼロ以外の任意の分割されませんB - 、Cを我々が表現できるように、各A ∈ S 'その残基、MODによってP、及び場合3 MULは、いくつかの発見B = Cで$P$$2M\cdot n^4$$O(Mn^4\log Mn)$$p\in P$$p$$ab-c$$a\in S'$$p$$3$$ab=c$、高い確率で、元の 3 SUMインスタンスに対して正しいでしょう。数値の範囲を{ 0 、… 、O （M n 4 log M n ） }に減らしました。$S'$$3$$0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

（これは、標準サイズの減少であるあなたがいるという事実を考慮することで、より良い行うことができるかもしれない。B - cはいつもの2つの大国の違いです2。）$ab-c$$2$

Have you tried the reduction $S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$ where $M=\max S− \min S$? The results are real numbers so you'd have to round to some number of digits. To ensure that the numbers add correctly despite the rounding you may need to add a bit of random noise.