理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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ツリー幅が制限されたグラフの対数空間アルゴリズム
ツリーの幅は、グラフがツリーにどれだけ近いかを測定します。ツリーの幅を計算するのはNP困難です。最もよく知られている近似アルゴリズムは係数。O （log n−−−−√）O（ログn）O(\sqrt{{\log}n}) Courcelleの定理は、単項2次論理（MSO2）で定義可能なグラフのプロパティは、有界ツリー幅のグラフのクラスで線形時間で決定できると述べています。最近の論文は、「線形時間」が「ログスペース」に置き換えられた場合でも、クールセルの定理がまだ有効であることを示しました。ただし、これは、ツリー幅が制限されているグラフのグラフ同型の空間の複雑さを解決しません。最もよく知られている結果は、LogCFLにそれを置きます。 他の問題はありますか： 一般的なグラフ上のNP-hard（またはPにあることが知られていない） 制限されたツリー幅を持つグラフ上の線形/多項式時間で解けることが知られている LogSpaceにあることが知られていない？
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ほとんどのグラフのクリーク幅
（2週間前にこの質問をMathOverflow に投稿しましたが、これまでのところ厳密な回答はありませんでした） 無向単純グラフのグラフ幅測定について質問があります。コグラフ（孤立した頂点から始まる、互いに素な結合と補完の操作によって作成できるグラフ）のクリーク幅は最大2であることがよく知られています（Courcelle et al、Upper bounds to the graphs of graphs）。ここで、固定された負でない整数kを考え、グラフのクラスを考えて、すべてのにの集合があるようにしますがグラフであるようなk個の頂点。グラフクラスは、最大で追加することにより、グラフから構築できるグラフのクラスと見なすこともできるため、GkGk\mathcal{G} _kG=(V,E)∈GkG=(V,E)∈GkG = (V,E) \in \mathcal{G} _kSSSG[V−S]G[V−S]G[V - S]GkGk\mathcal{G} _kkkk頂点、このクラスはcographs +とも呼ばれています。kvkvkv 私の質問は、のグラフのクリーク幅、つまりk個の頂点を削除することでグラフに変換できるグラフの厳密な限界は何ですか？GkGk\mathcal{G}_k 個の頂点を削除してグラフをから取得した場合、ことが知られています。これは、個の頂点を削除することでグラフからコグラフを取得できる場合、であり、したがってグラフのクリーク幅は最大。私は上のこの指数関数的な依存かどうかわからないよ必要です。これに関連して、頂点を削除することによるクリーク幅の最大減少にも興味があります。すなわち、グラフから単一の頂点を削除した場合、クリーク幅はどのくらい減少しますか？GGGHHHkkkcw(H)≤2k(cw(G)+1)cw(H)≤2k(cw(G)+1)cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)GGGHHHkkkcw(H)≤2k(3+1)cw(H)≤2k(3+1)cw(H) \leq 2^k (3 + 1)GkGk\mathcal{G}_k4∗2k4∗2k4*2^kkkk
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プレゼンテーションに使用するツールは何ですか？
この分野の人々（理論的なコンピューターサイエンス）がプレゼンテーションを作成するためにどのツールを使用するのか疑問に思っていました。多くのコンピューターサイエンスは論文を書くだけでなく、プレゼンテーションも行うので、これは重要なソフトな質問になると思いました。これは、論文を書くのにどのツールを使用するかという前の質問に触発されました。私が見た最も一般的なものは次のとおりです。 ビーマー Microsoft PowerPoint ラテックス GraphViz 私が見逃している他のトリックがあるかどうか疑問に思っていましたか？
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色数を計算するための多項式時間アルゴリズムを持つグラフファミリ
8月31日に更新された投稿：元の質問の下に現在の回答の概要を追加しました。おもしろい答えをありがとう！もちろん、誰もが新しい発見を投稿し続けることができます。 どのグラフファミリについて、色数を計算するための多項式時間アルゴリズムが存在しますか？χ(G)χ(G)\chi(G) この問題は、（2部グラフ）の場合、多項式時間で解決できます。一般に、χ （G ）≥ 3、色数を計算することはNP困難であるが、これが当てはまらない場合、多くのグラフファミリがあります。たとえば、彩色サイクルと完全なグラフは、多項式時間で実行できます。χ(G)=2χ(G)=2\chi(G) = 2χ(G)≥3χ(G)≥3\chi(G) \ge 3 また、多くのグラフクラスでは、対応する色多項式を単純に評価できます。Mathworldのいくつかの例。 上記のほとんどは常識だと思います。最小のグラフの色付けが多項式時間で解ける他の（自明でない）グラフファミリがあるかどうか喜んで学びます。 特に、正確で決定的なアルゴリズムに興味がありますが、興味深いランダム化アルゴリズムまたは近似アルゴリズムを自由に指摘してください。 アップデート（8月31日）： 興味深い回答を提出してくださった皆さんに感謝します。回答と参考文献の簡単な要約を以下に示します。 完璧でほぼ完璧なグラフ 幾何学的アルゴリズムと組み合わせ最適化（1988）、第9章（グラフの安定セット）。マーティン・グロッシェル、ラズロ・ロバス、アレクサンダー・シュライバー。 本の第9章では、最小加重クリーク被覆問題を介して色付け問題を解決する方法を示しています。それらは楕円法に依存しているため、これらのアルゴリズムは実際にはあまり有用ではないかもしれません。また、この章には、完全なグラフのさまざまなクラスに関する素晴らしい参照リストがあります。 Combinatorial Optimization（2003）、Volume B、Section VI Alexander Schrijver。 この本には、完全なグラフとその多項式時間彩色性に専念する3つの章があります。簡単に見てみましたが、基本的なアプローチは前の本と同じようです。 b完全グラフの特性（2010）。チン・T・ホアン、フレデリック・マフレ、メリーム・メチェベック 制限されたツリー幅またはクリーク幅のグラフ クリーク幅が固定されたグラフのエッジ支配セットとカラーリング（2001）。ダニエル・コブラー、Udi Rotics ここでのアルゴリズムでは、パラメーターとしてk式（有界なクリーク幅でグラフを構築するための代数式）が必要です。一部のグラフでは、この式は線形時間で計算できます。 Yaroslavは、有界ツリー幅グラフのカラーリングをカウントする方法で指摘しました。以下の彼の答えをご覧ください。 kkk 頂点カラーリングのパラメーター化された複雑さ（2003）。ライゼン・カイ。 kkkkkk コーダルグラフのパラメータ化されたカラーリング問題（2006）。ダニエル・マルクス。 kkkkkk 特定のサブグラフを含まないグラフ 多項式時間でのP5-Freeグラフのk-Colorabilityの決定（2010）。チン・T・ホアン、マルシン・カミンスキー、ヴァディム・ロジン、ジョー・サワダ、シャオ・シュウ。 多項式時間での3色のATフリーグラフ（2010）。ジュラジ・スタチョ。 四分木を着色 クワッドツリーを着色するためのアルゴリズム（1999）。David Eppstein、Marshall W. Bern、Brad Hutchings。
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スパース整数線形計画問題の解決策について知られていることは何ですか？
各制約が最大で（たとえば）4つの変数（-1の係数を持つことができる1つの変数を除くすべてが非負で、{0,1}の係数を持つ）を持つ線形制約のセットがある場合、解について知られていることスペース？変数の数と制約の数、および変数の数の関数として、目的関数の最小値がどれだけ小さいかを知るよりも、効率的な解決策についてはあまり関心がありません（わかっている場合は示してください）制約。 より具体的には、プログラムは次のようなものです すべてのiの 対象となるtを最小化、x_iは正の整数 x1 + x2 + x3-t <0 x1 + x4 + x5-t <0 ... x3 + x6-t≥0 x1 + x2 + x7-t≥0 ... 具体的な質問が必要な場合、最小解がt <= O（max {＃of variables、＃of constraint}）に従い、O（）の定数がまばらに依存する場合ですか？しかし、答えがいいえであっても、そのような問題の議論のためにどんな種類の教科書や論文を勉強するのか、そしてこの種のことを専門とする研究分野があるが、私は知りません検索する用語。ありがとうございました。 更新：さらなる考察（および3SATを3変数の制約を使用するILPへのかなり単純な還元を通して考える）で、係数の問題が重要であることがわかります（効率的なアルゴリズムがある場合）。より正確には、すべてのx_i変数は0または1の係数（1つの制約で最大3つの1係数）を持ち、すべてのt変数は-1の係数を持ち、すべての比較は左側に変数を持ち、右側に0を持ちます。上記の例を更新して、明確にしました。
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SATの最小回路を見つけることの複雑さについて知られていることは何ですか？
長さまでのSATを計算する最小回路を見つけることの複雑さについて知られていることは何ですか？ nnn もっと正式に：、所与の関数の複雑さは何である、入力として、最小限の回路の出力Cような、その任意の式のためφと| φ | ≤ N、C （φ ）= S A T （φ ）？1n1n1^{n}CCCφφ\varphi|φ|≤n|φ|≤n|\varphi| \leq nC(φ)=SAT(φ)C(φ)=SAT(φ)C(\varphi) = SAT(\varphi) （特に下限に興味があります。） ナイーブ決定論的アルゴリズム（長さにブルートフォースによって計算SATアップ、その後、あなたは正しく長さに土を計算し1見つかるまでのサイズのために、すべての回路を試しnが）かかり≤ 2 O （N ） SATを計算するための時間を、その後、最小回路を見つけるための追加のO （2 n 2 M）時間。ここで、Mは最小回路のサイズです。 nnnnnn≤2O(n)≤2O(n)\leq 2^{O(n)}O(2n2M)O(2n2M)O(2^n 2^M)MMM 決定論的アルゴリズムが存在することを実行する時間であるSATのための発見最小回路、Mは最小の回路規模でありますか？または、これは複雑さの崩壊を意味しますか？o(2n2M)o(2n2M)o(2^n 2^M)MMM 私の質問に関連しているものの、私が質問していることとはまったく異なる 2つのことを次に示します（つまり、検索が少し難しいと思う理由です）。 回路最小化問題：回路（またはその真理値表で与えられる関数f、または他のいくつかの変形）が与えられると、Cと同じ関数を計算する最小回路C 'を見つけます。回路の最小化が簡単だったとしても、最小化する関数（長さnまでのSAT）を計算することさえ難しいと考えられるため、上記のタスクが簡単であることを必ずしも意味しません。最小化するのは自由です（入力として指定されます）。CCCfffC′C′C'CCCnnn 対 P / P O リットルY。私の質問は、最小回路のサイズだけではありません。それは、サイズに関係なく、最小限の回路を見つけることの複雑さについてです。我々は次に、多項式時間で最小の回路計算することができ、明らか場合 N P ⊆ P / P …
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ババイのグラフ同型結果のステータスはどうなっていますか？
2017年1月の撤回と修正から1年以上が経過しました。ニュースはありますか？ そうでない場合、検証にこれほど時間がかかるのは正常ですか？私はそれが多くの注目を集めると期待しています。準多項式の結果をサポート/疑うために、誰かが話したことがありますか？
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グラフ同型が
私のポストにFortnowさんのコメント、によって動機づけグラフ同型問題ではないという証拠 -completeNPNPNP G I N P N P P G I P、およびという事実によってための最有力候補である -中間の問題（ない -completeも中）、Iは、既知の証拠に興味を持っていますそのはありません。GIGIGINPNPNPNPNPNPPPPGIGIGIPPP そのような証拠の1つは、制限されたグラフ自己同型問題の完全性です（固定小数点フリーグラフ自己同型問題は完全です）。この問題と他の一般化は、Lubiwによる「Graph Isomorphismに似たNP完全問題」で研究されました。45年以上にも関わらず多項式時間アルゴリズムを見つけた人はいないという事実を証拠として主張する人もいます。N P G I G INPNPNPNPNPNPGIGIGIGIGIGI がないことを信じるには、他にどのような証拠が必要ですか？PGIGIGIPPP
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通常の言語で単語を達成するために文字をスケジュールできるかどうかをテストする
私は修正し、正規言語 アルファベットに、と私は呼んでいることを、次の問題を考慮して、文字のスケジュールのために。非公式には、入力は各文字の文字と間隔（つまり、最小位置と最大位置）を提供し、私の目標は2つの文字が同じ位置にマッピングされないように各文字をその間隔に配置することです結果の文字の単語はます。正式に：LLLΣΣ\SigmaLLLnnnnnnLLL 入力：トリプルと整数でありますnnn(ai,li,ri)(ai,li,ri)(a_i, l_i, r_i)ai∈Σai∈Σa_i \in \Sigma1≤li≤ri≤n1≤li≤ri≤n1 \leq l_i \leq r_i \leq n 出力：全単射があるよう全て用、及び。f:{1,…,n}→{1,…,n}f:{1,…,n}→{1,…,n}f: \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, n\}li≤f(i)≤rili≤f(i)≤ril_i \leq f(i) \leq r_iF - 1（1 ） ⋯ F - 1（N ） ∈ Liiiaf−1(1)⋯af−1(n)∈Laf−1(1)⋯af−1(n)∈La_{f^{-1}(1)} \cdots a_{f^{-1}(n)} \in L 明らかに、この問題はNPにあり、全単射を推測し、PTIMEでメンバーシップをチェックします。私の質問：正規言語のありのための文字スケジューリング問題ような NP困難であるが？fffLLLLLLLLL いくつかの初期観察： スケジューリングでは同様の問題が研究されているようです：開始日と終了日を考慮しながら、単一のマシンで単位コストのタスクをスケジューリングすることとして問題を見ることができました。しかし、後者の問題は明らかに貪欲なアプローチでPTIMEにあり、タスクがラベル付けされており、ターゲットの正規言語で単語を達成したい場合のスケジューリングに関する文献には何も見当たりません。 この問題を見るもう1つの方法は、2部構成の最大一致問題（文字と位置の間）の特殊なケースとしてですが、やはりなければならないという制約を表現するのは困難です。LLL がいくつかの固定単語の形式言語である特定の場合（たとえば）、文字スケジューリング問題は簡単な欲張りアルゴリズムを使用したPTIMEにあります。左から右へ、それぞれの位置に、使用可能な文字のうち、関連して正しく、時間が最小のものを1つ入れます。（正しい正しい文字がない場合は失敗します。）ただし、これは任意の通常言語一般化されません。そのような言語では、使用する文字の種類を選択できるためです。LLLu∗u∗u^*uuu(ab)∗(ab)∗(ab)^*LLLLLLririr_iLLL 動的なアルゴリズムは機能するように見えますが、実際にはそれほど単純ではありません。これまでに受け取った文字のセットを記憶する必要があるようです。確かに、左から右に単語を構築するとき、位置に到達したとき、あなたの状態はこれまでにどの文字を消費したかに依存します。指数関数的に多くの状態が存在するため、セット全体を記憶することはできません。しかし、それを「要約」するのはそれほど簡単ではありません（たとえば、各文字のコピーの数によって）。どのコピーを使用したかを知るには、いつそれらを消費したかを覚えておく必要があるようです。それら、より多くの手紙が利用可能でした）。でも似た言語で、（a b | b a …
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PのPLANAR NAE k-SATはどのkですか？
Not all Equal -SAT問題（NAE -SAT）は、各節が最大でリテラルを含むようにブール変数のセットに対する節のセットが与えられ、次のような変数の真の割り当てがあるかどうかを尋ねます各句には、少なくとも1つのtrueリテラルと少なくとも1つのfalseリテラルが含まれます。k C X kkkkkkkCCCバツXXkkk PLANAR NAE -SAT問題はNAEの制限であるの入射二部グラフこれらのインスタンスに-SAT及び（部品すなわちグラフととの間のエッジにと場合そしてまたはが属する場合のみ、平面です。kkkC X C X のx ∈ X C ∈ C X ¯ X CkkkCCCバツXXCCCXXXx∈Xx∈Xx\in Xc∈Cc∈Cc\in Cxxxx¯¯¯x¯\overline{x}ccc NAE 3-SATはNP完全（Garey and Johnson、Computers and Intractability; A Guide to the NP-Completeness）ですが、PLANAR NAE 3-SATはPであることが知られています（Planar NAE3SATはP、Bを参照） 。モレ、ACM SIGACTニュース、第19巻、第2号、1988年夏 -残念ながら、私はこの論文にアクセスできません。 PLANAR NAE -SATはいくつかのですか？NP完全であることが示されている値はありますか？K ≥ 4 Kkkkk≥4k≥4k\geq 4kkk
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シフトチェーンは2色可能ですか？
用A ⊂ [ N ]A⊂[n]A\subset [n]意味によってI I Tの時間の最小要素A。a私aia_i私t hithi^{th}AAA 二人kkk -elementセット、A 、B ⊂ [ N ]A,B⊂[n]A,B\subset [n]、我々は、と言うA ≤ BA≤BA\le Bあれば、私は ≤ bはIをすべてのための私。a私≤ B私ai≤bia_i\le b_i私ii kkk -uniformのハイパーグラフH ⊂[N]H⊂[n]{\mathcal H}\subset [n]と呼ばれるシフト鎖任意ハイパーエッジのために、場合A 、B ∈ HA,B∈HA, B \in {\mathcal H}、我々が持っているA ≤ BA≤BA\le B又はB ≤ AB≤AB\le A。（したがって、シフトチェーンには最大でk （n − k ）+ 1k(n−k)+1k(n-k)+1ハイパーエッジがあります。） ハイパーエッジが単色でないように頂点を2色で着色できる場合、ハイパーグラフ HH{\mathcal H}は2色可能です（またはプロパティBがあります）。 …
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節が互いに「近く」にあるリテラルのみを使用できる場合、3-SATのハードインスタンスはありますか？
変数を。2つの変数間の距離は、d （x a、x b）= | a − b | 。2つのリテラル間の距離は、対応する2つの変数間の距離です。バツ1、x2、x3。。。バツnx1,x2,x3...xnx_1 , x_2 , x_3 ... x_nd（xa、xb）= | a − b |d(xa,xb)=|a−b|d(x_a , x_b) = |a-b| Iは3-SATのインスタンスがあると、その結果、すべての句の我々は、Dを（X A、X B）≤ N ∧ D （X A、X C）≤ N ∧ D （X B、X C）≤ Nいくつかの固定値用N（xa、xb、xc）(xa,xb,xc)(x_a , x_b, x_c)d（xa、xb）≤ N∧ D（xa、xc）≤ N∧ D（xb、xc）≤ Nd(xa,xb)≤N∧d(xa,xc)≤N∧d(xb,xc)≤Nd(x_a , …
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