節が互いに「近く」にあるリテラルのみを使用できる場合、3-SATのハードインスタンスはありますか？

変数を。2つの変数間の距離は、。2つのリテラル間の距離は、対応する2つの変数間の距離です。 $x_1 , x_2 , x_3 ... x_n$ $d(x_a , x_b) = |a-b|$

Iは3-SATのインスタンスがあると、その結果、すべての句の我々はいくつかの固定値用 $(x_a , x_b, x_c)$ $d(x_a , x_b) \leq N \wedge d(x_a , x_c) \leq N \wedge d(x_b , x_c) \leq N$ $N$ 。

概念的には、これはすべてのリテラルが物理的に一直線上にあり、すべての句が物理的な理由で特定の長さを超えて到達できないと考えることができます。

この制約を考えると、3-SATのハードインスタンスはありますか？近所をどれだけ小さくして、まだ難しいインスタンスを見つけることができますか？いくつかの句が制約に違反することを許可したらどうなりますか？

厳密には、ヒューリスティックソルバーは最悪の場合にフォールバックすることを意味します。

np-hardness sat

— IIAOPSW
ソース

「ハードとは、ヒューリスティックソルバーが最悪の場合にフォールバックすることを意味します。」私には明確に定義されていません。このような3-SATインスタンスをすべて解決する多項式時間アルゴリズムがあるかどうかを尋ねているとあなたの質問を解釈できますか？または、この問題の複雑さ/困難さについて尋ねますか？

— DW

「このようなすべての3-SATインスタンスを解決する多項式時間アルゴリズムがあるかどうかを尋ねる質問として解釈できますか？」それが私が探しているものだと思います。

— IIAOPSW

使用している局所性要件は、1D「幾何学的局所」とも呼ばれ、物理学者にとって「局所性」の主な意味です。さて、質問を量子ケースに一般化し、ビット（2状態）から8状態の粒子に一般化すると、問題の量子バージョンは実際に1DのQMA完全（「quantum-NP」）です：arxiv.org/ abs / 1312.1469量子ビットの場合、問題は2DでQMA完全です。arxiv.org/abs/quant-ph/0504050

— マーティンシュワルツ

ああ、その本当の物理学者はコンピューター科学者の間に隠れることができない。あなたは私を捕まえました。なぜ8つの州が必要なのですか？キュービットを使用し、近傍サイズを3倍にし、3ビットごとに8状態の粒子をエンコードします。

— IIAOPSW

確かに、しかし非常に高い局所性を持っています。つまり、あなたの局所演算子は多くのキュービットにまたがっています。この一連の研究では、高次元の粒子とそれに伴うトレードオフを犠牲にして、局所性（理想的には2局所）を最小化することに焦点を当てています。

— マーティンシュワルツ

回答:

いいえ。3-SATインスタンスに句が場合、時間で充足可能性をテストできます。以来 $m$ $O(m 2^N)$ $N$ 固定定数であり、これはあなたの問題のすべてのインスタンスを解決多項式時間アルゴリズムです。

アルゴリズムは段階で機能します。してみましょう表しからの変数のみ使用句から成る式。LET に割り当てのセットを表しのために満足割当に拡張することができます。与えられた $m$ $\varphi_i$ $x_1,\dots,x_i$ $S_i \subseteq \{0,1\}^n$ $x_{i-N},x_{i-N+1},\dots,x_i$ $\varphi_i$ 我々は計算することができ、で時間：それぞれの、我々はのための両方の可能性試すとするかどうかを確認しますそれを満たしてからのすべての条項の変数が含まれている。もしそうなら、 $S_{i-1}$ $S_i$ $O(2^N)$ $(x_{i-N-1},\dots,x_{i-1}) \in S_{i-1}$ $x_i$ $\varphi_i$ $x_i$ です。これは入力のサイズが多項式であるため、多項式時間アルゴリズムを構成します。to。では段目、我々は計算。我々はすべて終了したらステージを、3-SATインスタンスがあれば満足できると場合にのみである。各ステージには時間かかり、ステージがあるため、合計実行時間は $(x_{i-N},\dots,x_{i})$ $S_i$ $i$ $S_i$ $m$ $S_m \ne \emptyset$ $O(2^N)$ $m$ $O(m 2^N)$

$t$ $O(m 2^{(t+1)N})$ $t$

— DW
ソース

SAT式のインシデントグラフは、各句と各変数の頂点を持つ2部グラフです。節とそのすべての変数の間にエッジを追加します。インシデントグラフの境界がツリー幅である場合、PのSAT式を決定できますが、実際にはもっと多くのことができます。インシデントグラフは非常に制限されています。たとえば、それは有界パス幅グラフであるため、多項式時間で解くことができます。上記のよく知られた構造的な結果については、https：//www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X07004106をご覧ください。

— サイード
ソース

実際、この場合、主グラフ（2つの頂点が同じ節にある場合は、それらの間の1つのエッジ）でもパス幅が制限されています。（1）の方がアクセスしやすいか、@ DWの回答も参照してください。これは、これらのアルゴリズムとほぼ同じ考えです。（1）命題モデルのカウントのためのアルゴリズム、Marko Samer、Stefan Szeider、J。Discrete Algorithms、第8巻、第1巻、50-64ページ、2010

— 。– holf