スパース整数線形計画問題の解決策について知られていることは何ですか？

各制約が最大で（たとえば）4つの変数（-1の係数を持つことができる1つの変数を除くすべてが非負で、{0,1}の係数を持つ）を持つ線形制約のセットがある場合、解について知られていることスペース？変数の数と制約の数、および変数の数の関数として、目的関数の最小値がどれだけ小さいかを知るよりも、効率的な解決策についてはあまり関心がありません（わかっている場合は示してください）制約。

より具体的には、プログラムは次のようなものです

すべてのiの
  対象となるtを最小化
、x_iは正の整数
x1 + x2 + x3-t <0
x1 + x4 + x5-t <0
...
x3 + x6-t≥0
x1 + x2 + x7-t≥0
...

具体的な質問が必要な場合、最小解がt <= O（max {＃of variables、＃of constraint}）に従い、O（）の定数がまばらに依存する場合ですか？しかし、答えがいいえであっても、そのような問題の議論のためにどんな種類の教科書や論文を勉強するのか、そしてこの種のことを専門とする研究分野があるが、私は知りません検索する用語。ありがとうございました。

更新：さらなる考察（および3SATを3変数の制約を使用するILPへのかなり単純な還元を通して考える）で、係数の問題が重要であることがわかります（効率的なアルゴリズムがある場合）。より正確には、すべてのx_i変数は0または1の係数（1つの制約で最大3つの1係数）を持ち、すべてのt変数は-1の係数を持ち、すべての比較は左側に変数を持ち、右側に0を持ちます。上記の例を更新して、明確にしました。

これに対する答えは（少なくとも、解の線形境界に関する具体的な質問に対する）いいえです。これは、以下の論文の一部ですhttp://arxiv.org/abs/1011.3493。定理5.1は、この質問の動機でした。

反例は次のとおりです。

規範事例：

a_1 '+ b_1'-t≥0
a_1 '' + b_1 ''-t≥0
a_1 + b_1 '-t≤-1
a_1 '+ b_1' '-t≤-1

再帰的な場合：

a_n '+ b_n' + a_ {n-1}-t≥0
a_n '' + b_n '' + a_ {n-1}-t≥0
a_n + b_n '+ a_ {n-1}' '-t≤-1
a_n '+ b_n' + a_ {n-1} ''-t≤-1

それらすべてが非負であることを要求します。

帰納法により、実際の解はa_n ''> = a_n + 2 ^ nを満たさなければならないことを証明できます。整数解は「<0」を満たす場合にのみ「≤-1」を満たすため、「<0」-不等式を「≤-1」に変更します。

そのため、この形式のn個の不等式には、すべての整数解が少なくともn個の指数関数で少なくとも1つの整数を持つという性質があります。

係数行列が完全にユニモジュラーの場合、通常の線形計画法を介した効率的なソリューションが存在します。これは、スパースILPだけでなく、すべてのILPに当てはまりますが、このプロパティを悪用して、ご自身のようなスパースILPを利用できる可能性が高くなります。

あなたはすでにこれを知っているかもしれないと思うので、より良い答えを試してみましょう。詳細について深く考える前に、具体的な質問への答えは「はい」です。限界があります。m個の変数のn個の不等式の交点がポリトープを定義します。係数は非常にうまく動作するため、少しの計算で頂点の座標の次元の上限を計算できます。これにより、ポリトープ内の整数点の次元の非常に簡単な上限が得られ、整数プログラムの解が得られます。すでにこれを試しましたか？

特にあなたの問題にはかなりの構造があります（私は興味がありますが、どこから来たのでしょうか？）。それについてさらに議論すれば、これよりはるかに正確にできると確信しています。

さて、このトピックに関する情報を見つけることに関するより一般的な質問について。これは、数学プログラミングのサブセットである線形および整数プログラミングの理論に伝統的に含まれる一種の問題です。

これは非常に活発な研究分野ですが、作業の多くは、コンピューターサイエンスではなく、「最適化」と「数学プログラミング」という見出しのもとで、オペレーションズリサーチ部門で行われています。トピックをカバーする利用可能な多くの教科書があります。バークレーで使用しているWolseyによるものを検討してください。以下に、グリーンバーグによる神話と反例の未使用のリストを示します。これには、整数および線形計画法が含まれます。Wolseyは密集していますが、開始するにはかなり良い場所です-ILPを分析し、問題の定式化を効率の点まで改善するためのテクニックがたくさんあります。

単純なアプローチを追求する場合、ポリトープのジオメトリを分析することで、検索する用語は、ポリトープの頂点の座標のサイズを制限することに関係することを付け加えます。これらの用語は、ポリトープに関する数学的文献で頻繁に出てきます。

この興味のあるアカウントを見つけることができます：

http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedral_combinatorics

特にG. Zieglerによる記事：

0-1ポリトープに関する講義

に：

カライ、ギル; Ziegler、GünterM.（2000）、Polytopes：Combinatorics and Computation、DMV Seminar、29、Birkhäuser、ISBN 9783764363512。