グラフ同型が

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私のポストにFortnowさんのコメント、によって動機づけグラフ同型問題ではないという証拠 -complete $NP$ 、およびという事実によってための最有力候補である -中間の問題（ない -completeも中）、Iは、既知の証拠に興味を持っていますそのはありません。 $GI$ $NP$ $NP$ $P$ $GI$ $P$

そのような証拠の1つは、制限されたグラフ自己同型問題の完全性です（固定小数点フリーグラフ自己同型問題は完全です）。この問題と他の一般化は、Lubiwによる「Graph Isomorphismに似たNP完全問題」で研究されました。45年以上にも関わらず多項式時間アルゴリズムを見つけた人はいないという事実を証拠として主張する人もいます。 $NP$ $NP$ $GI$ $GI$

がないことを信じるには、他にどのような証拠が必要ですか？ $GI$ $P$

cc.complexity-theory graph-isomorphism

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

2

部分グラフ同型もNP完全です。

$\;$

1

やや弱い証拠は、GIと対数空間で同等の問題のクラスが増えていることですが、明らかなポリタイムアルゴリズムはないようです。（もちろん、それらの1つがポリタイムアルゴリズムを持っている場合、それらはすべてあります。）

— アンドラスサラモン

NP対Pに似状況証拠：GIアルゴリズムなどの最適化の数十年nautyまだ主にランダム正則グラフの上に明らかに、実験的に検証可能な非P最悪の場合の傾向を持っていること。

— vzn

1

GIテストのハードグラフ

— vzn

これについてどう思う？dharwadker.org/tevet/isomorphism

— Anna Tomskova

11

この質問の前に、私の意見は、グラフ同型判定はPであるかもしれないということであった、すなわちGIはP.そうでないことを信じる証拠がないことを私は何が私のための証拠としてカウントしまう自分自身に尋ねた：のための成熟したアルゴリズムがあった場合 - -groupsの利用可能な構造を完全に活用し、それでも多項式ランタイムを達成する見込みがないグループ同型は、GIがおそらくPにないことに同意します同型テストのような利用可能な構造を利用する既知のアルゴリズムがあります-グループ。オブライエン（1994） $p$ $p$ $p$ 、しかし、利用可能な構造を完全に活用するか、または多項式ランタイムを達成するためにこのアルゴリズムを（グループの追加の非自明な構造を活用することなく）改善する可能性があるかどうかを判断するのに十分な詳細を読んでいません。 $p$

しかし、Dick Liptonが2011年の終わり近くに行動を求め、一般にグループ同型問題、特にグループ同型問題の計算の複雑さを明確にすることを知っていました。だから私はグーグル $p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

アクションの呼び出しが成功したかどうかを確認するため。確かに：

最後のポストレビュー実現紙のグループの特定の重要な家族のためのランタイムを、可能な構造の多くを利用し、1994年からなので上記の紙の上に認めバインドランタイムグラフ同型は実際には難しくないという経験と、多項式時間アルゴリズムを誰も思い付かない経験（グループ同型であっても）の両方と互換性があり、これはGIがPにない証拠として数えられる。 $n^{O(\log \log n)}$ $n^{O(\log \log n)}$

— トーマス・クリンペル
ソース

rjlipton.wordpress.com/2015/03/05/news-on-intermediate-problemsも私の検索で判明しました。これは引用定理2 グラフ同型はである。さらに、すべてのpromise問題は、promise問題に対して定義されている属します。 ${\mathsf{RP}^{\mathrm{MCSP}}}$ ${\mathsf{SZK}}$ ${\mathsf{BPP}^{\mathrm{MCSP}}}$ これは、GIがNP完全ではないという証拠ですが、ここでは問題ではありません。私は証拠の要求を理由のある意見の要求として解釈するため、回答の長さやスタイルに問題がないことを付け加えておきます。

— トーマスクリンペル

5

私はあなたの推論に従っていません。「利用可能な構造」が「完全に活用されている」ことをどのようにして知ることができますか？どちらかといえば、Grochow-Qiaoの論文は、コホモロジーのクラスでもっと多くのことができると示唆していませんか？

— サショニコロフ2015

@SashoNikolov「利用可能な構造」とは、グループ理論コミュニティ、関連コミュニティ、既存の出版物の構造に関する知識を意味します。構造が「十分に活用されていない」例は、実用的な実装可能なアルゴリズムを考案することを主な目的とする出版物です。Grochow-Qiaoの論文はそれらをレビューし、グループ同型の計算の複雑さを直接攻撃したので、その結果は良い証拠を提供します。

— トーマスクリンペル

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ブラックボックス設定に重要な順列が存在しないことを確認するためにチェックする必要がある順列の最小セットは、よりも優れていますまだ指数関数的なOEIS A186202です。 $n!$

ラベルなしグラフを保存するのに必要なビット数は、です。Naor、Moniを参照してください。「ラベルのない一般的なグラフの簡潔な表現。」離散応用数学28.3（1990）：303-307。私が思い出すと、圧縮方法の証拠は少しきれいです。とにかく、セット呼び出しましょう。ましょ標識されたグラフの。 $log_{2}$ ${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$ $U$ $L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)

$U^L$ および指数に変換する場合）。型シグネチャを調べてグラフを正規の形式にすると簡単に見えますが、上記のようにGCによりGIが簡単になります。 $Bool^{L^{L}}$

— チャド・ブリューベーカー
ソース

ありがとう。この種の議論はどれほど強力ですか？

— モハマドアルトルコ人

この関係をさらに文書化した引用文献はありますか？

— vzn

3

@ MohammadAl-Turkistany：これは基本的にクエリの複雑さの引数です。しかし、Babai-Luks 1983などの既知のアルゴリズムはすでにこの限界を超えています。かなり大きなマージン（対ようなもの）があると思います。

2^{n}

$2^n$

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— ジョシュアグロチョウ

1

@ChadBrewbaker：あなたの懸念がコード化されていて、平均的なケースの複雑さなら、nautyはあなたのアルゴリズムよりもはるかに優れていると確信しています。（航海で最もよく知られている下限は（宮崎1996）であり、宮崎グラフのポリタイムアルゴリズムが見つかりました。簡単な分析では、アルゴリズム。）また、GIは平均ケース線形時間（Babai-Kucera）です。

Ω (2^{n / 20})

$\Omega(2^{n/20})$

(3 / 2)^{n}

$(3/2)^n$

— ジョシュアグロチョウ

2

@ MohammadAl-Turkistany：この質問は、GIの複雑さに関する私の信念についてより深く考えさせました。再：あなたの他の質問、GIからGAへのポリタイムチューリング（または多対1）削減がない場合、P NP があることに注意してください。

\neq

$\neq$

— ジョシュアグロチョフ

8

Kozenの論文、グラフ同型に相当するクリーク問題は、がないという証拠を与えています。以下は、論文からのものです。 $GI$ $P$

「それにもかかわらず、グラフ同型の多項式時間アルゴリズムを見つけることは、NP完全問題の多項式時間アルゴリズムを見つけることと同じくらい難しいだろう。この主張を支持して、グラフ同型に等しい問題、小さな摂動を与える。そのうちNP完全です。」

また、Babaiは、最近の画期的な論文である準多項式時間のグラフ同型写像で、GIの効率的なアルゴリズムの存在に反論しています。彼は、グループ同型問題（GIに還元可能）がGIをに配置することに対する主要な障害であることを観察します。グループ同型問題（グループはCayley tableisで与えられます）はで解くことができ、にあることは知られていません。 $P$ $n^{O(\log n)}$ $P$

Babaiの論文からの抜粋を以下に示します。

本論文の結果は、GIをPに配置する際の障壁としてのグループ同型問題（および前述の課題問題）の重要性を増幅しています。GIの中間状態（NP完全でも多項式時間でもない）持続します。

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

2

コーゼンのレムから。3この現象のより簡単な例が得られます。すなわち、誘導サブグラフ同型（

は

誘導サブグラフ）は、

しかし、ときNP困難です

任意のため

H

$H$

G

$G$

| G | = | H |

$|G|=|H|$

| G | = c | H |

$|G|=c|H|$

c > 1

$c > 1$ 。離散パラメーターの場合、PにはすぐにNP完全になる問題があることがわかっています（2SAT対3SATなど）。鋭いしきい値でNP完全になるいくつかの連続的なパラメータを持つPの問題の例があるかどうか知っていますか？もしそうなら、この種の推論はGIがPにないという証拠にはなりませんが、私の頭の上のそのような例は考えられません。

— ジョシュアグロチョウ

2

@JoshuaGrochowいいえ、私はそのような決定の問題を認識していません。しかし、最適化の問題については、句のを満たす代入を見つけることはであり、句のを満たす代入を見つけることは、充足可能な3SAT式（）でもです。

7 / 8

$7/8$

P

$P$

7 / 8 + ϵ

$7/8+ϵ$

N P

$NP$

ϵ > 0

$ϵ>0$

— モハマドアルトルコ人

おっと、クリンペルの答えにはすでにグループ同型の証拠が含まれています。とにかく、この問題に関するババイの見解を持つことは有益です。

— モハマドアルトルコ

ババイは準多項式ランタイムの主張を撤回した。どうやら分析にエラーがありました。

— ラファエル

5

ここにまだ引用されていない他の結果があります

グラフ同型の硬度について /ToránFOCS 2000およびSIAM J. Comput。33、5 1093-1108。

私たちは、グラフ同型問題がDLOGTIMEユニフォームACの下では困難であることを示して⁰すべての対数空間モジュラークラスのModのための複雑さのクラスNL、PL（確率論対数空間）には多くの-1削減_のk NC Lと問題のクラスDETのための¹還元可能に決定要因。これらは、グラフ同型問題の最も強力な既知の硬さの結果であり、完全一致問題からグラフ同型へのランダム化された対数空間の減少を意味します。また、グラフの自己同型問題の硬度の結果も調査します。
グラフ同型はAC ^0でグループ同型に還元できない / Chattopadhyay、Toran、Wagner

入力構造が乗算テーブルによって明示的に与えられた場合、グループおよび準グループ同型問題の新しい上限を与えます。これらの問題は、O（log log n）の深さおよびO（log ² n）の非決定的ビットを持つ多項式サイズの非決定的ファンインによって計算できることを示します。n はグループ要素の数です。これにより、問題に対する[Wol94]の既存の上限が改善されます。前の上限では、回路はファニンを制限していましたが、深さO（log ² n）とO（log ² n）の非決定的ビットを制限していました。次に、上限からの回路の種類がパリティ関数を計算できないことを証明します。パリティはAC ^{0であるため}グラフ同型写像に還元可能であるため、これは、グラフ同型写像がAC ⁰還元によって定義された順序でグループまたは準グループ同型写像より厳密に難しいことを意味します。

— vzn
ソース

4

これらは実際にGIで最も強い既知の下限ですが、Pにないことについては何も言いません。最初のケースでは、DETはPにそれほど近くありません。2番目のケースでは、P内の度はすでにかなり豊富です。

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— ジョシュアグロチョウ

「GIで最も強い既知の下限」について、ofc GIはNPにあるため、GIがPにないという実際の証明はP≠NPと同等です。（おそらくNPI ≠∅ 経由）

— ...-vzn

4

はい、しかし、たとえば、GIがP-hardであることを知っておくといいでしょう！（もちろん、P硬度は何かがPにないことを示すこととはほとんど関係がありませんが、少なくともGIがNCにないことを示唆しています！）

— ジョシュアグロチョウ