理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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NP完全な自然に自然な問題はありますか？
自然数はビットシーケンスと見なすことができるため、自然数の入力は0-1シーケンスの入力と同じであるため、自然入力のNP完全問題が明らかに存在します。しかし、何らかの自然な問題、つまり、数字のエンコードと特別な解釈を使用しない問題はありますか？たとえば、「素数ですか？」これは自然な問題ですが、これはPにあります。または、「サイズ3、5、n、nのヒープでNimゲームに勝つのは誰ですか？」私が自然だと考える別の問題ですが、これがPにあることもわかっています。NPではなく他の複雑度クラスにも興味があります。 更新：EmilJeřábekが指摘し与えられが自然に対する解を持っているかどうかを決定することはNP完全です。これは、入力が1つではなく3つの数値であることを除いて、私が自然に考えていたものです。a,b,c∈N,a,b,c∈N,a,b,c\in \mathbb N,ax2+by−c=0ax2+by−c=0ax^2+by-c=0 更新2：そして、4年以上待った後、ダンブルムレーヴは「より良い」ソリューションを提供しました-ランダム化された削減のため、まだ完全ではないことに注意してください。
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整数の因子の数を数えるのはどれくらい難しいですか？
整数所与の長さのビットを、どのようにハードそれを出力するの素因数の数（または因子の代わりに数）であり、？NNNnnnNNN 素因数分解を知っていれば、これは簡単です。ただし、素因数の数または一般的な因子の数を知っていた場合、実際の素因数分解をどのように見つけるかは明確ではありません。NNN この問題は研究されていますか？素因数分解を見つけることなくこの問題を解決する既知のアルゴリズムはありますか？ この質問は、好奇心と部分的にmath.SE質問によって動機付けられています。
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DTIME階層定理におけるログfの正当化
DTIME階層定理を見ると、ユニバーサルマシンによる決定論的チューリングマシンのシミュレーションのオーバーヘッドのためにログがあります。 DTIME(flogf)⊊DTIME(f)DTIME(flog⁡f)⊊DTIME(f)DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f) NTIME of DSPACEにこのようなオーバーヘッドはありません。基本的な正当性は、シミュレーター間の違いを考慮することによる証明の詳細から得られます。 私の質問は次のとおりです：DTIME階層定理の証明の詳細を考慮せずに、このログの正当化がありますか、それは証明の結果である可能性があり、それからf=o(g)f=o(g)f = o(g) DTIME(f)⊊DTIME(g)DTIME(f)⊊DTIME(g)DTIME(f) \subsetneq DTIME(g) 私の意見では、シミュレーションの説明が良い正当性であると考えると、より良い結果が得られた場合、より良いシミュレーションを作成できることを証明すること自体が正当化されるべきです。
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量子行列乗算？
これは知られているようには見えませんが、量子コンピューティングモデルの行列乗算の複雑さに興味深い下限はありますか？量子コンピューターを使用してCoppersmith-Winogradアルゴリズムの複雑さに打ち勝つことができるという直感はありますか？
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を自然の法則と見なすべきですか？
多くの専門家は、予想が正しいと信じており、それを結果に使用しています。私の懸念は、複雑さが予想に強く依存することです。P ≠ N PP≠NP\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}P ≠ N PP≠NP\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} だから私の質問は： 限りシュトラッセからの引用で示されているように推測が証明されていない、/ 1は、自然の法則としてそれを考慮しなければならないことができますか？それとも、 いつか証明または反証されるかもしれない数学的推測としてそれを扱うべきでしょうか？P ≠ N PP≠NP\mathsf{P}\neq\mathsf{NP} 見積もり： 「クックとヴァリアントの仮説を支持する証拠は非常に圧倒的であり、その失敗の結果は非常にグロテスクであるため、それらの状態はおそらく通常の数学的推測の状態ではなく物理法則の状態と比較されるかもしれない」 [ 1986年のネヴァンリンナ賞受賞者、レスリーG.ヴァリアンへのフォルカーストラッセンの称賛 ] TCSで物理学の結果を読むときにこの質問をしますか？。計算の複雑さは（理論的な）物理学といくつかの類似点があることに注意するのはおそらく興味深いでしょう：多くの重要な複雑さの結果はを仮定することで証明されました物理法則P ≠ N PP≠NP\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}。この意味で、はようなものと考えることができます。TCSの物理学結果に戻る？：P ≠ N PP≠NP\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}E= m c2E=mc2E = mc^2 TCS（の一部）は自然科学の一部門になるのでしょうか？ 明確化： （以下のSureshの回答を参照） 複雑性理論の予想は、理論物理学の物理法則（Strassenが言ったように）と同じくらい基本的であると言うのは正当ですか？P ≠ N PP≠NP\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}
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理論Aと理論Bの起源と応用？
いくつかの最近の質問（q1 q2）で、「理論A」対「理論B」の議論がありました。これは、ロジックとプログラミング言語の研究とアルゴリズムと複雑さの研究との境界を捉えているようです。 この用語は私にとって新しいものであり、簡単なWeb検索では、それを説明する明確な参考文献が見つかりませんでした。 この用語の起源を説明するリファレンスを知っている人はいますか？もしあれば、この区別から実質的な利益が得られることを意図していますか？
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NPの階層（P！= NPと仮定）
P！= NPと仮定すると、PにはなくNP完全ではない問題があることが示されていると思います。グラフ同型はこのような問題であると推測されます。 NPには、このような「レイヤー」の証拠がありますか？すなわち、Pで始まりNPで頂点に達する3つ以上のクラスの階層で、それぞれが他のクラスの適切なスーパーセットになりますか？ 階層が無限である可能性はありますか？
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優れたアルゴリズム、機械学習、線形代数なし
私は高度なアルゴリズムコースを教えていますが、機械学習に関連するいくつかのトピックを含めたいと思います。これらのトピックは、生徒にとって興味深いものです。その結果、機械学習で現在最も興味深い/最大のアルゴリズム結果についての人々の意見を聞きたいと思います。潜在的にトリッキーな制約は、学生が線形代数や機械学習の他の主要なトピックに関する特定の以前の知識を持っていないということです。 これは本当にトピックについて彼らを興奮させ、MLがアルゴリズムの専門家にとって潜在的に刺激的な研究分野であることを彼らに知らせることです。 編集：これは最終年度の学部課程です（主に英国には大学院課程がないため）。彼らは事前に少なくとも1つの基本的なアルゴリズムコースを実施しており、おそらく高度なフォローアップコースを選択するのに十分な成績を収めているでしょう。上級コースの現在のシラバスには、完全ハッシュ、ブルームフィルター、van Emde Boas木、線形プログラム、約 NP困難問題などのアルゴリズム。MLだけに複数の講義を費やすつもりはありませんが、アルゴリズムコースとMLコースの両方に本当に関連がある場合は、もちろんそれも含めることができます。
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騒々しいバージョンのConwayのゲームオブライフはユニバーサルコンピューティングをサポートしていますか？
Wikipediaを引用して、「[ConwayのGame of Life]は普遍的なチューリングマシンの力を持っています。つまり、アルゴリズム的に計算できるものはすべてConwayのGame of Life内で計算できます。」 このような結果は、ConwayのGame of Lifeのノイズの多いバージョンにも拡張されますか？最も単純なバージョンは、すべてのラウンドの後に、すべての生細胞が小さな確率で死に、すべての死んだ細胞が小さな確率sで生存することです。tttsss（独立して）です。 もう1つの可能性は、ゲーム自体のルールの以下の確率的なバリエーションを考慮することです。 2つ未満のライブネイバーを持つライブセルは、確率1 - tで死にます。1−t1−t1-tます。 2つまたは3つのライブネイバーを持つライブセルは、確率で次の世代に生きます。1−t1−t1-t 3つ以上のライブネイバーがあるライブセルは、確率死にます。1−t1−t1-t 正確に3つのライブネイバーを持つデッドセルは、確率ライブセルになります。1−t1−t1-t 質問：これらの騒々しいバージョンのGame of Lifeは、普遍的な計算をまだサポートしていますか？そうでない場合、彼らの「計算力」について何が言えるでしょうか？ セルオートマトンの計算能力とセルオートマトンのノイズの多いバージョンに関する関連情報も高く評価されます。 （この質問は、MathOverflowに関するこの質問から発展しました。VincentBeffaraの MOに関する答えは、ノイズの多いセルオートマトンの計算面に関する関連結果について興味深い参照を提供しました。）
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行列のセットのスパンに置換行列が含まれているかどうかを判断する多項式時間アルゴリズムはありますか？
特定の行列セットのスパンに置換行列が含まれているかどうかを判断する多項式時間アルゴリズムを見つけたいと思います。 この問題が別の複雑度クラスのものであるかどうかを誰かが知っている場合、それは同じように役立ちます。 編集：私はこのような問題が線形計画法でタグ付けされました。そのような解決策が存在する場合、それは一種の線形計画法アルゴリズムであるという強い疑念があるからです。私がこれを信じる理由は、Birkhoffポリトープの極値が正確に置換行列だからです。その後、バーコフポリトープの頂点でのみ最大化または最小化される目的関数を見つけることができる場合、関数をポリトープとベクトル部分空間の交点に制約し、多項式時間で最大化できます。この値が置換行列である場合、セットに置換が含まれていることがわかります。これらはこのテーマに関する私の考えです。 編集2：もう少し考えた後、順列行列は正確にユークリッドノルムのバーコフポリトープの要素であるように思われ、バーコフポリトープは順列行列。おそらくそれも重要かもしれません。n−−√n\sqrt{n}n×nn×nn \times n 編集3：半明確なプログラミングタグを追加しました。前回のコメントの後、線形制約付きの2次最適化アルゴリズムであるため、半明確なプログラミングソリューションが可能になると考え始めているためです。
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Is {
言語は{ }コンテキストフリーかどうか？aibjck | i≠j,i≠k,j≠kaibjck | i≠j,i≠k,j≠ka^{i}b^{j}c^{k} ~|~ i \neq j, i \neq k, j \neq k 私は、i、j、kの関係について異なる条件でこの質問のほぼすべてのバリエーションに遭遇しましたが、これには遭遇していないことに気付きました。 私の推測では、それはコンテキストフリーではありませんが、証拠はありますか？
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正規表現を効率的に照合できる「小さな」マシンはありますか？
正規表現は、正規表現に比例するサイズの非決定性有限オートマトン、または潜在的に指数関数的に大きい決定性FAによって認識できることはよく知られています。さらに、文字列sssと正規表現と、NFAは比例してメンバーシップをテストできます、およびDFAは比例してメンバーシップをテストできます。NFAのスローダウンは、本質的にオートマトンが存在する可能性のある状態のセットを追跡する必要があるという事実から生じます。DFAの指数関数的な爆発は、その状態が、 NFA。rrr|s|⋅|r||s|⋅|r||s| \cdot |r||s||s||s| より強力なマシンの使用を許可する場合、正規表現を効率的に（つまり、よりも良い時間で、よりも良いスペースで）認識できますか有限オートマトンよりも （たとえば、プッシュダウンオートマトンまたはカウンターマシンを使用して通常の言語を認識することで簡潔さが向上しますか？）O(|r|⋅|s|)O(|r|⋅|s|)O(|r| \cdot |s|)O(2|r|)O(2|r|)O(2^{|r|})
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計算のための現在の並列モデル
1980年代には、両方を引き起こしたPRAMとBSPの並列計算モデル。両方のモデルの全盛期は、80年代後半から90年代前半の間にあったようです。 これらの分野は、並列アルゴリズムの研究に関してまだ活発ですか？並列計算用のより洗練された新しいモデルはありますか？一般モデルはまだ流行していますか、それとも研究者はGPGPUやクラウドベースの計算を専門にしようとしていますか？
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量子アルゴリズムは従来のSATを改善しますか？
従来のアルゴリズムでは、時間（ランダム化）または時間（決定論的）で3-SATを解くことができます。（参照：SATの最適な上限）1.3071n1.3071n1.3071^n1.3303n1.3303n1.3303^n 比較のために、量子コンピューターでグローバーのアルゴリズムを使用すると、ランダム化されたソリューションを探して提供します。（これには、ソリューションがいくつあるかどうかについての知識がまだ必要かもしれませんが、これらの境界がまだ必要かどうかはわかりません。）これは明らかに著しく悪いです。最高の古典的アルゴリズムよりも優れた（または少なくとも- ほぼ同等の）量子アルゴリズムがありますか？1.414n1.414n1.414^n もちろん、十分な作業スペースを想定して、古典的なアルゴリズムを量子コンピューターで使用できます。私は本質的に量子アルゴリズムについて疑問に思っています。
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