NPの階層（P！= NPと仮定）

P！= NPと仮定すると、PにはなくNP完全ではない問題があることが示されていると思います。グラフ同型はこのような問題であると推測されます。

NPには、このような「レイヤー」の証拠がありますか？すなわち、Pで始まりNPで頂点に達する3つ以上のクラスの階層で、それぞれが他のクラスの適切なスーパーセットになりますか？

階層が無限である可能性はありますか？

はい！実際、P！= NPという仮定の下では、PとNP-completeの間にますます困難な問題の無限の階層があることが証明されています。これは、ラドナーの定理（NP \ Pの非空性を確立した）の証明の直接的な帰結です。

正式には、SがPに含まれないすべてのセットSについて、SがSに対してカープ還元可能であるが、SがSに対してクック還元可能でないようなSがPに存在しないことがわかっています。したがって、P！= NPの場合、S _{i + 1}はS _iに対してカープ縮約可能ですが、S _iは次のようにクック縮約できないように、NP \ Pに無限のシーケンスS ₁、S ₂ ... が存在します。S _{i + 1}。

確かに、そのような問題の圧倒的多数は本質的に非常に不自然です。

チューリングマシンがソリューションに到達するために必要な非決定性ビットを制限する「制限された非決定性」という概念があります。クラスNPには、たとえばO（n）ビットが必要です。非決定的ビットをポリログに制限することにより、\ beta P階層と呼ばれる複雑なクラスの無限の階層を定義し、すべて独自の完全な問題を持ちます。

たとえば、詳細については、次の記事を参照してください。Goldsmith、Levy、Mundhenk、「Limited nondeterminism」、SIGACT News、vol 27（2）、ページ20-29、1996。