DTIME階層定理におけるログfの正当化

DTIME階層定理を見ると、ユニバーサルマシンによる決定論的チューリングマシンのシミュレーションのオーバーヘッドのためにログがあります。

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

NTIME of DSPACEにこのようなオーバーヘッドはありません。基本的な正当性は、シミュレーター間の違いを考慮することによる証明の詳細から得られます。

私の質問は次のとおりです：DTIME階層定理の証明の詳細を考慮せずに、このログの正当化がありますか、それは証明の結果である可能性があり、それから$f = o(g)$

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

私の意見では、シミュレーションの説明が良い正当性であると考えると、より良い結果が得られた場合、より良いシミュレーションを作成できることを証明すること自体が正当化されるべきです。

時間階層定理は、私の卒業プロジェクトの主題です。おそらく、私の質問「下限とクラス分離」に関するコメントをご覧ください。

この質問とそれがあなたが尋ねているものとどのように関係するかを振り返ると、定理の証明に必要なマルチテープからシングルテープへのTMシミュレーションのオーバーヘッドを改善できないことを示すアイデアを得ました。したがって、この結果を改善したい場合は、別のアプローチが必要です。

編集：この証明は間違っています。正確な理由については以下のコメントをご覧ください。私は現在、それを反映するために回答を編集しています。

レッツ言語とすることが。$A$$\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

単一のテープマシンには、アルゴリズムがあります（このアルゴリズムの詳細については、Sipserの著書「Introduction to the Theory of Computation」の7.1.2章を参照してください）。言語が通常の場合にのみo（n \ log n）にあること。Kavehは、上記のリンクされた質問でこの主張の元の論文も提供します。$O(n \log n)$

私の質問のコメントで、Ryan Williamsは2テープTMを使用した同じ問題のアルゴリズムを示しています。$O(n)$

ここで、マルチテープTMをシミュレートして、実行時間が単一のテープTMにする手法があると仮定し。ここで、はシミュレートされたTMの実行時間です。Ryanが示すマシンにそれを適用することにより、実行される単一のテープTMを取得し。したがって、は正則であり、これは矛盾です。したがって、複数のテープマシンを単一のテープマシンでシミュレートする場合、オーバーヘッドが最善であると結論付け。$o( T(n) \log T(n) )$$T(n)$$o( n \log n)$$A$$\log T(n)$

私はこれが強力な声明であることを理解しているため、私の解釈が間違っている可能性があります。

この結果を改善できる手法が存在する場合でも、結果をまたはに一致させることはできないと考えています。私の直感は、次の事実から派生しています。$NTIME$$SPACE$

を示す非常に既知の結果があります。という仮定の下では、任意のこの結果がに改善されると信じています。したがって、非常に小さな非決定的クラスは決定的よりもはるかに強力です。 。したがって、リソースの非決定論的時間がどれほど強力であるかを考えると、非決定論の力を補うためにTMをより強力にするためには、より多くの決定論的時間が必要になると思います。$DTIME(n) \neq NTIME(n)$$P \neq NP$$DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$$k$

nテープTMの場合、1982年にFurerによって空間階層定理に類似した厳密な時間階層の結果が証明されています。係数は不要です。$\lg$

投稿に記載されている時間階層定理のファクターは、シングルテープTMのみです。何らかの理由でシングルテープモデルに非常にコミットしている場合を除き、階層定理に関しては空間と時間に違いはありません。$\lg$

時間複雑度クラスを定義するためにシングルテープTMを使用する理由と議論がありますが、複雑度クラスを定義するためのシングルテープTMの使用は普遍的ではありません。たとえば、複数テープを使用するTM

時間階層定理の元のリファレンスは、Hennie and Stearns [1966]です。2テープマシンの定理を証明します。オディフレディの古典的再帰理論は、彼らとハートマニス[1968]を引用し、シプサーの本にあるような証拠を説明しています。

ただし、Hartmanisの論文のシングルテープTMの証明では、単純にシミュレーションを使用していません。2つのケースを区別しました。1。実行時間はあり、2。実行時間はです。$\Omega(n^2)$$o(n^2)$

1. 最初のケースでは、シミュレーションを使用します。シミュレーションをより効率的に実行できる場合は、ファクターを取り除くことができるようです。$\lg$

2. 2番目のケースでは、論文は分離のための言語を直接提供し、シミュレーションをまったく使用しません。これは、2次以下の実行時間を持つシングルテープTMの特定のプロパティを使用します。

時間シングルテープTM はそれほど堅牢ではなく、シングルテープTMでは2次の下限（パリンドロームなど）がありますが、2テープTMでは線形時間でこのような問題を解決できることに注意してください。$o(n^2)$

上記で述べたように、何らかの理由でシングルテープTMモデルにコミットしない限り、時間が2次以下であっても、埋めるギャップはなく、時間階層定理は可能な限り厳密です。

PS：複数のテープTMを使用している場合、つまり、クラスのチューリングマシンが固定されていても、任意の数のテープがある場合、Fürerの結果は適用されません。

1. マーティン・フラー、「タイトな確定的時間階層」、1982
2. Piergiorgio Odifreddi、「古典的再帰理論」、vol。II、1999（84ページ）
3. ジュリス・ハートマニス、「1テープチューリングマシン計算の計算の複雑さ」、1968
4. FC Hennie and RE Stearns、「マルチテープチューリングマシンの2テープシミュレーション」、1966
5. ランス・フォートノウとラーフル・サンタナムの論文「時間階層：調査」、2007年

1より大きいテープの固定数のために、）、時間構成可能のための。対数オーバーヘッドは、任意の数のテープを2本のテープに変換できる（または1本のテープと1つのスタックであり、移動するだけで）テープ削減定理によるものです。$\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$$f$

テープの数が固定されていない場合、テープ削減定理を経ずにを建設的に証明する手法はありません。すべての、テープマシンを対数オーバーヘッドなしにテープマシンでシミュレートすることはできません。$\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$$k$$k+1$$k$

ただし、それは時間階層定理を改善できない、またはが失敗するという意味ではありません。$\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

実際、次のものがすでにあります。

定理：すべてについてとすべての形の（及び合理;又は）、。$ε>0$$f$$n^a (\log n)^b$$a$$b$$a>1$$a=1∧b≥0$$\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

証明：決定アルゴリズムを 持つすべての言語が時間で決定できる場合、入力をパディングすることにより、決定アルゴリズムは時間でます（は固定です） ）、すべての定数、、時間階層定理と矛盾します。$O(f)$$O(f / (\log f)^ε)$$O(f(n) (\log f(n))^{kε})$$O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$$k≥0$$c≥0$$\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

ただし、この非構成的証明には3つの制限があります。
*証明には、が適切に動作する必要があります（時間構成可能だけでなく、特定の意味で連続的）。 *我々は、である特定の言語がわからないではないで十分に大きいため、テープチューリングマシンのシミュレーションはにありませんが、およびであってもそれを除外していません、そのような最小のは> BB（BB（1000））で、BBはビジービーバー関数です *包含がロバストであることはわかりません。$f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$$k$$k$$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$$ε=1$$f(n)=n^2$$k$
$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$アルゴリズムは一部の入力で失敗しますが、有限の入力サイズを除くすべての入力サイズで一部の入力で失敗することを証明していません（非常に驚くべきことですが）そうでなかった場合）。