理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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オンライン投票における最新技術とは何ですか？
少なくとも理論的には（そして標準的な暗号の仮定の下で）人々が自宅から安全に投票できるようにする暗号プロトコルはありますか？私は様々な問題に対処するかもしれない方法を参照できます：1を除く（のような、二回投票の投票はのためだったかについて何の情報を明らかにしないながら投票が登録されたことを証明生産から人々を防止）防止強制ことを確認して行っています（有権者は賄賂を受け取っていないか、または別の方法で特定の方法で投票することを強制されていません）。投票者が投票センターに実際に立ち会い、監督者が監視していなければ、これは原則的には不可能のようですが、おそらく私は枠の外では十分に考えていません。
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非直交ベクトル問題
次の問題を検討してください。 直交ベクトル問題 入力：Aセットは、SSSのnnnブールは、長さの各ベクトルddd。 質問：DOは明確なベクトルが存在しv1v1v_1及びv2∈Sv2∈Sv_2 \in Sそれは、このようなv1⋅v2=0v1⋅v2=0v_1 \cdot v_2 = 0？ 非直交ベクトル問題 入力：Aセットは、SSSのnnnブールは、長さの各ベクトルdddと正の整数kkk。 質問：DOは明確なベクトルが存在しv1v1v_1及びv2∈Sv2∈Sv_2 \in S、このようなv1⋅v2≥kv1⋅v2≥kv_1 \cdot v_2 \geq k？ これら2つの問題の関係は何ですか？ 特に、ここで私が疑問に思っているいくつかのより具体的な質問を示します。 （1）これらの問題のどちらかが他よりも難しいように見えますか？ （2）私は確かに芸術アルゴリズムの現在の状態がOVP何のためにあるのかが、これらの問題のいずれかのために、あなたは上限よりも良い得ることができていないよO(n2⋅d)O(n2⋅d)O(n^2 \cdot d)時間は？ （3）kkkを修正することは、2番目の問題の複雑さに対して何か違いがありますか？ 、Iは、の内積平均V 1及びV 2を超えるR dは。v1⋅v2v1⋅v2v_1 \cdot v_2v1v1v_1v2v2v_2RdRd\mathbb{R^d} 編集：が小さい場合、ほとんどの応答は本当に素晴らしい洞察を提供します。 ddd が大きい場合、何が言えるでしょうか。d = nまたはd = √と言いますdddd=nd=nd = n 又は少なくともD=Nαいくつかのためにα>0。d=n−−√d=nd = \sqrt{n}d=nαd=nαd = n^\alphaα>0α>0\alpha > 0
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線形制約の影響を受ける多項式関数を最大化するのはどのくらい「難しい」のでしょうか。
一般的な問題 我々は多変数多項式の関数があるとし、およびいくつかの線形関数ℓ I（xと）。次の最適化問題の解決の複雑さについて何がわかっていますか？f(x)f(x)f(\mathbf{x})ℓi(x)ℓi(x)\ell_i(\mathbf{x}) MaximizeSubject to: f(x)ℓi(x)≤0 for all iMaximizef(x)Subject to: ℓi(x)≤0 for all i\begin{align*} \text{Maximize} & \;\; f(\mathbf{x}) \\ \text{Subject to: } & \;\, \ell_i(\mathbf{x}) \le 0\text{ for all } i \end{align*} 制約によって決定された領域は有界であると想定できます。 関連するがより具体的な問題 境界のあるポリトープ（一連の線形不等式の交差として表される）があるとします。ポリトープに完全に含まれる（軸に平行な）超長方形の最大体積を計算したい。この問題を解決する複雑さは何ですか？ これらの問題のいずれかに関するヘルプは大歓迎です。
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赤いエッジの数が偶数の最小重量完全一致
赤いエッジのある加重グラフを考えてみましょう。赤いエッジの数が均一で、以前の制約の下では重みが最小になるような完全な一致を見つけることに関心があります。 この問題は多項式時間で解決できますか？二部グラフでも？ 自然な拡張についてはどうでしょう。色の数が一定で、マッチングの各色のエッジの数が偶数である場合。
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ポリログランダムビットを持つ
検討マシン（つまり、用途がLOGSPACEこと確率的アルゴリズムと多項式多くのランダムビット）。ことが知られています（Saks-Zhou。B PLBPLBPLB PL ⊆ D SPA CE（l o g1.5（n ））BPL⊆DSPあCE（log1.5（ん））BPL \subseteq DSPACE(log^{1.5}(n)) 私の質問は、ポリログのランダム性のビットのみを使用するマシンについてです。ゴールドライヒの論文の1 つでは、そのようなマシンによって決定された言語が実際には決定論的ログスペースにあることが言及されています。しかし、私はこの発言の説明をどこにも見つけることができません。B PLBPLBPLB PLBPLBPLLLL ログスペースで完全にランダム化解除できるのはなぜですか？
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非決定性は平均して回路にとって無意味ですか？
SavickýとWoods（与えられたサイズの式によって計算されるブール関数の数）は、次の結果を証明します。 定理[SW98]：すべての定数についてk &gt; 1k&gt;1k>1、式の複雑度が最大でであるほとんどすべてのブール関数はんknkn^k、少なくとも回路複雑度を持ちんk/ knk/kn^k/kます。 証明は、下限、つまりサイズn kの式で計算されたn入力のブール関数の数を導出することで構成されます。B （n 、n k）をサイズC = n k / kの回路の数（最大でC C e C + 4 n）と比較すると、大きなnの場合、C C e C + 4B （n 、nk）B(n,nk)B(n,n^k)んnnんknkn^kB （n 、nk）B(n,nk)B(n,n^k)C= nk/ kC=nk/kC = n^k/kCCeC+ 4 nCCeC+4nC^{C}e^{C+4n}んnn、および結果は以下の通りです。CCeC+ 4 n&lt; &lt; B （N 、Nk）CCeC+4n&lt;&lt;B(n,nk)C^{C}e^{C+4n} << B(n,n^k) それは、結果はサイズの非決定論的な回路の数ということに注目することによって強化することができることを私に見えるとメートル非決定的入力はサイズの決定論的回路の数よりもはるかに大きくないのn のkについて（メートル大きすぎない、と言うメートル= n）。したがって、次の結果が成り立つと思います。んknkn^kメートルmmんknkn^kメートルmmm = nm=nm=n 結果：すべての定数について、式の複雑度が最大でn …
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「代数効果とハンドラーのための効果システム」のハンドラーのサブタイプに関する質問
論文「代数的効果とハンドラーのための効果システム」のサブタイプについて質問がありました。ハンドラー型の両側にエフェクトを追加するためのサブタイピングルールがないのはなぜですか？ T!A⇒R!B⩽T!(A∪C)⇒R!(B∪C)T!A⇒R!B⩽T!(A∪C)⇒R!(B∪C) \frac{ }{ T!A \;\Rightarrow\; R!B \;\leqslant\; T!(A \cup C) \;\Rightarrow \;R!(B \cup C) } これは、ハンドラータイプの変数を左側にあるハンドラータイプよりも多くの効果を持つ計算に適用する場合に役立ちます。 ハンドラーの入力規則を使用して、ハンドラー型の両側に効果を追加できますが、これは変数では機能しません。たとえば、ハンドラーが関数の引数である場合。
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二分木の上の再帰関数のための共和的メモ化テーブルをどのように構築できますか？
Coq のStreamMemoライブラリはf : nat -&gt; A、自然数に対して関数をメモ化する方法を示しています。特にの場合f (S n) = g (f n)、imemo_makeは再帰呼び出しの計算を共有します。 自然数の代わりに、二分木の再帰関数をメモしたいとします： Inductive binTree : Set := | Leaf : binTree | Branch : binTree -&gt; binTree -&gt; binTree. 我々は機能があるとf : binTree -&gt; A機能があることを意味し、構造的に再帰的であるg : A -&gt; A -&gt; Aことなどf (Branch x y) = g (f x) (f y)。fCoqで同様のメモテーブルを作成して、再帰的な計算を共有する方法を教えてください。 …
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セット交差のサイズを近似する通信の複雑さ
セット交差問題を検討してください。アリスとボブはそれぞれサブセットを取得し、それらのセットが交差するかどうかを知りたいと考えています。これは通信の複雑さの標準的な問題であり、この問題のランダム化されたプロトコルにはビットの通信が必要であることはよく知られています（こちらの調査を参照）。セットはサイズのものである場合にはのために、ランダム化プロトコルが必要であることが知られているビット（ここでは参照）。{1,…,n}{1,…,n}\left\{ 1,\ldots, n\right\}Θ(n)Θ(n)\Theta(n)kkkk≪nk≪nk \ll nΘ(k)Θ(k)\Theta(k) 次に、アリスとボブがセットの共通部分のサイズを知りたいバリアントについて考えます。明らかに、正確なサイズを計算すると、標準のセット交差問題になり、サイズの乗法近似のみを計算したい場合でもこれは成り立ちます。しかし、交差点のサイズの加法近似を計算したい場合はどうなりますか？この問題について既知の下限または上限はありますか？ 小さなセットの設定、つまりセットのサイズがである場合に、この質問に特に興味があります。k≪nk≪nk \ll n
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一部の数値がカットされる可能性があるパーティションの問題
標準の分割問題では、合計が2 秒の2s2s数値がいくつか与えられ、合計がsのss 2つのサブセットに分割できるかどうかを決定する必要があります。NPハードであることが知られています。 ただし、数値の1つを任意の数の部分にカットできる「ソフト番号」に指定することが許可されていると仮定します。異なる部分は異なるサブセットに入れることができます。その後、問題は簡単になります。行のすべての数値を任意の順序で並べ、その行を同じ合計で2つのサブ行にカットするだけです。 質問：合計が3 s3s3sである数値がいくつか与えられ、合計がsである3つのサブセットに分割できるかどうかを決定する必要がありますが、最大で1つのソフト数を使用します。この問題の複雑さは何ですか？ss 2つのソフト数値の使用が許可されている場合、問題は再び簡単です。数値を上記のように一列に並べることで解決できます。 ゼロのソフト番号の使用が許可されている場合、問題は明らかに困難です。少なくとも2つのサブセットに分割する問題と同じくらい困難です。 1つのソフト番号を使用することが許可されている場合、問題は依然として難しいはずであり、標準パーティションの問題からなんとかしてそれを減らすことができますが、正しい削減を見つけることができませんでした。それは簡単ですか、難しいですか？ 別の質問：問題が実際にNP困難である場合、2サブセット分割問題のように疑似多項式時間で解決できますか？
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アーベル群同型は
あ O （ん2）O(n2)O(n^2)アーベル群同型の実行時アルゴリズムは見やすいです。2003年にこの問題に後で取り組んだVikasは、O （ん2）O(n2)O(n^2) 実行時間 O （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n)。2007年に、Kavithaはアーベル群の同型が線形時間で実行できることを示しました。O （n ）O(n)O(n) 時間。 グループが表表現で与えられたときのアーベル群同型は、 TC0TC0\mathsf{TC^0}。あることを示す研究論文や記事はありますかあC0AC0\mathsf{AC^0}？私はグーグルしようとしましたが、それが含まれている結果のみを取得しましたTC0TC0\mathsf{TC^0}。 質問：アーベル群同型（表形式で与えられた群）は あC0AC0\mathsf{AC^0}
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スティーブンホーキングのコンピュータサイエンスへの影響
スティーブンホーキングが今日亡くなったことを踏まえて、彼の結果のいずれかがcsに直接影響を与えるかどうか疑問に思っていましたか？ 明らかな候補は、量子コンピューティング、または物理的な量子コンピューターの構築ですが、おそらく他の影響を与える結果があるでしょう。 私はポピュラーサイエンスレベルでのみ彼の研究に精通しているので、これは実際には研究レベルの質問ではありませんが、おそらく研究レベルの答えがあります。 編集：答えに続いて、私は彼のAIに関する最近の懸念を意味するものではありません。それはCSへの貢献ではなく、哲学的/社会学的なポイントです。私は、数学的な結果、または物理学とコンピューティングの接続をもっと目指しています。
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モーダルロジックIK5の複雑さ
モーダルロジックの局所充足可能性問題の複雑さはどのくらいI K 5IK5\mathit{IK5}ですか？ここでは、逆モダリティで拡張されたユークリッドフレーム上のモーダルロジックを示しIK5私K5IK5ます。参考資料を教えてください。それはであるNPNPNP？ トピックについて知っていることは？ はE x p T i m eにあることが簡単にわかります。これは、それからG F 2（1次論理の2変数の保護されたフラグメント）への減少があるためです。逆の規則的な文法論理の決定を参照してください。一次論理を通じて。私K5私K5IK5Ex pT私メートルのEEバツpT私メートルeExpTimeG F2GF2GF^2 一方、通常のはN P完全です。K5K5K5NPNPNP モデルは3つの部分に分割できるため、（一次論理の1変数フラグメント）に等式を書くことができます。（1）開始ワールドw、（2）wの後続（3）後続wの後継者の。さらに難しいロジック（段階的モダリティのK 5）の削減の例は、「段階的モーダルロジックの充足可能性問題の複雑さに関するノート」で説明されています。ただし、逆モダリティが存在する場合、同じトリックを実行することはできません。簡単な考え方は、逆世界では異なる数の後継者が必要になる可能性があるということです。FO1FO1FO^1wwwwwwwwwK5K5K5
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