「代数効果とハンドラーのための効果システム」のハンドラーのサブタイプに関する質問

論文「代数的効果とハンドラーのための効果システム」のサブタイプについて質問がありました。ハンドラー型の両側にエフェクトを追加するためのサブタイピングルールがないのはなぜですか？

$$\frac{ }{ T!A \;\Rightarrow\; R!B \;\leqslant\; T!(A \cup C) \;\Rightarrow \;R!(B \cup C) }$$

これは、ハンドラータイプの変数を左側にあるハンドラータイプよりも多くの効果を持つ計算に適用する場合に役立ちます。

ハンドラーの入力規則を使用して、ハンドラー型の両側に効果を追加できますが、これは変数では機能しません。たとえば、ハンドラーが関数の引数である場合。

Andrejと私はかなり長い間このルールを追加することを検討しており、その正しさを証明したと信じているため、この質問が頻繁に出されないことに驚いています。しかし、結局のところ、少なくとも値による呼び出しの設定では、これは誤りであることがわかりました（プッシュ値による呼び出しでうまく機能すると聞いています）。

同じ論文の24ページで説明されている状態ハンドラーについて考えてみましょう。このハンドラーは、状態でタイプステートフル計算を実行し、それをからへの純粋な関数に変換します。そのタイプは右側にある2つの空のセットに注意してください。1つ目は、結果の関数が純粋であることを示し、2つ目は、この関数の生成時に影響が発生しないことを示しています。$B$$A$$A$$B$

$$B!\{\mathtt{lookup},\mathtt{update}\} \Rightarrow (A \to B ! \emptyset) ! \emptyset$$

ここで、ハンドラーを計算に適用して、と以外の呼び出すと仮定します。提案されたルールを適用すると、タイプ が、実際には正しいタイプは 未処理の効果としてのは、関数の生成前または呼び出し後に発生する可能性があります。$\Delta$$\mathtt{lookup}$$\mathtt{update}$

$$B!(\{\mathtt{lookup},\mathtt{update}\} \cup \Delta) \Rightarrow (A \to B ! \emptyset) ! \Delta$$ $$B!(\{\mathtt{lookup},\mathtt{update}\} \cup \Delta) \Rightarrow (A \to B ! \Delta) ! \Delta$$ $\Delta$