理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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CS修士号または博士号を取得するには、どのような数学のコースを受講すればよいですか？
私は独学でプロのプログラマーです。私はそれはかなり得意ですが（Ruby、Unix、Clojure、Java、Objective-C）、今はCSでマスターまたはPhDプログラムを申請することで、次のレベルに引き上げようと考えています。この目標に備えるために、数学のどのトピックを勉強すればよいですか？
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非決定性プッシュダウンオートマトンによって受け入れられる最大で
問題文 ： してみましょう（潜在的に非決定性）プッシュダウンオートマトンこととしましょうAがその入力アルファベットなります。単語があるのw ∈ A * STは| w | ≤ Kで受け入れられているM？MMMAA\cal Aw∈A∗w∈A∗w \in \cal A^*|w|≤k|w|≤k|w| \leq kMMM この問題はNP完全ですか？それは研究されましたか？そのような単語を見つけることを可能にするアルゴリズムはありますか？
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ETHのような障害物
ETHETHETH下では、関数f （K ）（通常2 O （K ））の下でf （K ）p o l y （n K ）時間でKKK -SUMを解くことができないことを知っています。f（K）p o l y（n K）f（K）poly（んK）f(K)poly(nK)f（K）f（K）f(K)2O （K）2O（K）2^{O(K)} （ログn ）O （K）（ログ⁡ん）O（K）(\log n)^{O(K)}複雑さを防ぐ推測はありますか（これはK= Ω （n ）K=Ω（ん）K=\Omega(n)であり、サブセットの合計に指数時間を必要とする可能性と完全に一致します）またはそのような可能性は許容されますか？
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二項乗算の最も重要なビットを決定する
Iは、以下の決定問題の複雑さを決定することに興味があります：二つの整数を考えると及びL 2（最もmビットで各）、乗算の最上位ビットかどうかを決定するL 1 ⋅ L 2が 1（ここでの結果であります2mビットで出力され、先頭に0が付く場合があります）？l1l1l_1l2l2l_2l1⋅l2l1⋅l2l_1 \cdot l_2 明らかに、この問題はかどうかを尋ねるバイナリ乗算の特別な場合である。いくつかの問題の背景乗算のビット目L 1 ⋅ L 2は、彼らの論文では1であり、分割および反復のためのユニフォーム一定の深さ閾値回路乗算、ヘッセン、アレンダー、バリントンは、反復（したがってバイナリ）乗算がD L o g T i m e - uniform T C 0であることを証明しています。さらに、バイナリ乗算はすでにD L o g T iであることはよく知られているようですiiil1⋅l2l1⋅l2l_1 \cdot l_2DLogTimeDLogTime\mathsf{DLogTime} TC0TC0\mathsf{TC}^0 -均一 T C 0 -hard。しかし、私はこの硬度の結果を証明する特定の情報源を見つけることができませんでした。回路の複雑さの専門家ではないので、私はこの一般的な硬さの結果へのポインタにも感謝します。最後に、バイナリ乗算であると仮定すると、D L O G T iは、mは電子 -均一 T C 0 -hardを、私の質問はまた、読み取ることができますないが、それは残り D …
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各要素が少数のビンに含まれるようにバイナリ関係をビンに分配する
オブジェクトのペア（たとえば、数値）が与えられます。各オブジェクトは最大でペアで表示されます。私たちの目標は、各オブジェクトができるだけ少ない異なるビンで発生するように、ペアを同じサイズのビンに分配することです。qqq より正確には、我々は、機能に興味を持っているとのすべてのバイナリ関係のためにその特性を有する高々と対オブジェクトごとにペアにペアの分布が存在する各ビンが受け取るように、ビンは、（対は）を除算する必要があり、超えるビンではオブジェクトは発生しません。fffmmmqqqpppm/pm/pm/ppppmmmf(m,q,p)f(m,q,p)f(m,q,p) この質問は、並列クエリ評価に関する研究で浮上しました。が比べて大きいことを期待できます。の「正しい」サイズは明確ではありません。の興味深いサイズは、たとえばです。依存しない関数が、唯一の特定の範囲のために働くまた有用であろう（ただし、）。mmmpppqqqqqqmp−−√mp\sqrt{\frac{m}{p}}qqqqqqq=O(1)q=O(1)q=O(1) 実際に、我々は、フォームの境界の後にあるで、できるだけ大きく...p1−ϵp1−ϵp^{1-\epsilon}ϵ>0ϵ>0\epsilon>0
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コンビネータの不完全な基礎
これはこの質問に触発されています。してみましょう 2つのだけバインド変数を持つすべてのコンビネータのコレクションです。であるCは、コンビナトリアルに完全な？CC\mathcal{C}CC\mathcal{C} 答えは否定的だと思いますが、これについての参考文献を見つけることができませんでした。また、コンビネータのセットの組み合わせが不完全であることの証明の参照にも興味があります（バインドされた変数が1つだけのコンビネータで構成されるセットが不完全であるため、これらのセットにはDの要素以外のものが含まれるはずです）。DD\mathcal{D}DD\mathcal{D}
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SMLデータ型のサブセットとしてのサブタイプ
純粋に機能的なデータ構造に関する岡崎の本で私が嫌いないくつかのことの1つは、彼のコードが網羅的なパターンマッチングで散らかされていることです。例として、彼にリアルタイムキューの実装を示します（不要な中断を排除するためにリファクタリングしました）。 infixr 5 ::: datatype 'a stream = Nil | ::: of 'a * 'a stream lazy structure RealTimeQueue :> QUEUE = struct (* front stream, rear list, schedule stream *) type 'a queue = 'a stream * 'a list * 'a stream (* the front stream is one element …
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超一定のツリー幅を持つグラフのクラス
ツリー幅が制限されたグラフには、いくつかの興味深いクラスがあります。たとえば、ツリー（ツリー幅1）、直列並列グラフ（ツリー幅2）、外平面グラフ（ツリー幅2）、外平面グラフ（ツリー幅O（k））、ブランチ幅グラフ（ツリー幅O（k））、.. 。kkkkkk 質問：ツリー幅が定数ではなく低成長関数によって制限されている興味深いグラフクラスの例はありますか？ ツリー幅よく知られたグラフクラスはありますか？O(loglogn)O(log⁡log⁡n)O(\log\log n) ツリー幅よく知られたグラフクラスはありますか？O(logn)O(log⁡n)O(\log n) 対数が一定回数繰り返されるツリー幅またはのグラフのクラスにも興味があります 。O(logkn)O(logk⁡n)O(\log^k n)O(loglog...n)O(log⁡log...n)O(\log\log...n) Obs：もちろん、のファミリーのように、与えられたツリー幅でグラフの人工的なファミリーを作るのは簡単グリッド。したがって、私は主にグラフ理論の他のブランチで研究され、たまたまツリー幅またはを持っているが一定でないツリー幅を持っているグラフのファミリーを探してい。O(logn)×nO(log⁡n)×n\;O(\log n)\times n\;O(logn)O(log⁡n)O(\log n)O(loglogn)O(log⁡log⁡n)O(\log\log n)
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型理論における非終了と停止証明の良い概念はありますか？
カレーハワード対応のもとでの基本的な解釈を伴う構成型理論は、完全な計算可能な関数のみで構成されます。文献では、関数型プログラムで非終了を表すために「計算型理論」を使用することについて述べられている人もいますが、私が遭遇した論文では、これは理論の主な動機ではないようです（たとえばBentonは、非決定性、継続、および例外について言及していますが、非終了については詳しく説明していません。そのため、計算型理論を使用した非終了の堅牢な解釈を示す論文はまだありません。 具体的には、私が探していますと、型の可能性が非終端計算表すタイプ与えられている方法である、、いくつかの概念が存在すべきであることを証明終了型の、とが与えられると、項構築できます。T （A ）X ：T （A ） H （X ）X ：T （A ）P ：H （X ）〜X：AAAAT(A)T(A)T(A)x ：T（A ）x:T(A)x : T(A)H（x ）H(x)H(x)x:T(A)x:T(A)x:T(A)p:H(x)p:H(x)p:H(x)x~:Ax~:A\tilde x : A これに対する私の動機は、結局、計算複雑性理論の概念を構成型理論により正式に関連付けることができるようになりたいということです。具体的には、停止するオラクルにアクセスすることで、形式的な理論の構成型としてどのような力が得られるかに興味があります。これを行うために、実際には、可能な非終了の正式な概念と、停止の証明が必要です。型理論のフレームワーク内でそれに沿って行きます。
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有限体上の線形力学系における到達可能性の複雑さ
LET AAA有限体上の行列であるF2={0,1}F2={0,1}\mathbb{F}_2 = \{0,1\}とxxx、yyy空間のベクトルでFn2F2n\mathbb{F}_2^n。私はそこに存在しているかどうかを決定する計算の複雑さに興味t∈Nt∈Nt \in \mathbb{N}、そのようなことトンのx = yの有限体上の線形動的システムの到達可能性の問題で、すなわち、。Atx=yAtx=yA^t x = y 問題は、明らかであるNPNP\mathbf{NP}（推測0≤t&lt;2n0≤t&lt;2n0 \le t < 2^nと計算AtAtA^t繰り返し二乗することによって多項式時間で）。私と私の同僚も証明することができたNPNP\mathbf{NP} -completenessが存在するか否かを確立するための関連する問題のt∈Nt∈Nt \in \mathbb{N}ようにAtx≥yAtx≥yA^t x \ge y、≥≥\ge要素ごと不等式です。 この問題は非常に自然なようですが、正確な用語を知らないためか、文献で計算の複雑さについての言及を見つけることができませんでした。等式の問題が完全であるか、それともNPNP\mathbf{NP}実際にPP\mathbf{P}かを知っていますか？
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最小数の加算を使用した行列ベクトル乗算アルゴリズム
次の問題を検討してください。 行列与えられた場合、 を計算するための乗算アルゴリズムの加算数を最適化したいとします。V ↦ M VMMMV ↦ Mvv↦Mvv \mapsto Mv この問題は、行列乗算の複雑さとの関係から興味深いものです（この問題は、行列乗算の制限されたバージョンです）。 この問題について何がわかっていますか？ この問題をマトリックス乗算問題の複雑さに関連づける興味深い結果はありますか？ 問題への答えは、追加ゲートのみの回路を見つけることを含むようです。減算ゲートを許可するとどうなりますか？ この問題と他の問題の間の削減を探しています。 動機 0-1行列ベクトル乗算の自動最適化 細粒度複雑性理論におけるこれらの仮説の間の関係は何ですか？
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削減戦略と評価戦略の違いは何ですか？
ウィキペディアの評価戦略の記事から： ラムダ計算における還元戦略の概念は似ていますが、異なります。 ウィキペディアの削減戦略の記事から： これは、コンピューターサイエンスの評価戦略の概念と似ていますが、微妙に異なります。 これら2つの記事が示唆する評価戦略と削減戦略の微妙な違いは何ですか？それらは、異なるドメインからの2つの類似した概念にすぎませんか？
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理論的なコンピューターサイエンスの未解決の問題を解決するための大規模なオンラインコラボレーション
Polymathプロジェクトでは、大規模なグループが未解決の問題に取り組んでいます。 このフレームワークではどのような問題が最も効果的であると思われますか？ 理論的なコンピューターサイエンスのpolymathプロジェクトに適した候補はありますか？ 数学の他の領域と比較して、Polymathプロジェクトが理論的なコンピューターサイエンスで成功する可能性を低くする障害はありますか？
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微分方程式を独自の複雑度クラスに分類できますか？
計算の複雑さのおかげで、問題は全体として分類されています。しかし、微分方程式では、計算構造に応じて微分方程式を分類することは可能ですか？ たとえば、1次の不均一方程式が、たとえば100次の均一方程式よりも解くのが比較的難しい場合、解く方法が同じであれば、それらを別々の凸クラスとして分類できますか？解決のプロセスを変えると、解、それらの存在と安定性、その他の特性はどのくらいランダムに変化するでしょうか？ 微分方程式を解くことはNP-Hardかもしれないと私は部分的に確信していると思います： /mathpro/158068/simple-example-of-why-differential-equations-can-be-np-hard この記事： http://www.cs.princeton.edu/~ken/MCS86.pdf 微分方程式の可解性による計算の複雑さの範囲を私に尋ねるように強いてきました。常微分方程式から始めて、偏微分方程式、遅延方程式、微分方程式などを分類できます。 かつては、ソリューションを近似する際に計算された反復を使用して動的プログラミングを組み込むことを考えていましたが、どこかに迷いました。
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