最大の重みマッチングとサブモジュラー関数

正の重みを持つ2部グラフが与えられた場合、とし、グラフ。$G = (U \cup V, E)$$f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$$f(S)$$G[S\cup V]$

が部分モジュラー関数であることは本当ですか？$f$

定義。与えられた有限集合について、集合関数は、任意の場合、部分モジュラーであり、次の条件をます $A$$f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$$X, Y \subseteq A$

$$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$$

補題正のエッジの重みを持つ 2部グラフが与えられた場合、を最大値にマップする関数とする重みの一致。次に、は部分モジュラーです。$G = (A \cup B, E)$$f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$$S\subseteq A$$G[S \cup B]$$f$

証明。 2つのセットを修正し、およびをそれぞれグラフおよび 2つのマッチングとする。補題を証明するには、とを、グラフと 2マッチングとにそれぞれ分割できることを示すのに十分です。 。$X, Y \subseteq A$$M_\cap$$M_\cup$$G[(X\cap Y) \cup B]$$G[(X \cup Y) \cup B]$$M_\cap$$M_\cup$$M_X$$M_Y$$G[X\cup B]$$G[Y\cup B]$

およびのエッジは、交互のパスとサイクルのコレクションを形成します。ましょう、このコレクションを表すとのない周期ことを観察から頂点を含まない又は。はそれらの頂点と一致しないため、これは成り立ちます。$M_\cap$$M_\cup$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$X\setminus Y$$Y\setminus X$$M_\cap$

ましょう内のパスのセットでに少なくとも1つの頂点とおよびletのパスのセットで少なくとも有します 1つの頂点。次の図に、このような2つのパスを示します。$\mathcal{P}_X$$\mathcal{C}$$X \setminus Y$$\mathcal{P}_Y$$\mathcal{C}$$Y \setminus X$

主張1. 。 $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

矛盾により、パスが存在すると仮定します。ましょうで頂点ことパス上のと同様せで頂点であるパス上の。どちらのでことを確認しもに属するそれらがマッチングに属していない定義によって、したがってそれらがパスのエンドポイントである。さらに、と両方がにあるため、パス$P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$$x$$X\setminus Y$$P$$y$$Y \setminus X$$P$$x$$y$$X \cap Y$$M_\cap$$P$$x$$y$$A$$P$長さは偶数であり、代替パスであるため、最初または最後のエッジは属します。したがって、はまたはいずれかに一致します。これは定義に矛盾し、主張を証明します。$M_\cap$$M_\cap$$x$$y$

LET と および ことは明らかです。定理を証明するために、とがそれぞれと有効なマッチングであることを示すがあります。ことを確認するために有効であるマッチング第一のない頂点ことことを観察で一致していないため

$$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$$ $$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$$ $M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$$M_X$$M_Y$$G[X\cup B]$$G[Y\cup B]$$M_X$$G[X\cup B]$$Y \setminus X$$M_X$$\mathcal{P}_X$はクレーム1によってと交差せず、は定義によって交差しません。したがって、は頂点のみを使用します。次に、すべての頂点が最大で 1つのエッジと一致することを確認します。そうでない場合、は 2つのエッジまたは 2つのエッジに属し、定義と矛盾します。これは、が有効なマッチングであることを証明しています。が有効な一致であることを示す$Y \setminus X$$M_\cap$$Y \setminus X$$M_X$$X \cup B$$x\in X$$M_X$$x$$M_\cup$$M_\cap$$M_X$$G[X\cup B]$ G [ Y ∪ B $M_Y$$G[Y\cup B]$ 似ている。