コンビネータの不完全な基礎

これはこの質問に触発されています。してみましょう 2つのだけバインド変数を持つすべてのコンビネータのコレクションです。であるCは、コンビナトリアルに完全な？$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

答えは否定的だと思いますが、これについての参考文献を見つけることができませんでした。また、コンビネータのセットの組み合わせが不完全であることの証明の参照にも興味があります（バインドされた変数が1つだけのコンビネータで構成されるセットが不完全であるため、これらのセットにはDの要素以外のものが含まれるはずです）。$\mathcal{D}$$\mathcal{D}$

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最初に、コンビネータ（=閉じた項）バインドされた変数のカウントに関する明確化。私は約尋ねるよう質問を解釈 において異なるバインド変数名の総数  T ので、例えば長期T = （λ X 。X （λ Y 。Y ））（λ X 。λ Y 。Y 、X ）を有するとしてカウント4つのバインダー（ラムダ抽象化）があるにもかかわらず、2つのバインドされた変数。このカウント方法は、最初は少し変でした。$t$

$$\text{the total number of distinct bound variable names in }t$$ $t = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda x.\lambda y.yx)$ -conversion：たとえば、 Tはである αに換算 T ' = （λ X 。X （λ Y 。Y ））（λ 。λ B 。bは）が、 tは' 4つの別個の結合した変数名を有しています。ただし、これは実際には問題ではありません。閉じた項 tを記述するために必要な個別のバインド変数名の最小数は、tのサブタームの自由変数の最大数に等しいため $\alpha$$t$$\alpha$$t' = (\lambda x.x(\lambda y.y))(\lambda a.\lambda b.ba)$$t'$$t$ $$\text{the maximum number of free variables in a subterm of }t$$ 後者の概念は、変換では不変です。$\alpha$

したがって、を最大2つの異なるバインドされた変数を使用して記述できるすべてのコンビネーターのコレクション、または同等に、サブタームが最大2つの自由変数を持つすべてのコンビネーターのコレクションとする。$\mathcal{C}$

定理（Statman）：は組み合わせで完全ではありません。$\mathcal{C}$

これの最初の証拠は、リック・スタットマンによる技術レポートに含まれているようです：

• ヘリテータリーオーダー2のコンビネーター。カーネギーメロン数学科テクニカルレポート88-33、1988年8月。（pdf）

Statmanは、彼が「HOT」と呼んでいる、本質的に同型のコンビネーターのコレクションを定義しています。技術レポートは実際には、HOTの問題（つまり、 -equality）は、組み合わせで完全ではないという事実にもかかわらず、まだ決定できないことを示しています。Statmanは後に、HOTが組み合わせで完全ではないことを証明する短い自己完結型の論文を書きました。$\beta$

• 2つの変数では不十分です。理論的コンピュータサイエンスに関する第9回イタリア会議の議事録、pp。406-409、2005年。（acm）

$Hn$$Hn$$n+1$$\beta$$n$$S = \lambda x.\lambda y.\lambda z.(xz)(yz)$$n$$n$$Hn$$n+1$