各要素が少数のビンに含まれるようにバイナリ関係をビンに分配する

オブジェクトのペア（たとえば、数値）が与えられます。各オブジェクトは最大でペアで表示されます。私たちの目標は、各オブジェクトができるだけ少ない異なるビンで発生するように、ペアを同じサイズのビンに分配することです。 $q$

より正確には、我々は、機能に興味を持っているとのすべてのバイナリ関係のためにその特性を有する高々と対オブジェクトごとにペアにペアの分布が存在する各ビンが受け取るように、ビンは、（対は）を除算する必要があり、超えるビンではオブジェクトは発生しません。 $f$ $m$ $q$ $p$ $m/p$ $p$ $m$ $f(m,q,p)$

この質問は、並列クエリ評価に関する研究で浮上しました。が比べて大きいことを期待できます。の「正しい」サイズは明確ではありません。の興味深いサイズは、たとえばです。依存しない関数が、唯一の特定の範囲のために働くまた有用であろう（ただし、）。 $m$ $p$ $q$ $q$ $\sqrt{\frac{m}{p}}$ $q$ $q$ $q=O(1)$

実際に、我々は、フォームの境界の後にあるで、できるだけ大きく... $p^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

combinatorics

— トーマスS
ソース

グラフの用語：整数と、エッジがあり、各頂点の次数が最大であるグラフが与えられた場合、サブグラフここで、、およびはをサイズ部分に分割したものであり、各頂点は最大でのグラフ。あなたの目標はを最小化することです。最高の上限は何ですか

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$ 指定された、、および表示できますか？

m

$m$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young

そのとおり。グラフに関して。質問への答えは：。実際、上記のように、という形式の境界に関心があり、はそのような境界はありません。

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— トーマスS

始めるための特別なケース：奇数の整数にします。完全なグラフのエッジをサイズサブセットに分割して、各頂点について、その頂点に付随するエッジを含むサブセットの数が、いくつかの？私はすべてのイエスを賭けます--- それぞれサイズランダムな頂点サブセットを取ります。次に、高い確率で、各頂点が頂点サブセットの約あり、各ペアが約

n \geq 1

$n \ge 1$

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$ サブセットの。次に、ペアをサブセットに割り当てます...

— ニールヤング

この場合、ノードは最初にサイズセット（間隔について考える）に分散できます。次に、各ビンは、そのような2つのセットの積を取得します（完全な有向グラフを検討しています。これは、状態を示すのが簡単で、漸近的にそれほど大きな違いはありません）。したがって、各頂点はビン、つまりこの場合はで発生します。

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— トーマスS

スターグラフ（1つの頂点付随するエッジ）の場合、頂点はサブグラフのそれぞれにある必要があるため、その場合、未満の境界は不可能です。あなたが最大次数を制限するのはそのためだと思いますか？それは決定的な仮定であるように思われるので、多分あなたはそれについてより決定的なことを言うことができます。その間、私は以下の回答として観察結果（回答ではありませんが、コメントとして収めるには大きすぎます！）を残しました。

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— ニールヤング

これは答えではありません。 WLOG では、まったく同じサイズのエッジサブセットがあるという要件を緩和でき、代わりに、サイズ任意の数のエッジサブセットを探すだけです。。多分これは問題について考えるのに役立ちます。 $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

グラフと整数修正します。してみましょう $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

補題。 サブグラフが存在すると仮定ようパーティションに（任意の数）のサイズの部分。してみましょう任意の頂点が含まれるパーツの最大数になります。 $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

次に、サブグラフがあり、を最大で各サイズの正確に部分に分割し、 $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

証明。 シーケンスで、シーケンス内の各パーツを、そのパーツに含まれるエッジの順序付けられたシーケンスで置き換えます。ましょう得られたシーケンス（の順列である各部よういくつかの"間隔"であるのエッジのシーケンス）。次に、このシーケンスを連続するサブシーケンスに分割して、最後を除く各シーケンスのサイズをにし、に番目の連続するサブシーケンスのエッジをます。（そう $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ for。） $i<p$

各パーツサイズはであり、最後のパーツを除く各パーツサイズはであるため、（が定義されているため）指定されたパーツのエッジは部分に分割されます。これと、各頂点がのパーツの最大に存在するとの仮定は、各頂点がパーツの最大に存在することを意味します。QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— ニール・ヤング
ソース