理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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既知の量子利点がない問題
私は、量子コンピューターを使用することで既知の複雑さの利点がない既知の自然な計算問題のリストが何であるのか疑問に思っていました。 手始めに、編集距離の計算は、最速の既知の量子アルゴリズムが最速の既知の古典的アルゴリズムであると思われるものだと思います。より暫定的には、既知の量子スピードアップ（既知の最速の単位コストのワードRAMアルゴリズムと比較して）がないもう1つの問題としてソートを提案します。 私は厳しい制限を設定したくありませんが、NPの問題や既知の効率的な古典的な解決策がない問題に特に関心があります。 フアンベルメホベガの提案に続き、ここでさらに説明を加えます。量子コンピュータを使用する場合、現時点で既知の大きな時間複雑さの利点がまったくないNPの問題に興味があります。OOO 私は利点がないことが証明できる場合に焦点を合わせておらず、指数関数的な高速化に焦点を合わせていません（つまり、多項式も問題ありません）。これまでのところ、私の質問の例は2つしかないようですが、それが本当に真実である場合、これは非常に驚くべきことです。
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DOES
表す で最小のうち度G、及びによってδ - （G ）中度最小限。δ+（G ）δ+(G)\delta^+(G)GGGδ−（G ）δ−(G)\delta^-(G) 関連する質問、私はのGhouila・フーリー延長言及したハミルトン閉路上のディラックの定理示唆、その場合は次にGはハミルトニアンです。δ+（G ）、δ−（G ）≥ N2δ+(G),δ−(G)≥n2\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2} Saeedは彼のコメントの中で、グラフが強く関連している必要があることを除いて、より強く見える別の拡張についてコメントしました。 強力な接続性は、最初に公開されてから約30年後にグイラ・ホーリの定理に冗長であることが証明されました。 だから問題は： 誰が（缶誰でも参照を見つける。）証明している意味Gがあることを考えると、ハミルトニアンであるGが強く接続されていますか？δ+（G ）+ δ−（G ）≥ Nδ+(G)+δ−(G)≥n\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq nGGGGGG 強力な接続性冗長は、ここにもあるすなわちんの強力な接続性を暗示しますか？δ+（G ）+ δ−（G ）≥ Nδ+(G)+δ−(G)≥n\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n （ハミルトニアンになるためにグラフは明らかに強く接続されている必要がありますが、この条件が次数条件によって暗示されるかどうかを尋ねていることに注意してください）。
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Nクイーンズ問題はNP困難ですか？
N-クイーンの問題はこれです： 入力：N 出力：2つのクイーンが同じ行、列、または対角線上にないように、NXNチェス盤にNの「クイーン」を配置。 これをグーグル検索すると、多くの教授による多くのスライドがこれがNP-Hard問題であると主張していることがわかりました（例：web.mst.edu/~ercal/387/slides/NP-Hard.ppt） しかし、私は証拠を見つけることができませんでした（またはそれを導き出すことができませんでした）。私がこの質問をする理由は、問題の特定のインスタンスを解決するアルゴリズムがあると思うからです。つまり、Nは2または3の倍数ではありません（Nはクイーンの数です）関連問題-入力サイズをN（Nはクイーン数）ですか？または、数値「N」はlog（N）ビットで表すことができるため、入力サイズをlog（N）とするのでしょうか。
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「内部」言語の実装
"Curry-Howard-Lambek"対応の最も実用的な結果の1つは、十分に構造化されたカテゴリで構築を実行するために、多くのラムダ-カルクリ/ロジックの構文を使用できることです。 たとえば、Synthetic Differential Geometryのtopoiには、滑らかな多様体のカテゴリを含み、埋め込んだモデルがあるため、高次論理を使用して滑らかな関数を構築し、微分方程式を解くことができます。 別の例として、このホワイトペーパーでは、「ステップインデックス」が実際にはプリナチュラル（別のトポス）に対してプリシーブを処理しているだけなので、高次ロジックの構文を使用して、面倒なステップインデックス付き論理関係を定義できます。ステップの操作。 最後に、Andrej BauerがこのMOの質問で、グラフのトポスの「内部言語」で多くのことができることを示しています。 私の質問は、誰もがこのビジョンを定理の証明者の中で文字通り実現しましたか？たとえば、気になるカテゴリがデカルト閉であることがわかった場合は、「内部モード」に移動して、ラムダ計算構文（モデル固有の公理を使用）を記述してから、「外部モード」に戻ることができます。モデルのオブジェクトとして操作しますか？ 極端な場合は、topos理論と高次の論理を使用することさえしたいので、ステップなしでステップインデックス付きの論理関係を記述したり、SDGを使用して定理証明で古典力学を教えることができます。誰かが拡張依存型理論を一度実装して素晴らしいツールを提供し、それを上記のように非常に異なるアプリケーションで使用することができるので、これは私にとって非常に強力なアイデアのようです。
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最短経路問題の「親族」
非負のエッジの重みと2つの区別された頂点s,ts,ts,t持つ接続された無向グラフを考えます。以下は、次のすべての形式のパスの問題です。パスのエッジの重みの関数が最小になるようなs−ts−ts-tパスを見つけます。この意味で、これらはすべて最短経路問題の「親戚​​」です。後者では、関数は単に合計です。 注：頂点が繰り返されない単純なパスを探しています。文献ではこれらの問題の標準的な名前が見つからなかったので、自分で名前を付けました。 最小の重みギャップを持つパス：s−ts−ts-tパスを見つけます。パスの最大と最小のエッジの重みの差が最小になるようにします。 最もスムーズなパス：パスの最大ステップサイズが最小になるようなs−ts−ts-tパスを見つけます。ステップサイズは、2つの連続するエッジ間の重みの差の絶対値です。 最小高度のパス：パスに沿ったステップサイズの合計によってパスの高度を定義します（上記のステップサイズの定義を参照）。高度が最小s−ts−ts-tパスを見つけます。 最小の素数の重みを持つパス：すべてのエッジの重みが正の整数であると仮定して、その重みが素数になるようなs−ts−ts-tパスを見つけます。そのようなパスがある場合は、プライムウェイトが可能な限り小さいものを見つけます。 質問：これらのパスの問題について何がわかっていますか？（そして、重みの異なる関数を適用して、同様の精神で考えられる他のもの。）一般に、エッジ重みのどの関数が多項式時間で最小化でき、どれがNP困難であるかについてのガイダンスはありますか？ 注：たとえば、重みの合計を最小化するのは簡単ですが（これは古典的な最短パスの問題です）、パス上の重みの密接に関連する平均を最小化することはNP困難であることが興味深いです。（重み2をsssとttt付随するすべてのエッジに割り当て、重み1を他のすべてに割り当てます。次に、最小平均重みパスが最長s−ts−ts-tパスになります）。
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アランチューリングの学生ロビンガンディーは、チャールズバベッジがユニバーサルコンピューティングマシンの概念を持っていなかったと主張しましたか？
ロビン・ガンディーはアラン・チューリングの学生でした。 GANDYは分析しなかったバベッジの 解析エンジン（「GANDY - 1936年のアイデアのConfluenceは」見る「 - Herken、ロルフに引用されたユニバーサルチューリングマシン-A半世紀調査シュプリンガーフェアラーク。」） - （とそれがなかったと述べ参照52〜53ページ）： 算術関数+、−、×、ここで−は、y≥xの場合、「適切な」減算x − y = 0を示します。 操作のシーケンスは操作です。 操作の反復（操作Pのn回の繰り返し）。 条件付き反復（テストTの「成功」を条件として、操作Pをn回繰り返す）。 条件付き転送（つまり、条件付き「goto」）。 それから彼は述べます （1）、（2）、（4）で計算できる関数は、チューリング計算可能な関数です。 （p。53）。 次に彼は述べています： …強調されているのは、算術演算の固定反復可能シーケンスのプログラミングです。計算機の一般理論における条件付き反復と条件付き転送の基本的な重要性は認識されていません… ガンディp。55 私はここでガンディの主張の範囲を評価しています。（それが正しいか間違っているかどうか）。彼は、バベッジがチューリング完全性の概念に出くわしたように思われるが（（1）、（2）および（4）を使用して任意のプログラムを表現できる-彼は計算可能な関数の概念を持っていなかったと述べているようです。ガンディは、バベッジの仕事はヒルベルトとゴデルの仕事より前だったので、ユニバーサルコンピューティングマシンの定義を縛る数学的なツールを持っていなかったと言っていました。） 私の質問は次のとおりです。アランチューリングの学生ロビンガンディーは、チャールズバベッジがユニバーサルコンピューティングマシンの概念を持っていなかったと主張しましたか？
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同様のグラフクエリに対する効率的なグラフ同型
グラフG1、G2、およびG3を前提として、G1とG2、およびG1とG3の間の同型検定Fを実行します。G2とG3が非常に類似していて、G3が1つのノードを削除して1つのノードをG2から挿入することによって形成され、F（G1、G2）の結果がある場合、最初から計算せずにF（G1、G3）を計算できます。既存の最先端の方法を拡張することによって？ たとえば、G2がノード2、3、4、5で形成され、G3がノード3、4、5、6で形成される場合、F（G1、G2）の結果を使用してF（G1、 G3）より効率的ですか？
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赤青完全一致の存在を判断するのはどれほど難しいですか？
2色の完全一致の問題は、グラフに2色のカラーリングがあり、各ノードが同じ色の隣接ノードを1つだけ持つかどうかを決定することです。問題はシェーファーによってNP完全であることが証明されました。平面3次グラフでもNP完全のままです。 入力グラフに2つの色のカラーリングがあるかどうかを決定するバリアントに興味があります。この場合、各ノードには、隣接するノードの色がそれ自体とは異なるように設定されます。私はこの赤青完全一致問題と呼んでいます。これが既知の問題かどうかはわかりません。 赤青完全一致の存在を判断するのはどれほど難しいですか？
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Pおよび記述的複雑さ
複雑性動物園では、記述的複雑性において、Pは3つの異なる種類の式F O （L F P ）によって定義できると述べています[ 1 ]。これはF O （n O （1 ））でもあり、S O （H O R N ）。PPPFO(LFP)FO(LFP)FO(LFP)FO(nO(1))FO(nO(1))FO(n^{O(1)})SO(HORN)SO(HORN)SO(HORN) ただし、いくつかの例外があります。たとえば、EvennessEvennessEvennessはFPでは表現できません（FPはLFPと同じ表現力を持っています）。ConnectivityConnectivityConnectivityと 2−colourability2−colourability2-colourabilityは、1次論理では定義できません。一部の問題は、E v e nなどの有限数の変数では公理化することもできません。EvennessEvennessEvenness、Perfect MatchingPerfect MatchingPerfect~Matching、HamiltonicityHamiltonicityHamiltonicity。 イマーマンは、固定小数点ロジック+カウント（FPC）がPをキャプチャするための可能なロジックである可能性があることを提案しました。 ただし、Cim Furer、Immermanは、FPCで表現できない多項式時間グラフプロパティがあることを示しました[ 2 ]。2つの要素のフィールドで線形方程式を解く問題は、counting [ 3 ] を使用した無限ロジックでは定義できません。詳細については、[ 4 ]を参照してください。 では、一般的にどのような論理構造でPをキャプチャできますか？正の答えは、順序付けられた有限構造のクラスは、Immerman [ 5 ]およびVardi [ 6 ] によってPで決定可能である場合に限り、最小固定小数点論理で定義可能であるということです。順不同の場合はどうですか？複雑な動物園で声明の反例をもっと見せることができますか？
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厳密な陽性の背後にある直感？
帰納的なデータ型の厳密な陽性が強力な正規化を保証する理由の背後にある直感を誰かが私に与えることができるかどうか疑問に思っています。 明確にするために、私は否定的な出来事を持つことが発散にどのようにつながるか、すなわち次のように定義することによってわかります： data X where Intro : (X->X) -> X 発散関数を書くことができます。 しかし、私は疑問に思っています。厳密にポジティブな帰納型が発散を許容しないことをどのように証明できるでしょうか？つまり、（論理関係などを使用して）強い正規化の証明を構築できる帰納法はありますか？そして、そのような証拠は否定的な出来事のためにどこで壊れますか？帰納型の言語の強力な正規化を示す優れたリファレンスはありますか？
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線形回路複雑度クラス
クラスNCiNCi\textrm{NC}^iは、有界ファンイン、nO(1)nO(1)n^{O(1)}サイズ、O(logi(n))O(logi⁡(n))O(\log^i(n))深さの回路ファミリによって計算可能なクラス関数です。NCNC\textrm{NC} -hierarchyは、これらのクラスの和集合です。 この階層の線形サイズのバリアントに関する研究はありますか？それは、制限されたファンイン、ポリログ深度、線形サイズの回路ファミリですか？ 私は彼らが線形AC0AC0\textrm{AC}^0いくつかの仕事をしているが他には何もないことを知っています。少なくとも線形のNC1NC1\textrm{NC}^1は通常の言語（したがって一部のNC1NC1\textrm{NC}^1完全な言語）が含まれているため、重要ではないことに注意してください。
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アルゴリズム情報理論はまだ進化していますか？
私は現在、論文の主題を探していて、アルゴリズム情報理論の分野に出会いました。フィールドは私にとって非常に興味深いようですが、すべてが何年も前に行われていたフィールドのようです。 だから私の質問は、フィールドは「生きている」のですか、それともかなり閉じているのですか？未解決の質問はありますか？ ありがとう
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このゲームの複雑さは何ですか？
これは私の前の質問の一般化です。 してみましょう一部のOracleへの質問をすることができます多項式時間決定論マシンである。最初はは空ですが、これは以下で説明するゲームの後で変更できます。ましょういくつかの文字列です。MMMAAAAAAxxx 次のアリスとボブのゲームを考えてみましょう。最初、アリスとボブはそれぞれとドルを持っています。アリスはを望み、ボブは望んでい。mAmAm_AmBmBm_BMA(x)=1MA(x)=1M^A(x)=1MA(x)=0MA(x)=0M^A(x)=0 ゲームのすべてのステップで、プレーヤーは文字列を追加できます。これはドルかかります。ここで、は多項式時間の計算可能な関数です。また、プレイヤーは自分のステップを逃す可能性があります。yyyAAAf(y)f(y)f(y)f:{0,1}∗→Nf:{0,1}∗→Nf: \{0,1\}^* \to \mathbb{N} プレーが終了するのは、両方のプレーヤーがすべてのお金を費やした場合、または一部のプレーヤーが負けのポジション（現在の値で定義される）にあるときにステップを逃した場合です。MA(x)MA(x)M^A(x) 質問：与えられたため、この試合の勝者を定義する問題であり ありますM,f,x,mA,mBM,f,x,mA,mBM, f, x, m_A, m_B EXPSPACE-完全なタスク？ は（に属して）多項式の長さの文字列のみを要求できるため、AliceまたはBobがさらに長い文字列を追加しても意味がないことに注意してください。したがって、この問題はEXPSPACEにあります。 MMMAAAAAA 前の質問では、すべての文字列を追加すると1ドルかかります（つまり、）。次に、Lance Fortnowが示したように、このゲームはEXPHに属し、場合はPSPACEにます。 AAAf≡1f≡1f \equiv 1mA=mBmA=mBm_A = m_B
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量子アルゴリズムの高速古典シミュレーション
問題の量子アルゴリズムの古典的なシミュレーションが、この問題の以前に知られている古典的なアルゴリズムよりも優れている例はありますか？「パフォーマンスが優れている」とは、異なる複雑さのクラスを意味する必要はなく、単により優れたスケーリングである可能性があります。 この質問は、量子推奨アルゴリズムの効率的な古典的シミュレーションの事例に触発されました。
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依存型チェックが決定可能であることを示すための証明手法
私が取り組んでいる依存的に型付けされた計算の型検査が決定可能であることを示す必要がある状況にいます。これまでのところ、私はシステムが強く正規化していることを証明できたので、その定義上の同等性は決定可能です。 私が読んだ多くの参考文献では、タイプチェックの決定可能性は強力な正規化の結果としてリストされており、それらの場合にはそれを信じていますが、実際にこれをどのように表示するのかと思います。 特に、私は次のことに行き詰まっています。 適切に型付けされた項が強く正規化されているからといって、適切に型付けされていない入力でアルゴリズムが永久にループしないわけではありません 論理関係は通常、強力な正規化を示すために使用されるので、型チェックの用語を進めるにつれ、測定値を減少させる便利な方法はありません。したがって、私のタイプルールが構文指向である場合でも、ルールの適用が最終的に終了する保証はありません。 私は疑問に思っています、依存型付けされた言語のタイプチェックの決定可能性の証明への良い参照は誰にもありますか？小さなコアの計算であれば、それで十分です。決定可能性を示すための証明技法について説明するものはすべてすばらしいでしょう。
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