Pおよび記述的複雑さ

複雑性動物園では、記述的複雑性において、は3つの異なる種類の式によって定義できると述べています[ 1 ]。これはでもあり、。 $P$ $FO(LFP)$ $FO(n^{O(1)})$ $SO(HORN)$

ただし、いくつかの例外があります。たとえば、 $Evenness$ はFPでは表現できません（FPはLFPと同じ表現力を持っています）。 $Connectivity$ と $2-colourability$ は、1次論理では定義できません。一部の問題は、などの有限数の変数では公理化することもできません。 $Evenness$ 、 $Perfect~Matching$ 、 $Hamiltonicity$ 。

イマーマンは、固定小数点ロジック+カウント（FPC）がPをキャプチャするための可能なロジックである可能性があることを提案しました。

ただし、Cim Furer、Immermanは、FPCで表現できない多項式時間グラフプロパティがあることを示しました[ 2 ]。2つの要素のフィールドで線形方程式を解く問題は、counting [ 3 ] を使用した無限ロジックでは定義できません。詳細については、[ 4 ]を参照してください。

では、一般的にどのような論理構造でPをキャプチャできますか？正の答えは、順序付けられた有限構造のクラスは、Immerman [ 5 ]およびVardi [ 6 ] によってPで決定可能である場合に限り、最小固定小数点論理で定義可能であるということです。順不同の場合はどうですか？複雑な動物園で声明の反例をもっと見せることができますか？

lo.logic polynomial-time descriptive-complexity

— 徐英平
ソース

これは、この特定の質問の結果の概要を示すチュートリアルです。cl.cam.ac.uk

— Denis

@Denisありがとう、Denis！このチュートリアルには、Pのより多くの論理構造が含まれています。従来、問題について話すとき、多項式の時間で解ける場合、それは「簡単」だと思います。ただし、Pの論理構造は非常に複雑に見え、未知のケースや未解決の問題がまだたくさんあります。

— Rupei Xu

はい、一連の「簡単な」問題（つまりP）はあまり構造化されておらず、「簡単な問題は基本的な問題A、B、 C、方法X、Yで組み合わせます。別の種類の簡単な問題は常に存在し、新しいアイデアを取り入れた巧妙な多項式アルゴリズムが必要です。

— デニス

マーティン・グローエは最近この質問についてかなりの進歩を遂げました。彼は固定面内の埋め込みグラフのクラスに多項式時間をキャプチャするロジックを与える：https://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2371656.2371662 編集：一般的なケースでは、未解決のようです（私は決してしていますこれに関する専門家）。

— ヘルマン・グルーバー
ソース

はい。アルゴリズムによるメタ定理の結果（有名なクールセルの定理など）には、簡単なケースをとらえることができるものがたくさんあります。次のリンクは良い調査論文です。people.cs.umass.edu/~immerman/pub/… ただし、これらの結果には、ツリー、境界付きツリー幅、平面グラフ、マイナークローズドグラフなど、問題が実行されるグラフ構造に対する制限もあります。完全なロジック構造は、これまでの順序なしで一般的なグラフでPをキャプチャできません。

— Rupei Xu

その場合、ロジックは非常に大きなグラフのクラスですべてのPを使い尽くすため、つまり反例がないため、Groheの作業は非常に特殊であると思います。私がそれを正しく理解した場合、徹底的であることは難しい部分です。おっしゃるMSOの結果には、この機能がないようです。しかし、この点に関する私の専門知識は非常に限られているので、私はここで間違っているかもしれません。

— Hermann Gruber