DOES

表す で最小のうち度G、及びによってδ - （G ）中度最小限。$\delta^+(G)$$G$$\delta^-(G)$

関連する質問、私はのGhouila・フーリー延長言及したハミルトン閉路上のディラックの定理示唆、その場合は次にGはハミルトニアンです。$\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2}$

Saeedは彼のコメントの中で、グラフが強く関連している必要があることを除いて、より強く見える別の拡張についてコメントしました。

強力な接続性は、最初に公開されてから約30年後にグイラ・ホーリの定理に冗長であることが証明されました。

だから問題は：

1. 誰が（缶誰でも参照を見つける。）証明している意味Gがあることを考えると、ハミルトニアンであるGが強く接続されていますか？$\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$$G$$G$

2. 強力な接続性冗長は、ここにもあるすなわちんの強力な接続性を暗示しますか？$\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$

（ハミルトニアンになるためにグラフは明らかに強く接続されている必要がありますが、この条件が次数条件によって暗示されるかどうかを尋ねていることに注意してください）。

私が提案したバリエーションは、実際にはウッドルの定理のわずかに異なるバリエーションでした。おそらく、私はそれをBang-JensenとGutinの本で見ました。私がコメントを書いたとき、私は本の正しさをチェックしませんでした。だから私がグラフを書いたことを確実にするために、強いつながりがあるべきです。ところで、Woodalの定理の特別なケースとして解釈できるので、このステートメントは成立します。さらに、強い接続性要件は必要ありません。

これはBang-Jensenと Gutinの本の定理6.4.6 です。

ましょう順序の有向グラフであるN ≥ 2。場合δ +（X ）+ δ - （yは）≥ n個の頂点のすべての対についてのxとyのからのアークが存在しないように、Xに対するYは、次いでDがハミルトニアンです。$D$$n\ge 2$$\delta^+(x)+\delta^-(y) \ge n$$x$$y$$x$$y$$D$

つまり、質問の2番目の部分の答えも「はい」です。

$n$$n$$k<n$$a,b,c$$e,d$$k_2$$e$$d$$d$$b$$b$$e$$e$$c$$e,d$$d$$b$$2$$4=5-1 = n-1$$n$

P.S1：前述の定理が単純なダイグラフにも当てはまることを確認してください。つまり、ループや平行エッジのないダイグラフ。

P.S2：現在、良いTexツールがありません。だからイメージが良くない。

2番目の質問への答えは肯定です。

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \ge n$$G$

$G$$\delta^+(G)+\delta^-(G) < n$$G$$S$$S$$T$$T$$S$$S$$\delta^+(G) \le \delta^+(S) \le |S|-1$$\delta^-(G) \le |T|-1$

これは@Mobiusの回答を拡張したもので、より強力な主張を示しています。

$\delta^+ + \delta^- \geq n-1$$\forall u,v\in V, d(u,v)\leq 2$

証明：

$(u,v)\in E$

$A=\{x\in V: (u,x)\in E\}, B=\{y\in V: (y,v)\in E\}$

$(u,v)\not \in E$$A \cup B \subseteq V\setminus \{u,v\}$$|A\cup B|\leq n-2$

$|A\cap B| \geq 1$$\exists w\in V:(u,w),(w,v)\in E$$d(u,v)=2$

$\blacksquare$