厳密な陽性の背後にある直感？

帰納的なデータ型の厳密な陽性が強力な正規化を保証する理由の背後にある直感を誰かが私に与えることができるかどうか疑問に思っています。

明確にするために、私は否定的な出来事を持つことが発散にどのようにつながるか、すなわち次のように定義することによってわかります：

data X where Intro : (X->X) -> X

発散関数を書くことができます。

しかし、私は疑問に思っています。厳密にポジティブな帰納型が発散を許容しないことをどのように証明できるでしょうか？つまり、（論理関係などを使用して）強い正規化の証明を構築できる帰納法はありますか？そして、そのような証拠は否定的な出来事のためにどこで壊れますか？帰納型の言語の強力な正規化を示す優れたリファレンスはありますか？

— jmite
ソース

概念的には、ポジティブ型はW型に変換できるという考え方です。また、厳密でない正の型はCoqvilhelms.github.io/posts/…と一致しません。ポジティブタイプはAgdaと一致しているとコメントされていますが、概念的な説明も参照したいのですが...

— molikto

@moliktoありがとう、それは役に立ちます。しかし、私はW型が内包理論において望ましい帰納原理を与えていないと思いましたか？どうすれば、内包理論で厳密に正の帰納法の強力な正規化を証明できますか？

— jmite

回答:

正のデータ型を持つ型システムの正規化引数の概要が必要なようです。Nax Mendlerの博士論文をお勧めします：http : //www.nuprl.org/documents/Mendler/InductiveDefinition.html。

日付が示唆するように、これはかなり古典的な作品です。基本的な直感は、序数のは、データ型など、正の帰納型の任意の要素に関連付けることができるということです。 $\lambda$

Inductive Ord = Zero : Ord | Suc : Ord -> Ord | Lim : (Nat -> Ord) -> Ord

私たちは得るでしょう：

λ （ t ） = 0

$\lambda(t) = 0$ 場合、コンストラクタではない通常の形である及び

t

$t$

λ （ Z e r o ） = 0

$\lambda(\mathrm{Zero}) = 0$

λ （ S あなた c （ o ） ） = λ （ o ） + 1

$\lambda(\mathrm{Suc}(o)) = \lambda(o)+1$

λ （ L 私 メートル （ f ） ） = sup_{ん} λ （ f ん ）

$\lambda(\mathrm{Lim}(f)) = \sup_n \lambda(f\ n)$

ここで、は正規形の項の範囲です。注意点は、この解釈は、も正規形である3番目のケースでのみ定義されることであり、定義に注意が必要です。 $n$ $f\ n$

次に、この序数の帰納法によって再帰関数を定義できます。

これらのデータ型は、Dybjerによる優れた帰納的家族の論文（http://www.cse.chalmers.se/~peterd/papers/Inductive_Families.pdf）に示されているように、すでに古典的な集合論で定義されている可能性があることに注意してください。ただし、関数空間は非常に大きいため、などの型は解釈に非常に大きな序数をOrd必要とします。

— コーディ
ソース

ありがとう、これはとても役に立ちます！そのような序数が型理論自体で定義できるかどうか知っていますか？つまり、Agdaを帰納再帰で使用して、帰納論で型理論をモデル化しようとした場合（ただし、帰納再帰ではありません）、Ord十分な根拠を示すために必要な序数をモデル化するようなものを使用できますか？

— jmite

@jmite、できますが、建設的な理論の序数は少し奇妙であり、根拠のある次数またはツリー（moliktoが示唆するように、la Wタイプ）で作業することもできます。しかし、オブジェクト言語のすべての帰納法の十分な根拠を捉えた単一の統一された型を持つのは難しいかもしれません...

— cody

@cody厳密に正の型を指定するOrdの例ではありませんか？

— Henning Basold

@HenningBasoldはい、そうです（それが私がイラストとして使用した理由です！）。しかし、それは（古典的な）集合論の序数とまったく同じようには動作せず、確かにすべての序数の集合とは異なります。特に、これらの順序を定義するのは少し難しいです。

— cody

@HenningBasoldまた、jmiteの質問は厳密にポジティブな型についてのみであることに注意する必要がありますが、より一般的な設定に関する情報も興味深いです！

— cody

厳密にポジティブなタイプを超えるためのもう1つの良い情報源は、ラルフマッテスの博士論文です。http：//d-nb.info/956895891

彼は第3章で（厳密に）正の型によるシステムFの拡張について説明し、第9章で多くの強力な正規化の結果を証明しています。第3章ではいくつかの興味深いアイデアについて説明しています。

を提供できる限り、自由変数を使用して任意のタイプ最小固定点を追加できます。このアイデアは、コーディが言及したメンドラーの作品にすでに存在しています。これらの証人は、構文的に単調であるため、任意のポジティブタイプに対して正規に存在します。 $\rho$ $\alpha$ $\forall \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho \to \rho[\beta/\alpha]$
厳密にポジティブタイプからポジティブタイプに移行すると、帰納的タイプはもはやツリーとは見なされなくなります（Wタイプエンコーディング）。代わりに、これらは何らかの形の非予測性を導入します。これは、正の帰納型の構築が型自体に対してすでに定量化されているためです。これはやや穏やかな形の予測不可能性であることに注意してください。そのようなタイプのセマンティクスは、依然として単調関数の順序反復の観点から説明できるためです。
Matthesは、ポジティブ帰納型の例もいくつか提供しています。特に興味深いのは
- 継続のタイプ、では起こらない。 $\mu.\, 1 + ((\alpha \to \rho) \to \rho)$ $\alpha$ $\rho$
- タイプこれは、任意のタイプのを正のタイプに変換することで機能します。これはSystem Fの非信頼性を非常に多用していることに注意してください。 $\mu \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho[\beta/\alpha]$ $\rho$

Matthesはまた、たとえば、このペーパーのhttps://www.irit.fr/~Ralph.Matthes/papers/MatthesStabilization.pdfのように、ポジティブ帰納型を使用して二重否定を分析します。彼はパリゴットのの拡張機能を紹介し、強力な正規化を証明しています。 $\lambda\mu$

これがあなたの質問に役立つことを願っています。

— ヘニング・バソルド
ソース