このゲームの複雑さは何ですか？

これは私の前の質問の一般化です。

してみましょう一部のOracleへの質問をすることができます多項式時間決定論マシンである。最初はは空ですが、これは以下で説明するゲームの後で変更できます。ましょういくつかの文字列です。$M$$A$$A$$x$

次のアリスとボブのゲームを考えてみましょう。最初、アリスとボブはそれぞれとドルを持っています。アリスはを望み、ボブは望んでい。$m_A$$m_B$$M^A(x)=1$$M^A(x)=0$

ゲームのすべてのステップで、プレーヤーは文字列を追加できます。これはドルかかります。ここで、は多項式時間の計算可能な関数です。また、プレイヤーは自分のステップを逃す可能性があります。$y$$A$$f(y)$$f: \{0,1\}^* \to \mathbb{N}$

プレーが終了するのは、両方のプレーヤーがすべてのお金を費やした場合、または一部のプレーヤーが負けのポジション（現在の値で定義される）にあるときにステップを逃した場合です。$M^A(x)$

質問：与えられたため、この試合の勝者を定義する問題であり あります$M, f, x, m_A, m_B$

EXPSPACE-完全なタスク？

は（に属して）多項式の長さの文字列のみを要求できるため、AliceまたはBobがさらに長い文字列を追加しても意味がないことに注意してください。したがって、この問題はEXPSPACEにあります。 $M$$A$$A$

前の質問では、すべての文字列を追加すると1ドルかかります（つまり、）。次に、Lance Fortnowが示したように、このゲームはEXPHに属し、場合はPSPACEにます。 $A$$f \equiv 1$$m_A = m_B$

これはEXPSPACEで完了する必要があります。EXPSPACEで完全な問題をこの問題に減らすことなく、指数関数的な数の交替を実現する方法をスケッチしますが、ここからは簡単に終了できます。

がで丸められた後のオラクル内の単語を表すため、最初はです。照会した単語をます。主な観察は、で負けている人は誰でも、から何かを追加すると想定できるということです。これは、このゲームではすべての移動にお金がかかるため、移動をできるだけ少なくしたいためです。私たちが勝つまで、行動する意味はありません。しかし、これは、負けている場合、外部から何かを追加しても意味がないことも意味します。$t$$A_t$$A_0=\emptyset$$M^{A_t}$$Q_t$$A_t$$Q_t$$A$$Q_t$

単純化のために、が正確にステップで実行され、ステップおよびで正確にの長さのワードをクエリすると仮定します。コスト関数は、長さ単語ではになります。ゲームは、アリスが常に奇数長の単語を追加する必要があり、ボブが常に偶数長の単語をに追加する必要があるようなゲームになります。仮定し奇数と最初はアリスが失われています。$M$$2n$$2i$$2i+1$$i$$f$$2^{-i}$$i$$A$$n$

予算とは、に追加するためにによって照会された長さワードの1つを選択できるように設定されます。これは彼女が勝者になるようなゲームになるので、ボブは移動する必要があります。再び予算の制約のため、彼はによってクエリされた長さワードの1つを正確に選択してに追加する必要があります。これらのいずれかが追加された後、は2つの新しい長さワード（ボブが追加しワードに関係なく、同じもの）をクエリし、ボブが勝ちます。アリスは、これらの新しい長さ 1つだけを追加するように強制されます$m_A$$m_B$$n$$M^{A_0}$$A$$n-1$$M^{A_1}$$A$$M^{A_2}$$n$$A$$n$彼女に勝つためにに言葉。$A$

ゲームはこの方法で進行します。これは、深さ完全なバイナリツリーの分岐をたどると想像できますが、各分岐ノードでは、プレーヤーの1つ（ノードの深さのパリティによって決定）がに追加する単語に関する選択。彼らが木を通過した後、彼らは予算を使い果たすでしょう。ゲームのいずれかの段階で、そのうちの1人が短い単語を追加することを決定した場合（たとえば、アリスはから長さ単語）$n$$A$$k<n$$Q_0$最初のステップで）、他のプレーヤー（この例ではボブ）が常にバイナリツリーでできる限り長い単語を再生する場合、最後にいくらかお金が残っているので、これを使用できるようにゲームを作ります勝つために。（アリスにはいくらかお金が残っているかもしれませんが、ボブにはもっとたくさんあるので、そのうちの1人がもっとお金を持っていれば、そのプレイヤーが勝てるようにエンドゲームを設計することに注意してください。）

このようにして、アリスは奇数長の単語の指数関数的に多くのペアを決定し、ボブは各ペアの1つがに行く指数関数的に多くの偶数長の単語について決定し、交互にこれらの選択を行います。$A$