理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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「最大限」テストするのが難しい分布特性はありますか？
分布特性P（[N]上のすべての分布のちょうどいくつかのサブセットである）のためのアルゴリズムを試験分布は、いくつかの分布Dに従ってサンプルへのアクセスを許可され、そして場合（WHP）を決定するために必要とされるD∈PD∈PD\in Pまたはd(D,P)>ϵd(D,P)>ϵd(D,P)>\epsilon（dddここでは、通常、ℓ1ℓ1\ell_1距離）。複雑さの最も一般的な尺度は、アルゴリズムで使用されるサンプルの数です。 現在、オブジェクトへのクエリアクセスがある標準のプロパティテストでは、クエリの複雑さの線形下限は、可能な限り最も強い下限です。これは、nnnクエリがオブジェクト全体を明らかにするためです。これは配布テストにも当てはまりますか？ 私の知る限り、分布の特性をテストするための「自明な」上限はO(n2logn)O(n2log⁡n)O(n^2\log n) --- Chernoff境界により、これはDに近い分布D 'を「書き留める」のに十分ですℓ1ℓ1\ell_1の距離、およびそこに近いPであるD」に任意の分布である（これは無限の時間がかかる場合がありますが、これはサンプルの複雑さとは無関係である）場合、我々は単に確認することができます。 すべての分布プロパティに対してより良い「簡単な」テストはありますか？ サンプルの下限が線形よりも強いことがわかっている分布特性はありますか？
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グループアクションの観点からのガウス消去
ガウス消去法により、行列多項式時間の行列式が計算可能になります。そうでなければ指数項の合計である行列式の計算の複雑さの低減は、代替の負の記号の存在によるものです（その欠如により、計算が永続的になりますつまりN P - C#P-hard#P-hard \#P\mbox{-}hardNP-CNP-CNP\mbox{-}C問題） 。これは、行列式に何らかの対称性をもたらします。たとえば、行または列のペアを交換すると、符号が逆になります。おそらく、Valiantによって導入されたホログラフィックアルゴリズムに関連して、ガウスの消去法はグループアクションの観点から説明でき、これが複雑さの軽減の一般的な手法につながることをどこかで読みました。 また、計算上の問題に対する複雑さの削減のほぼすべての原因は、何らかの対称性が存在していると感じています。本当ですか？グループ理論の観点からこれを厳密に形式化できますか？ 編集 参照を見つけました。（pg 2、2番目の段落の最終行）。論文を正しく理解していませんでした。質問が論文の誤った理解に基づいている場合は、修正してください。
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一方向量子検証
クラスター状態計算の理論は今では十分に確立されており、BQP回路を変更して、「クラスター状態」として知られる状態の十分な供給があれば、古典的に制御された単一キュービット量子ゲートのみを使用できることを示しています。安定状態を生成するのは簡単です。 私の質問は次のとおりです。量子検証で同様の概念が知られていますか。つまり、QMA回路を従来の1量子ビットゲートに置き換え、おそらく「特殊な状態」を使用できますか。少なくとも最初は、この場合にクラスターの状態が機能する理由については不明です。
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アランチューリングドキュメンタリー
アランチューリングの100歳の誕生日を祝うために、彼の人生についてのドキュメンタリーを見たいです。ただし、選択できるドキュメンタリーはいくつかあります。 アラン・チューリングに関するドキュメンタリーはどれがお気に入りですか？ 回答ごとに1つのドキュメンタリーのみを含めてください。
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GF（2）上の低次のランダム多項式のバイアスは何ですか？
ppp≤d≤d\le dbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|>ϵbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|>ϵbias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon *次数およびn変数でランダム多項式を書くとき、確率1/2で選択された合計次数の各単項式を考えることができます。≤ D≤d≤d\le d≤d≤d\le d 私が知っている唯一の関連するものは、多項式が非定数である場合、そのバイアスは最大でと述べるSchwartz-Zippelのバリアントです。したがって、ため probaiblityである正確に1 / {2 ^ {{N \ 1を選択} + \ ldots + {N \ Dを選択}}}ここで、これは確率であるP1−21−d1−21−d1-2^{1-d}ϵ=1−21−dϵ=1−21−d\epsilon=1-2^{1-d}1/2(n1)+…+(nd)1/2(n1)+…+(nd)1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}pppは定数。残念ながら、このは非常に大きいです。ϵϵ\epsilon
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下限を取得するためにランダムな制限を使用することは可能
ランダムな制限とスイッチング補題に基づいて、いくつかの有名なA C0AC0\mathsf{AC^0}回路サイズの下限結果があります。 T C0TC0\mathsf{TC^0}回路の下限を証明するために、スイッチング補題の結果を開発できますか（下限証明と同様A C0AC0\mathsf{AC^0}）。 または証明するため、このアプローチ使用する任意の固有の障害物が存在する低境界は？T C0TC0\mathsf{TC^0} Natural Proofsのようなバリアの結果は、下限を証明するためのテクニックのようなスイッチング補題の使用に関して何かを述べていますか？T C0TC0\mathsf{TC^0}
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独自に解けるパズル（USP）の容量
Cohn、Kleinberg、Szegedy、Umansは、独創的な論文である行列乗算のグループ理論アルゴリズムで、一意に解決可能なパズル（以下で定義）とUSP容量の概念を紹介しています。彼らは、銅細工とウィノグラードは、自分の画期的な論文でいると主張等差数列を経由して行列の乗算、「暗黙のうちに」USP容量があることを証明3/22/33/22/33/2^{2/3}。この主張は他のいくつかの場所（ここではcstheoryを含む）で繰り返されていますが、説明はどこにもありません。以下は、CoppersmithとWinogradが証明していること、そしてなぜそれが十分ではないかについての私自身の理解です。 それは、USP能力があることは事実である3/22/33/22/33/2^{2/3}？もしそうなら、証拠の参照はありますか？ ユニークに解けるパズル 長さの一意に解けるパズル（USP）nnn及び幅kkkのサブセットから成る{1,2,3}k{1,2,3}k\{1,2,3\}^kサイズのnnn、我々は、三点の集合として考える、nnn「個」は（場所に対応ベクトルは111、場所は222、場所は333）であり、次の特性を満たします。すべての111個をnnn行に配置するとします。次に、他のピースを各行に1つずつ配置して、「適合する」ようにするユニークな方法が必要です。 ましょN(k)N(k)N(k)幅のUSPの最大の長さkkk。USP容量がある κ=supkN(k)1/k.κ=supkN(k)1/k. \kappa = \sup_k N(k)^{1/k}. USPでは、片のそれぞれが一意である必要がある-ない2行は、シンボル含まないことをその手段c∈{1,2,3}c∈{1,2,3}c \in \{1,2,3\}正確に同じ場所です。これは、（短い引数の後） などκ≤3/22/3N(k)≤∑a+b+c=kmin{(ka),(kb),(kc)}≤(k+22)(kk/3),N(k)≤∑a+b+c=kmin{(ka),(kb),(kc)}≤(k+22)(kk/3), N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3}, κ≤3/22/3κ≤3/22/3\kappa \leq 3/2^{2/3}。 例（長さおよび幅 USP ）： 長さおよび幅例ではなく、および -ピースは2つの異なる方法で配置できます： 4 1111 2131 1213 2233 3 3 2 3 12344444411112131121322331111213112132233\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ …
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平面での三角形の学習
私は私の学生の集まりと矛盾三角形見つける問題割り当てられたの点R 2で標識し、± 1。（A三角形Tは、ある一貫性の場合、標識試料とTが負のポイントの正およびなしの全てを含み、仮定により、試料は、少なくとも1つの一貫した三角形を認めています）。mmmR2R2\mathbb{R}^2±1±1\pm1TTTTTT 彼ら（または私）ができる最善の方法は、時間で実行されるアルゴリズムです。ここで、mはサンプルサイズです。誰もがもっとうまくできますか？O(m6)O（m6）O(m^6)mmm
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shift-reduce解析と区切られた継続の関係？
シフト削減構文解析手法と区切られた継続との間の関係を公式化した人はいますか？ ボトムアップパーサー（たとえば、LRパーサー）を構築するとき、文法を取り、解析状態をアイテムのセットとして表します：形式の拡張された生成。ここで、αとβは終端と非終端のシーケンスです。マーカー∙は、パーサーが文字列に到達した距離を表し、αはこれまでに見たものを表し、βはまだ解析される可能性があるものの予測を表します。A → α ∙ βA→α∙βA \to \alpha \bullet \betaαα\alphaββ\beta∙∙\bulletαα\alphaββ\beta LR解析オートマトンの遷移におけるシフトアクションは、スタックのプレフィックスをに一致させ、それをAに置き換えます。このようなスタックの深い操作は、制御演算子の効果に似ていますが、これは定性的な観察にすぎません。αα\alphaAAA シフトリデュース解析とシフト/リセットなどの区切られた制御演算子との関係を研究した人はいますか？
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サブモジュラリティの強化
すべての、 場合、集合関数は単調サブモジュラーですA 、BのF （A ）+ F （B ）≥ F （A ∪ B ）+ F （A ∩ B ）。fffA 、BA、BA,Bf（A ）+ f（B ）≥ F（A ∪ B ）+ F（A ∩ B ）。f（A）+f（B）≥f（A∪B）+f（A∩B）。 f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B). より強力なプロパティは 撮影、このプロパティは単調劣モジュラことを意味します。C=A∪Bf（A ）+ f（B ）+ f（C）+ f（A ∪ B …
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概念的に単純な線形時間サフィックスツリーの構築
1973年、ワイナーはサフィックスツリーの最初の線形時間構築を行いました。このアルゴリズムは、1976年にMcCreightによって、1995年にUkkonenによって簡素化されました。それにもかかわらず、私はウッコネンのアルゴリズムが概念的に比較的関与していると思います。 1995年以降、ウッコネンのアルゴリズムが単純化されていますか？
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忘却型チューリングマシンエミュレーションの下限
気づかないチューリングマシン上のチューリングマシンのエミュレーションが未満で行うことができないという証拠があるO(mlogm)O(mlog⁡m)\mathcal{O}\left(m\log m\right)mmm、ステップチューリングマシンの使用回数では？または、これは単なる上限ですか？ 相対化された忘却型チューリングマシンに関するPaulVitányiの論文では、Vitányiが主張しています 「彼ら[ Pippenger、フィッシャー、1979 ]チューリングマシン1テープリアルタイムで認識さWICH言語Lがあるので、この結果は、一般的に向上させることができないことを示しMMM、任意の忘却チューリングマシンM′M′M'認識LLL必須の少なくとも1つのオーダーO(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)ステップを使用してください。」 これは、O(mlogm)O(mlog⁡m）O(m \log m)を絶対境界として示す必要があります。しかし、私はこれの証拠を見つけられません ニコラス・ピッペンガー; フィッシャー、マイケルJ.、複雑性測度間の関係、J。Assoc。計算します。マッハ。26、361-381（1979）。ZBL0405.68041。 何か案は？さらに、このエミュレーションのスペースの複雑さは何ですか？私の知る限り、ユニバーサルチューリングマシンへの変換は、テープの長さを2倍にするだけです。スペースの複雑さはO（l ）O（l）\mathcal{O}\left(l\right)、lllは元のチューリングマシンのスペースの複雑さであると仮定できますか？
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アルゴリズムベクトル問題
フィールドGF（2）のベクトルに関連する代数的問題があります。ましょう寸法の（0,1）-vectorsことN、およびM = N O （1 ）。uがv 1、v 2、… 、vの中の任意の（log n ）O （1 ）ベクトルの合計ではないような、同じ次元の（0,1）ベクトルuを見つける多項式時間アルゴリズムを見つけるv1,v2,…,vmv1,v2,…,vmv_1, v_2, \ldots, v_mnnnm=nO(1)m=nO(1)m=n^{O(1)}uuuuuu(logn)O(1)(log⁡n)O(1)(\log n)^{O(1)}。ベクトルの追加は、GF（2）の2つの要素0と1（ 0 + 1 = 0 + 1 = 1、および 0 + 0 = 1 + 1 = 0）を持つ2つの要素を持ちます。v1,v2,…,vmv1,v2,…,vmv_1,v_2, \ldots, v_m0+1=0+1=10+1=0+1=10+1=0+1=10+0=1+1=00+0=1+1=00+0=1+1=0 このようなベクトルuの存在は、単純なカウント引数によって簡単にわかります。多項式時間でを見つけることができますか？指数時間でuを見つけるのは簡単です。最初の正しい解決策に対して200ドルの小切手賞を送付します。uuuuuu
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