サブモジュラリティの強化

すべての、 場合、集合関数は単調サブモジュラーですA 、BのF （A ）+ F （B ）≥ F （A ∪ B ）+ F （A ∩ B ）$f$$A,B$

$$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$$

より強力なプロパティは 撮影、このプロパティは単調劣モジュラことを意味します。C=A∪

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ $C = A\cup B$

このプロパティは既知ですか？

バックグラウンド

このプロパティは、カバレッジ関数を特徴付けようとしているときに出てきました。いくつかの重み付け宇宙所与（すべての重みが非負である）と家族のサブセットの、カバレッジ関数ために定義されるにセットによって覆われた要素の合計重量として、。関数は常に単調で、サブモジュラーです。その逆は真実ではありません。$U$$X$$U$$f(S)$$S \subseteq X$$S$$f$

問題のプロパティは、場合、がカバレッジ関数であることを意味します。同様の、より複雑なプロパティは、より大きなます。これらのプロパティはすべてカバレッジ関数によって満たされるため、これは完全な特性評価です。$f$$|X| = 3$$X$

$k^{th}$

$f(B)-f(A)\ge 0$$A\subseteq B$

$(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

$n$

同様の何かが確率ですでに知られていました。カバレッジ関数は、確率尺度（スケーリング定数まで）と考えることもできます。掘り下げることができた唯一の参考文献は、Fellerの確率に関する本の439ページでした。

$$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ 「集約」条件は、珍しいコレクション「Quantitative Methoden」の一部であるCramma、Hammer、Holtzmanによる論文「超モジュラリティ型不等式による擬似ブール関数の円錐の特性化」で言及されています。 in den Wirtschaftswissenschaften」。この状態は私の状態と同じでなければなりません。

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$$ $C = \varnothing$