タグ付けされた質問 「random-walks」

2次元グリッドのランダムウォークが確率1で原点に戻ることはよく知られています。3次元の同じランダムウォークは、原点に戻る確率が厳密に1未満であることが知られています。 私の質問は： 間に何かありますか？たとえば、私の空間が、z方向に無限に押し出された平面の境界領域であると仮定します。（しばしば2.5次元と呼ばれるもの）。2次元の結果が適用されますか、それとも3次元の結果ですか？ これは議論の中で出てきましたが、2次元的に振る舞うというヒューリスティックな議論の1つは、平面の有限領域が最終的にカバーされるため、ウォークの唯一の重要な部分はz方向に沿った1次元光線であり、起源に起こります。 2次元と3次元のケースを補間する他の形状はありますか？ 更新（コメントから抜粋）：関連する質問がMOで尋ねられました -短い要約は、歩行が偶数（2 + ϵ）次元である場合、不確実なリターンは分岐シリーズから大まかに続きます。ただし、上記の質問はIMOとは若干異なります。特定の利益をもたらす可能性のある他の種類の形状について尋ねているためです。

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チャイルズらによる2003年の重要な論文。「結合木問題」を導入しました。これは、私たちが知っているような他のどのような問題とも異なる指数関数的量子高速化を認める問題です。この問題では、次の図のような指数関数的に大きなグラフが与えられます。これは、深さがnの2つの完全な二分木で構成され、その葉はランダムサイクルで互いに接続されています。ENTRANCE頂点のラベルが提供されます。また、任意の頂点のラベルを入力として与え、その隣接のラベルを伝えるオラクルも提供されます。私たちの目標は、EXIT頂点を見つけることです（これは、ENTRANCE頂点以外のグラフ内の唯一の次数2の頂点として容易に認識できます）。ラベルは長いランダムな文字列であると想定できるため、圧倒的な確率で、ENTRANCE頂点以外の頂点は、oracleによって与えられます。 チャイルズら。クォンタムウォークアルゴリズムは、このグラフを簡単にたどり、poly（n）ステップ後にEXIT頂点を見つけることができることを示しました。対照的に、彼らはまた、任意の古典的なランダム化アルゴリズムが高い確率でEXIT頂点を見つけるためにexp（n）ステップを必要とすることを示しました。彼らは下限をΩ（2 n / 6）と述べたが、彼らの証明を詳しく調べるとΩ（2 n / 2）が得られると思う。直感的には、これは圧倒的な確率で、グラフ上のランダムウォーク（自己回避ウォークなど）が指数関数的な時間にわたって広大な中間領域で立ち往生するためです。 、EXITから離れる方向に向いている非常に多くのエッジは、それを中央に向かって押し戻す「反発力」として機能します。 彼らが議論を形式化した方法は、それが〜2 n / 2の頂点を訪れるまで、ランダム化されたアルゴリズムがグラフ内でサイクルを見つけさえしないことを示すことでした：今まで見られた誘導部分グラフは、 EXIT頂点の位置に関する情報。 この問題のランダム化されたクエリの複雑さをより正確に特定することに興味があります。私の質問はこれです： 誰でも〜2 n未満のステップでEXIT頂点を見つける古典的なアルゴリズムを思いつくことができますか？---たとえば、O（2 n / 2）、またはO（2 2n / 3）で？あるいは、誰かがΩ（2 n / 2）より良い下限を与えることができますか？ （誕生日の逆説では、O（2 n / 2）ステップ後のグラフでサイクルを見つけるのは難しくありません。問題は、EXIT頂点がどこにあるかについての手がかりを得るためにサイクルを使用できるかどうかです。） 誰かがΩ（2 n / 2）を超えて下限を改善できるなら、私の知る限り、これはランダムなクエリの複雑さが√Nより大きい指数量子高速化を伴うブラックボックス問題の最初の証明可能な例を提供します。（N〜2 nは問題のサイズです。） 更新： Andrew Childsから、このノートでは、FennerとZhangが、結合ツリーのランダム化された下限をΩ（2 n / 3）に明示的に改善することを学びました。彼らが（指数関数的に小さな）成功確率ではなく、一定の受け入れ確率を受け入れるなら、Ω（2 n / 2）までさらに限界を改善できると思います。

23 graph-algorithms  quantum-computing  randomized-algorithms  random-walks  decision-trees 

接続グラフの通勤時間は、ノードjにアクセスしてからノードiに再び到達するまでの、iで始まるランダムウォークの予想ステップ数として定義されます。基本的には、2つの打撃時間H （i 、j ）とH （j 、i ）の合計です。G = （V、E）G=(V,E)G=(V,E)私iijjj私iiH（i 、j ）H(i,j)H(i,j)H（j 、i ）H(j,i)H(j,i) 通勤時間に似たもの（まったく同じではない）がノードに関して定義されているものはありますか？言い換えれば、数の期待値何であるの異なるノードはランダムウォークから始まりとで戻って、私が訪問しますか！私ii私ii 更新（2012年9月30日）：ラティス（つまり、）上のランダムウォーカーが訪問した個別のサイトの数に関する多くの関連作業があります。たとえば、http：//jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1？isAuthorized = noを参照してくださいZnZn\mathbb{Z}^n 誰かがこれについて何か読んだことがありますか？

22 graph-theory  co.combinatorics  random-walks  pr.probability 

グラフ上のランダムウォークを考えると、カバー時間は、すべての頂点がウォークによってヒット（カバー）された最初の時間（予想されるステップ数）です。接続された無向グラフの場合、カバー時間はによって上限が定められています。指数関数的なカバータイムを持つ有向グラフがあります。この例は、有向サイクル、頂点からのエッジで構成される有向グラフです。頂点から開始して、ランダムウォークが頂点に到達するまでの予想時間はです。2つの質問があります。O(n3)O(n3)O(n^3)nnn(1,2,...,n,1)(1,2,...,n,1)(1, 2, ..., n, 1)(j,1)(j,1)(j, 1)j=2,...,n−1j=2,...,n−1j = 2, ..., n − 1111nnnΩ(2n)Ω(2n)\Omega(2^n) 1）多項式カバー時間を持つ有向グラフの既知のクラスは何ですか？これらのクラスは、対応する隣接行列（言うの特性により、グラフ理論的性質（OR）によって特徴付けられるかもしれない）。たとえば、Aが対称の場合、グラフのカバー時間は多項式です。AAAAAA 2）カバー時間が指数関数的であるより単純な例（上記のサイクル例のような）はありますか？ 3）準多項式のカバー時間の例はありますか？ このトピックに関する優れた調査/書籍へのポインタをいただければ幸いです。

17 graph-theory  co.combinatorics  markov-chains  random-walks 

固定次数のランダム有向グラフの特性にddd興味があります。私は、各頂点がdの隣人を選択するランダムなグラフモデルを想像しています（たとえば、置換）uar 質問：これらのランダムグラフでのランダムウォークの定常分布と混合時間について（さまざまな値について）何か知られていますか？ ddd ブールアルファベット上のランダムオートマトンのモデルに対応する場合に特に興味があります。（はい、これらのグラフはしばしば接続されていないことを認識していますが、特定のコンポーネントで何が起こるか？）これらのグラフの他のプロパティに関する部分的な結果と結果に満足しています。d=2d=2d = 2 ランダムグラフに関する文献のほとんどは、私が考えているモデルとは性質が非常に異なるエルデス・レニーモデルに焦点を当てているようです。

17 graph-theory  co.combinatorics  automata-theory  random-walks 

論文では、量子ランダム指数関数的に高速化ヒットウォーク（arXivの：定量-PH / 0205083を）ケンペは、量子のための時間を打つの概念を与える量子ウォークの文献で非常に普及していないこと（ハイパーキューブで）歩きます。次のように定義されます。 ワンショット量子ヒット時間：離散時間量子ウォークには、ワンショット -hit time ifところ初期状態では、されるターゲットの状態で、かつ打つ確率です。（| Ψ 0 ⟩ 、| Ψ F ⟩ ）| ⟨ ΨのF | U T | Ψ 0 ⟩ | 2 ≥ P | Ψ 0 ⟩ | Ψ F ⟩ のp > 0（T、p ）（T、p）(T,p)（ | Ψ0⟩ 、|Ψf⟩ ）（|Ψ0⟩、|Ψf⟩）(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)| ⟨ Ψf| うんT| Ψ0⟩ |2≥ P|⟨Ψf|うんT|Ψ0⟩|2≥p|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 …

13 quantum-computing  random-walks  markov-chains  quantum-walk 

クイックバージョン 我々はチューンとして普及に歩くことができるようライン上の量子散歩のためのデコヒーレンスのモデルがありの任意のための1 / 2 ≤ K ≤ 1は？Θ(tk)Θ(tk)\Theta(t^k)1/2≤k≤11/2≤k≤11/2 \leq k \leq 1 動機 古典的なランダムウォークはアルゴリズムの設計に役立ち、量子ランダムウォークは多くのクールな量子アルゴリズムを作成するのに役立つことが証明されています（指数関数的な高速化が可能な場合があります）。したがって、量子ウォークと古典ランダムウォークの違いを理解することが重要です。これを行う最も簡単な方法は、ライン上の散歩などのおもちゃのモデルを考慮することです。 物理学の動機もあります。量子力学が古典力学にどのようにスケールするかを知ることは興味深いです。しかし、これはcstheoryにはあまり関係ありません。 私の個人的な動機は完全に直交しています。いくつかの実験データを、量子から古典にスムーズに移行し、比較的直感的なモデルと一致させようとしています。 バックグラウンド 量子整数ライン上の古典的な散歩を考慮すると、重要な違いは、量子ウォークの（位置分布の）標準偏差のように進むことであるのように、古典的なものΘ （T 1 / 2）Tはあります離散モデルのステップ数、または連続モデルの時間。これは線に限定されないことに注意してください。多くのグラフでは、量子混合時間と古典的混合時間の間に同様の二次関係が見られます。Θ(t)Θ(t)\Theta(t)Θ(t1/2)Θ(t1/2)\Theta({t^{1/2}})ttt 量子ウォークにデコヒーレンスを導入すると（測定またはノイズを介して）、ウォークはより古典的に動作し始めます。実際には、ほとんどの測定のために、私たちは同じように広がることを古典徒歩で終わる右の時間スケールから見た場合。他の形式のデコヒーレンス（コインのディフェージング、またはラインの不完全性の導入など）の場合、通常、歩行が量子的に振る舞う（Θ （t ）として広がる）およびそれを超えると古典的な歩行が始まる（スプレッドΘ （T 1 / 2）Θ(t1/2)Θ(t1/2)\Theta(t^{1/2})Θ(t)Θ(t)\Theta(t)Θ(t1/2)Θ(t1/2)\Theta(t^{1/2})）。実際、このスケーリングは量子ウォークの定義としても提案されています。 質問の長いバージョン デコヒーレンスのそこのモデルは、ライン上のランダムウォークのために、我々はデコヒーレンスの量を変えると、我々は位置の標準偏差を達成することができるようにしていることなどスケールの任意のための1 / 2 ≤ K ≤ 1？あるいは混合時間または打撃にギャップを有する他のグラフのために、デコヒーレンスの形態がある我々は、移行混合/打つ/標準偏差を持つことができるように、F （Tの）いずれかのF ∈ Σ （G （T ））とF ∈ O （HΘ(tk)Θ(tk)\Theta(t^k)1/2≤k≤11/2≤k≤11/2 \leq k \leq 1f(t)f(t)f(t)f∈Σ(g(t))f∈Σ(g(t))f …

12 quantum-computing  random-walks  quantum-walk 

次の問題を考えてください。 んんnv1、⋯ 、vん∈ Rv1、⋯、vん∈Rv_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}S⊆{1,⋯,n}S⊆{1、⋯、ん}S \subseteq \{1,\cdots,n\}maxi∈Svi最高私∈Sv私\max_{i \in S} v_i この問題は簡単です。バイナリ検索を使用して、O （ログn ）O（ログ⁡ん）O(\log n)クエリでargmaxを見つけることができます。つまり、インデックスに対応するんnn葉を持つ完全なバイナリツリーを構築します。次のように、根から始めて葉まで歩きます。各ノードで、右サブツリーと左サブツリーの最大値をクエリしてから、答えが大きい側の子に移動します。葉に到達したら、そのインデックスを出力します。 この問題の次の騒々しいバージョンは私の研究で出てきました。 あり未知の値は。これらは、セットが指定され、からのサンプルが返されるクエリでアクセスできます。目標は、\ mathbb {E} [v_ {i_ *}] \ geq \ max_i v_i-1ができるだけ少ないクエリを使用して、を識別することです。（予想は、アルゴリズムのコインとノイズの多いクエリの回答の両方に依存するi_ *の選択を超えています。）V 1、⋯ 、V N S ⊆ { 1 、⋯ 、N } N（最大I ∈ S V I、1 ）I * ∈ { 1 …

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ましょうG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)上の単純無向グラフであるnnn頂点とmmmエッジ。 Gのランダムスパニングツリーを生成するためのウィルソンアルゴリズムの予想実行時間を決定しようとしています。、それがあることが示されているO （τ ）ここで、τは、ある平均打撃時間：τ = Σ V ∈ V π （V ）⋅ H （U 、V ）、ここで：GGGO(τ)O(τ)O(\tau)ττ\tauτ=∑v∈Vπ(v)⋅H(u,v),τ=∑v∈Vπ(v)⋅H(u,v),\tau = \sum_{v \in V} \pi(v) \cdot H(u, v), ππ\piは定常分布です π(v)=d(v)2mπ(v)=d(v)2m\pi(v)=\frac{d(v)}{2m}、 uuuは任意の頂点であり、 H(u,v)H(u,v)H(u,v)は、ヒット時間（AKAアクセス時間）です。つまり、頂点 uから始まり、頂点アクセスするまでの予想ステップ数です。vvvuuu 平均打撃時間の一般的な上限は何ですか？そして、平均打撃時間を最大化する最悪の場合のグラフは何GGGですか？ 私の質問を明確にするために、私は計算や詳細な証明を必要としません（将来的にこの質問に遭遇する他の人々にとって役立つかもしれませんが）。個人的には、引用で十分です。 この論文では、予想されるカバー時間（すべての頂点を訪れた最初の時間）で機能するBroderの別のアルゴリズムについて言及しています。そして、平均打撃時間は常にカバータイムよりも短いと言われています。しかし、それだけで拘束さ漸近与えΘ （n個）のための最もグラフ（すなわち、エクスパンダグラフでそれを対比する）Θ （nはログN ）（幾分より包括的な定義に最もグラフのブローダーによってほとんどを）。Θ(n)Θ(n)\Theta(n)Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n \log n) これは、平均打撃時間が、カバー時間がΘ （n 3）であるグラフの例を示しています。これは後者の最悪のケースであることが知られているが、彼は前者の最悪のケースについて特に何も述べていません。これは、ウィルソンのアルゴリズムの最悪のケースがO （n 2）とO （n 3）の間のどこかに入る可能性があることを意味します。Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n3)Θ(n3)\Theta(n^3)O(n2)O(n2)O(n^2)O(n3)O(n3)O(n^3) 私が知っているウィルソンのアルゴリズムの2つの公的に利用可能な実装があります。1つはBoost Graph Libraryにあり、もう1つはgraph-toolにあります。前者のドキュメンテーションは実行時間について言及していませんが、後者は述べています： ランダムグラフの一般的な実行時間はです。O （n ログn …

10 graph-theory  graph-algorithms  co.combinatorics  random-walks  analysis-of-algorithms 

ましょう、その程度制限される非正規連結グラフです。各ノードに一意のトークンが含まれているとします。G=(V,E)G=(V,E)G= (V, E) ローカルスワップのみを使用してグラフ間でトークンを均一にシャッフルしたい（つまり、2つの隣接ノード間でトークンを交換したい）。この問題の既知の下限はありますか？ 私が持っていた唯一のアイデアは、ランダムウォークの結果を使用して、グラフ上でトークンを転送するランダムウォークの効果を「シミュレート」するために必要なスワップの量を確認することです。

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次のような定理を探しています。可逆マルコフ連鎖のカバータイムが小さい場合、スペクトルギャップは大きくなります。ここで、スペクトルギャップは意味します。λ 2 | 1 − | λ2|1−|λ2|1-|\lambda_2|つまり、チェーンの最小固有値を無視します。 O （n ログn ）O（んログ⁡ん）O(n \log n)1 − 最大（| λ2| 、 | λん| ）1−最高（|λ2|、|λん|）1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)ん− 1ん−1n^{-1} 直感的には、グラフのすべての頂点をすばやくカバーできれば、混合時間が短くなるはずです。特に、ん2ん2n^2時間でグラフのすべての頂点をカバーできる場合、確かに、たとえばn ^ {-1000}のスペクトルギャップを除外できるはずん− 1000ん−1000n^{-1000}です。 短いカバータイムと大きなスペクトルギャップの間の影響を壊す可能性のある障害の1つは、2部構成性です。2部構成グラフでは、固有値が-1の小さなカバータイムを持つことができます− 1−1-1。私の質問では、最小の固有値を無視することでこの問題を回避しています。

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（元の質問にはまだ回答がありません。さらに説明を追加しました。） ランダムウォークをマルコフチェーンとして表示してランダムウォーク（無向グラフ上）を分析する場合、マルコフチェーンの基本定理が適用されるように、グラフを非二部グラフにする必要があります。 グラフGGGが代わりに2部グラフである場合はどうなりますか？Iは、特に打撃時に興味の間にエッジが存在し、及びJでG。二部グラフGにm個のエッジがあるとします。グラフの任意の頂点に自己ループを追加して、結果のグラフG 'を非二部にすることができます。マルコフ連鎖の基本的な定理を適用Gは、「私たちは、その取得時間I 、J &lt; 2 メートル+ 1でGを"h i 、j ihi,jh_{i,j}iijjGGGGmmG′G'G′G'hi,j&lt;2m+1h_{i,j} < 2m+1G′G'、これは明らかにGのh i 、jの上限でもあります。hi,jh_{i,j}GG 質問：Gでより強い主張h i 、j &lt; 2 mhi,j&lt;2mh_{i,j} < 2mが成り立つというのは本当ですか？（2SATのランダムウォークアルゴリズムの分析でこれが主張されていることがわかりました。）または、セルフループを追加するこの追加の手順を実行する必要がありますか？GG

9 pr.probability  random-walks 

私が取り組んでいるプロジェクトでは、高さが制限されたランダムスパニングツリーを生成する必要があります。 基本的に私は次のことを行います。1）スパニングツリーを生成します。2）実行可能かどうかを確認します。 1）最小スパニングツリー（プリムまたはクラスカル）から開始して、存在しないエッジを追加し、これによりサイクルを作成します。このサイクルを検出し、新しいスパニングツリーを与えるこのサイクルのエッジの1つを削除します。新しいエッジを追加することでこのスパニングツリー... 2）特別な頂点ます。すべての頂点について、からへのパスの長さは未満である必要があります。ここで、は特定のパラメーターです。 V V V C E N T E R δ δvc e n t e rvceんterv_{center}vvvvvvVc e n t erVceんterV_{center}δδ\deltaδδ\delta これを行うより良い（賢い）方法はありますか？ PS私は他の制約を指定するのを忘れていました（私の間違い）：頂点の次数も制限されるべきです。

9 ds.algorithms  graph-algorithms  random-walks 

をランダムな有向グラフとして定義します（頂点個。2つの頂点の間にエッジを確率）。n pG （n 、p ）G（ん、p）G(n, p)んんnppp 次の問題の既知の結果は何ですか。 2つの頂点と修正します。と間に少なくとも（最大での長さの）パスがある確率はどれくらいですか？（明らかに、結果は、および関数であるべきです）。正確な答えがわからない場合は、上限も機能します。u k u v n p kvvvあなたあなたukkkあなたあなたuvvvんんnpppkkk

8 graph-theory  upper-bounds  random-walks  random-graphs 

確率的隣接行列をべき乗することにより、グラフ全体のランダムウォークをシミュレートする簡単な方法がありますが、ランダムウォークが自己回避であると尋ねると、問題はより困難になります。つまり、プロセスは、感染症などのパスを使用してグラフをトラバースする必要があります。 エッジ確率が大きい場合は、単純なモンテカルロアルゴリズムがあります。各試行で、確率1 − p eで各エッジを削除し、新しいグラフの接続されたコンポーネントを計算し、それぞれについて1の行列でカウント行列をインクリメントします。接触したコンポーネント。最後に試行回数で割ります。eee1 − pe1−pe1-p_e 確率が非常に小さいときに、この計算を行うためのアルゴリズムを知っている人はいますか？ グラフの関連性が高すぎない場合は、いくつかの最小カットセットを見つけて、それらに包含/除外カウントを行うことができますが、そのようなアプローチは、カットセットのサイズが倍に指数関数的です。明白な計算を介してすべてのクリークサブグラフを個別に処理するなど、接続性の高い特定のケースにもさまざまな最適化があります。より一般的なアイデアはありますか？

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