有向グラフのカバー時間

グラフ上のランダムウォークを考えると、カバー時間は、すべての頂点がウォークによってヒット（カバー）された最初の時間（予想されるステップ数）です。接続された無向グラフの場合、カバー時間はによって上限が定められています。指数関数的なカバータイムを持つ有向グラフがあります。この例は、有向サイクル、頂点からのエッジで構成される有向グラフです。頂点から開始して、ランダムウォークが頂点に到達するまでの予想時間はです。2つの質問があります。 $O(n^3)$ $n$ $(1, 2, ..., n, 1)$ $(j, 1)$ $j = 2, ..., n − 1$ $1$ $n$ $\Omega(2^n)$

1）多項式カバー時間を持つ有向グラフの既知のクラスは何ですか？これらのクラスは、対応する隣接行列（言うの特性により、グラフ理論的性質（OR）によって特徴付けられるかもしれない）。たとえば、が対称の場合、グラフのカバー時間は多項式です。 $A$ $A$

2）カバー時間が指数関数的であるより単純な例（上記のサイクル例のような）はありますか？

3）準多項式のカバー時間の例はありますか？

このトピックに関する優れた調査/書籍へのポインタをいただければ幸いです。

— シヴァ・キンタリ
ソース

あなたのサイクルの例は、おそらく向けガースを持つグラフにわずかに一般化することができる

指数カバー時間で

。

g

$g$

2^{Ω (n / g)}

$2^{\Omega(n/g)}$

— デリックストリー

また、エキスパンダーグラフは、カバー時間が短い可能性があります。

— デリックストリー

ミハイルの論文は、コンダクタンスの観点から、通常の有向グラフと一般的なマルコフ連鎖の収束率を制限する方法を説明しました。また、カバー時間を制限するためにも使用できます（私は推測します）。参照：ieeexplore.ieee.org/iel2/260/2317/00063529.pdf

— Zeyu

@Zeyu、答えになるはずです！

— スレシュヴェンカト

「有向グラフのラプラシアンとチーガーの不等式」に関するFan Chungの論文はおそらく関連性があります。また、Fillの以前の作品へのポインターもあります。springerlink.com/content/pn149711511373w9

— チャンドラチェクリ

回答:

~~明らかに多項式混合時間は、多項式カバー時間を意味します。~~（まあ、一般的に我々は、少なくとも定常確率を必要としないの各頂点に。）がミハイルの論文チェックコンダクタンスとパンダの組み合わせ治療マルコフ鎖の収束正規の急速混合を証明コンダクタンスに基づく有向グラフと一般的なマルコフ連鎖。 $1/poly(n)$

また、Reingold、Trevisan、およびVadhanによる論文「Pseudorandom walks on regular digraphs」およびRL vs. L問題も参照してください。ミハイルの仕事に続いて。これらは、定義されたパラメータと同等であり、グラフ、絶対値が二番目に大きい固有値、時間可逆的であるが、そして残っは、一般マルコフ連鎖のために明確に定義されました。次に、このパラメーターを使用して混合時間を制限します。 $\lambda_\pi(G)$ $\lambda_2(G)$ $G$ $G$

— ゼユ
ソース

ミキシング時間については、いわゆるポイナーレ定数を使用した関連するフレームワークもあります（これは不可逆的な設定へのスペクトルギャップの一般化です）。Laurent Saloff Costeには、このフレームワークでマルコフ連鎖を扱ういくつかのメモ（springerlink.com/content/27114435w5149665）があります。TetaliとMontenegroによるモノグラフ（faculty.uml.edu/rmontenegro/research/TCS008-journal.pdf）もあります。もちろん、これは混合時間に関するものですが、Zeyuが指摘したように、カバー時間を制限するのに役立つかもしれません。

— ピユーシュ

Colin CooperとAlan Friezeは、興味のあるランダムな有向グラフのコンテキストで一連の結果を持っています。彼らは、とき、ランダムな有向グラフ単純なランダムウォークの特性を研究します。彼らはそれを証明しました： $D_{n,p}$ $np=d \log n, d>1$

用、WHPのカバー時間に漸近ある。場合と、カバー時間に漸近ある。 $d > 1$ $D_{n,p}$ $d \log (d/(d-1)) n \log n$ $d=d(n) \rightarrow \infty$ $n$ $n \log n$
場合及び次にWHP 。 $p = d \log n/n$ $d>1$ $C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$
ましょうおよびlet で示す溶液の。ましょ巨人の成分である。次いでWHP $d>1$ $x$ $(0,1)$ $x = 1-e^{-dx}$ $X_g$ $G_{n,p},p=d/n$ 。 $C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$
場合一定であるランダム表し頂点集合に-regularグラフをと WHP次いで $r \geq 3$ $G_{n,r}$ $r$ $[n]$ $r \geq 3$ 。 $C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$
場合定数であり、平均程度に優先的アタッチメントグラフ表し WHP次いで $m \geq 2$ $G_m$ $2m$ 。 $C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$
場合およびランダム幾何グラフであるボールサイズの頂点の期待度が漸近的であるように、次にWHP $k \geq 3$ $G_{r,k}$ $\mathcal{R}^k$ $r$ $d \log n$ 。 $C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$

Cooper、C。、およびFrieze、Aを参照してください。定常分布およびランダム有向グラフ上のランダムウォークのカバー時間。Journal of Combinatorial Theory、シリーズB（2011）。

— ジュホ
ソース