ローカルスワップを使用したグラフ上のトークンのシャッフル

ましょう、その程度制限される非正規連結グラフです。各ノードに一意のトークンが含まれているとします。 $G= (V, E)$

ローカルスワップのみを使用してグラフ間でトークンを均一にシャッフルしたい（つまり、2つの隣接ノード間でトークンを交換したい）。この問題の既知の下限はありますか？

私が持っていた唯一のアイデアは、ランダムウォークの結果を使用して、グラフ上でトークンを転送するランダムウォークの効果を「シミュレート」するために必要なスワップの量を確認することです。

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

どのような下限を求めていますか？スワップの総数は？並列ラウンドの数（つまり、1ステップでマッチングのすべてのエッジに沿ってスワップできます）？関数としての下限、？すべてのノードがのトポロジを知っていますか（それに応じてその動作を適応させることができますか）、または任意のグラフに適用できる固定戦略を探していますか？

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— Jukka Suomela、

もっと具体的になるべきだったのに、ごめんなさい。目標は、ランダムウォークに基づく方法（同じノードで複数のトークンが衝突することによる情報の損失）の問題を回避するセンサーネットワークのデータ配布方法を設計することです。だから私はスワップの総数（これはネットワークを循環するメッセージの数を与えるでしょう）とラウンドの数（収束時間のおおよその見積もりを得るために）に興味があります。関数としてのLB は問題なく、ノードはトポロジーに対応していません（残念ながら）。

V

$V$

— Sylvain Peyronnet、2010

回答:

グラフがパスだったとします。この問題は、隣接するエントリを交換することにより、配列内のランダムな数列を並べ替えることと同等になると思います。すべてのノードがトポロジーに対応している場合でも、スワップ数の下限は^ 2になります（ランダムな入力でもn ^ 2のバブルソートよりも優れていることはありません）。

— レフ・レイジン
ソース

パスの場合、確率1/2ミックスでスワップするプロセスです。これは、Benjamini、Berger、およびHoffmanによって証明されています（これはDiaconisとRamによって推測されました）。したがって、私のLBは私が推測する程度の関数でもあります...

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Sylvain Peyronnet、

このLBは、スワップを選択できたとしてもアルゴリズムを改善できないと言います。しかし、そうです、（平均は？）次数が上がると問題は簡単になると思います。

— Lev Reyzin

シミュレーションのスケジュールを設定して、学位が上がるときにどうなるかを確認します。

— Sylvain Peyronnet、2010

実際、このLB（一部変更あり）は、パスの両端に大きなクリークがある場合でも保持されるように見えます（n / 2ノードのパスで接続されたn / 4の2つのクリークのように）。今度は平均次数はO（n）ですが、それでもn ^ 2を超えることはできません。おそらく最低限の学位を課す必要があるのでしょうか？

— Lev Reyzin

はい、私たちは最低学位が必要です:(

— Sylvain Peyronnet

この問題と選別ネットワークの関係を指摘したいと思います。たとえば、グラフがパスの場合、自明な線形深度ソーティングネットワークは、線形数のラウンドで任意の順列を取得できることも示しています。さらに、パスの端点で要素を単純に交換するには線形数のラウンドが必要であるため、これはタイトです。

AKSソーティングネットワークは、ラウンドの対数で任意の順列を取得できるグラフがあることを示しています。グリッドグラフの例については、これらの講義ノートなどを参照してください。

（もちろん、ソートとシャッフルは別の問題ですが、多くの上限と下限が関連しています。たとえば、ランダムなラベルを選び、ラベルでソートします。）

— ジュッカスオメラ
ソース

ポインタをありがとう。私はこの方向に掘り下げます、多分それはここで必要なものではありません（私が良い種類のグラフを持っているかどうかはわかりません）が、それは遅かれ早かれ私が使用するものになるでしょう！

— Sylvain Peyronnet、2010