タグ付けされた質問 「kolmogorov-complexity」

文字列sのコルモゴロフの複雑さは、sを計算して停止する最短のプログラムの長さに等しい。文字列の構造の欠如を測定します。

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コルモゴロフの複雑さを出力できませんか？
我々はチューリングマシンと万能チューリングマシンのプレフィックスフリー符号固定しましょうUUU入力上の（プレフィックスフリーコードとして符号化された続いどんな出力）入力に出力、おそらく（両方とも永遠に実行されます）。コルモゴロフ複雑性定義、、最短プログラムの長さように。（T 、x ）(T,x)(T,x)TTTx xxT TTx xxx xxK （x ）K(x)K(x)p ppU （p ）= xU(p)=xU(p)=x すべての入力整数出力するようなチューリングマシンがありますか これは、のコルモゴロフ複雑度とは異なります。つまり、が、？T TTx xxT （x ）≤ | x | T(x)≤|x|T(x)\le |x|x xxT （x ）≠ K （x ）T(x)≠K(x)T(x)\ne K(x)lim inf | x | → ∞ T （X ）= ∞lim inf|x|→∞T(x)=∞\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty 条件が必要です、なぜなら （a）T （x ）≰ | x …
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コルモゴロフ複雑性の効率的に計算可能なバリアント
コルモゴロフ接頭辞の複雑さ（つまり、は、を出力する最小の自己区切りプログラムのサイズですは、いくつかの優れた機能があります。K（x ）K(x)K(x)バツxx これは、パターンまたは構造のある文字列に、文字列のない文字列よりも低い複雑さを与えるという直感に対応しています。 これにより、条件付き複雑度、またはさらに優れたをいくつかのOracleに定義できます。K （x | O ）OK（x | y）K(x|y)K(x|y)K（x | O ）K(x|O)K(x|O)OOO 準加法です。K（x 、y）≤ K（x ）+ K（y）K(x,y)≤K(x)+K(y)K(x,y) \leq K(x) + K(y) しかし、これにはひどい欠点がありますが与えられると返すことは決定できません。 xK（x ）K(x)K(x)バツxx Iコルモゴロフ複雑性の変異体が存在する場合に疑問に思っている（いずれかのTMよりも弱い言語を使用して、または資源不足有界TMを使用して）計算の制限されたモデルを使用しては、ジャムの特徴（1）及び（2）は（特徴（ 3）ボーナスですが、必須ではありませんが、効率的に計算できますか？K′（x ）K′(x)K'(x) この質問の動機は、進化のさまざまなおもちゃモデルのシミュレーション研究で使用するためです。したがって、以前に数値処理でコルモゴロフの複雑さの「大まかな近似」として使用された回答が優先されます。しかし、目標は、完全に実験に行く比較的単純な/きれいな記述言語/モデル・オブ・計算のためそうではなく、、どのように大幅に関するいくつかの合理的な定理を証明することは可能であるかもしれないように、好ましいから異なりますとどんな種類の弦。K ' KK′K′K'K′K′K'KKK 質問に関連する 弱い記述言語によるコルモゴロフの複雑さ 決定できない問題に対する近似アルゴリズムの賢明な概念はありますか？
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回路の下限とコルモゴロフの複雑さ
次の理由を考慮してください。 してみましょう示すコルモゴロフ複雑性の文字列の。 チャイティンの不完全性定理によるとxK(x)K(x)K(x)xxx 一貫性があり十分に強い形式システム場合、定数（形式システムとその言語のみに依存）が存在するため、文字列、 は証明できません。Tは、xはS K （X ）≥ TをSSSTTTxxxSSSK(x)≥TK(x)≥TK(x) \geq T してみましょうのブール関数であるそのスペクトルのコルモゴロフ複雑性が最大である変数ST。してみましょうの回路の複雑さもすなわち、最小限の回路計算のサイズ、。 n k S （f n）f n f nfnfnf_nnnnkkkS(fn)S(fn)S(f_n)fnfnf_nfnfnf_n の（大まかな）上限 は、定数は であり、はビジービーバー関数です（可能な最大ステップは停止しますサイズ記述のあるチューリングマシンが実行できます）。（スペクトルのごとに、対応する真理値割り当ての最小項を構築し、これらすべての最小項のORを一緒に取ります。）S （F N）≤ C ⋅ B B （K ）⋅ N C B B （K ）K 1S(fn)S(fn)S(f_n)S(fn)≤c⋅BB(k)⋅nS(fn)≤c⋅BB(k)⋅nS(f_n)\leq c\cdot BB(k) \cdot ncccBB(k)BB(k)BB(k)kkk111 ここで、ブール関数無限ファミリーについて 、が超線形サイズの回路を必要とするという正式な証明がある とします。 LL={fn}nL={fn}nL = \{f_n\}_{n}LLL G （N …
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コルモゴロフ複雑度を入力「サイズ」として使用
一連の問題インスタンス（入力の可能性）がある計算問題、たとえば3-SATがあるとしますSSS。通常、アルゴリズムの分析または計算の複雑さの理論では、いくつかのセット 長さのすべての入力の、及び関数、いくつかのソリューションアルゴリズムの実行時間が得られる入力に。最悪の場合の時間シーケンスを実行して、次にある 私（N ）= { W ∈ S：| w | = n }I(n)={w∈S:|w|=n}I(n) = \{w \in S : |w| = n\}nnnT（w ）T(w)T(w)AAAwwwAAAfn= 最大W ∈ I（n ）T（w ）。fn=maxw∈I(n)T(w). f_n = \max_{w \in I(n)} T(w). コルモゴロフ複雑度すべての入力のセット を定義し、シーケンス ここで、は平均実行時間シーケンスです。ただし、入力の「サイズ」は、長さではなくコルモゴロフの複雑さです。N F K N = 1私K（N ）= { W ∈ S：K（w ）= n }IK(n)={w∈S:K(w)=n} I^K(n) …
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コルモゴロフの複雑性の計算不能性は、ローヴェアの固定小数点定理から得られますか？
多くの定理と「パラドックス」-カントールの対角化、憎しみの決定不能性、コルモゴロフ複雑性の決定不能性、ゲーデル不完全性、チャイティン不完全性、ラッセルのパラドックスなど-すべてが本質的に対角化による同じ証明を持っています（これは、すべては対角化によって証明されます。むしろ、これらの定理はすべて同じ対角化を実際に使用していると感じています。詳細については、例えばYanofskyを参照するか、より簡潔で形式化されていない説明については 、この質問に対する私の答えを参照してください）。 上記の質問に関するコメントの中で、サショ・ニコロフは、それらのほとんどがローヴェアの不動点定理の特別なケースであると指摘しました。それらがすべて特殊なケースである場合、これは上記のアイデアを捉える良い方法です。実際には、1つの証明（ローベレ）の結果が1つあり、そこから上記のすべてが直接の結果として続きます。 現在、ゲーデルの不完全性と停止問題とその友人の決定不能性については、彼らがLawvereの不動点定理（例えば、here、hereまたはYanofskyを参照）に従うことはよく知られています。しかし、基礎となる証明が何らかの形で「同じ」であるという事実にもかかわらず、コルモゴロフの複雑さの決定不能性のためにそれをどのように行うかすぐにはわかりません。そう： コルモゴロフの複雑性の決定不能性は、ローヴェアの固定小数点定理の追加の対角化を必要としない迅速な結果ですか？
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Kがコルモゴロフ複雑度であるK（xx）<K（x）のようなxが存在しますか。
LET 文字列のコルモゴロフ複雑性表すXを。その結果、文字列が存在しないK （X 、X ）&lt; K （xは）。（ここで、X xはの連結であり、XK(x)K(x)K(x)xxxK(xx)&lt;K(x)K(xx)&lt;K(x)K(xx)<K(x)xxxxxxxxxとそれ自体の）。ここでは、似ているが異なる質問が尋ねられましたが、その質問に対する答えで示された反例は、この質問では機能しません。
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コルモゴロフの理論の複雑さの比較
Chaitinの不完全性定理は、算術の無十分に強い理論が証明できると言う、文字列のコルモゴロフ複雑であると十分に大きい定数です。は、プルーフチェックマシン（PCM）のビット単位のサイズよりも大きい場合、十分に大きくなります。理論のPCMは、整数としてエンコードされた文字列を入力として受け取り、文字列がの言語で有効な証明である場合は1を出力します。K （s ）s L LK（s ）&gt; LK(s)&gt;LK(s) > LK（s ）K(s)K(s)sssLLLLLLTTTTTTT と仮定します 理論のために複雑の上限である。次の理論の階層を考えてみましょう。基本理論をロビンソン算術（）とします。増補多項式有界誘導のますます強い公理と。してみましょうと証明可能な定理の理論も及びこれらの有界誘導公理のいずれか。各理論のPCMを定義することにより、とを定義できると仮定します。T TL （T）&gt; | PCMT|L(T)&gt;|PCMT|L(T) > |PCM_T|TTTTTTQ Q ∗ Q L （Q ）L （Q ∗）QQQQQQQ∗Q∗Q^*QQQL （Q ）L(Q)L(Q)L （Q∗）L(Q∗)L({Q^*}) 拡張されたプルーフチェックマシン（EPCM）を検討したいと思います。このEPCMは、ECMと同様に入力として文字列を受け取り、サブ理論のランクとレベルを定義する2番目の入力を持ちます。入力文字列が有効な証明である場合、EPCMは証明のステップを実行して、使用される誘導の最高ランクとレベルを決定します。このEPCMは、入力文が指定されたサブ理論で有効な証明である場合、1を書き込みます。Q ∗ Q ∗ Q ∗Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^* 説明した拡張プルーフチェッカーは実行可能ですか？もしそうなら、このEPCMの大きさは、上の複雑さのためだけではないバインドされるだろう、だけでなく、上位のいずれかのサブ理論の複雑さにバインド？Q ∗Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^* とそのすべてのサブ理論の複雑さに一定の上限があると言うのは合理的ですか？Q∗Q∗Q^* この問題は、算術の矛盾のネルソンの失敗した証拠によって引き起こされました。一部の人々はその証拠が邪魔だと思うので、私は以前これを指摘しませんでした。私の動機は興味深い質問をすることです。CSTheoryは、この質問にふさわしいフォーラムのようです。とそのすべてのサブ理論の複雑さは、定数によって制限されるか、制限されません。どちらの答えもより多くの質問につながります。Q∗Q∗Q^* サブ理論の複雑さが無制限であれば、私たちは最も弱いのサブ理論である何のような質問尋ねることができるよりも複雑？またはPAやZFCよりも複雑ですか？この質問について考えると、ストリングのコルモゴロフの複雑さについて理論が証明できる範囲には厳しい限界があることがすでに示されています。場合証明することができ、そのサブ理論の一貫その後、いずれでもない任意の文字列のためには。これは、より強い理論がよりも複雑である非常に弱い部分理論よりも複雑なストリングがあることを、本当に強い部分理論でさえ証明できないことを意味します。Q ∗ Q ∗ K （s ）&gt; L （Q ∗）Q ∗Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*K（s …
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コルモゴロフ複雑度を使用したチャネルコーディング結果
通常、チャネルコーディング結果を証明するためにシャノンエントロピーが使用されます。ソースチャネル分離の結果でも、シャノンエントロピーが使用されます。シャノン（グローバル）とコルモゴロフ（ローカル）の情報の概念間の同等性を考えると、これらの結果にコルモゴロフの複雑さを利用する研究がありますか（少なくともソースチャネル分離結果のソースコーディング部分を置き換えるために）？
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弱い記述言語によるコルモゴロフの複雑さ
文字列のコルモゴロフの複雑さを最短プログラム長さと考え、ようなを入力できます。通常、これらのプログラムはチューリング完全なセットから引き出されます（はチューリングマシンの記述、またはLISPまたはCのプログラムである可能性があります）。リソースに制限のあるKolmogorovの複雑さを見るときでも、Turingマシンを調べますが、ランタイムまたはスペースの使用には限界があります。この結果の1つは、文字列の複雑さが決定できないことです。これは厄介な機能のようです。xxxPPPyyyx=P(y)x=P(y)x = P(y)PPP 非チューリング完全計算モデルを使用してコルモゴロフ複雑度を定義するとどうなりますか？ 十分に制限されたモデルを選択すると（モデルはアイデンティティのみを実装できるなど）、文字列の複雑さは決定可能になりますが、不変性の定理も失われます。チューリング完全モデルと同等の複雑さ（一定のオフセット、または乗法因子まで）を持つほど強力なモデルを作成することはできますか？チューリング以外の完全な計算モデルを備えたコルモゴロフの複雑さの標準名はありますか？これについてどこでもっと読むことができますか？
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コルモゴロフ複雑度を使用して証明複雑度の下限を設定しますか？
この質問の動機は、ほとんどのnビット文字列が非圧縮性であるという事実です。直感的に、トートロジーのほとんどの証明は多項式サイズに対して非圧縮性であると類推することができます。基本的に、私の直観は、一部の証明は本質的にランダムであり、圧縮できないことです。 コルモゴロフの複雑さの結果を使用して、トートロジーの証明サイズの超多項式下限を確立することに関連する研究努力に関する参考文献はありますか？ この博士号では 命題証明システムの複雑さ に関する論文 Kolmogorov Complexityの非圧縮性メソッドを使用して、トートロジーのクラスのUrquhartの下限を取得し。Incompressibilityメソッドを使用した結果がより強力なのか、Kolmogorovの複雑性から他の結果が得られるのだろうか？Ω(n/logn)Ω(n/log⁡n)\Omega(n/\log n)
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「不死身のジェネレーター」が存在しない世界
不死身のジェネレータは次のように定義されています。 ましょう NPの関係であること、及び受け入れマシンで。非公式には、プログラムは、入力でインスタンスウィットネスペア、場合、不死身のジェネレーターです、与えられた任意の多項式時間の攻撃その下分布に応じて証人を見つけることができない無限に多くの長さについて顕著確率を、。M L （R ）1 、N（X 、W ）∈ R | x | = N 、X 、X ∈ S NRRRMMML(R)L(R)L(R)1n1n1^n(x,w)∈R(x,w)∈R(x, w) \in R|x|=n|x|=n|x| = nxxxx∈Sx∈Sx \in Snnn Abadi らによって最初に定義された不死身のジェネレーター。、暗号化で多くのアプリケーションが見つかりました。 不死身のジェネレーターの存在は、であるという仮定に基づいていますが、これはおそらく十分ではありません（関連トピックも参照）。P≠NPP≠NP\mathbf{P} \neq \mathbf{NP} アバディらの定理3 。上で引用した論文は、不死身のジェネレータの存在の証拠は相対化しないことを示しています： 定理3.ようなオラクルがあり、に対して不死身のジェネレーターは存在しない。P B ≠ N P BBBBPB≠NPBPB≠NPB\mathbf{P}^B \neq \mathbf{NP}^B この定理の証明の一部がわかりません。結合演算を表すとしましょう。してみましょう充足可能で定量化された論理式のPSPACE完全言語とすること、および聞かせて最大コルモゴロフ複雑性の文字列の非常にまばらなセットで。具体的には、それぞれ長さの1つのストリング含ま配列、によって定義される、 IS 三重指数で、のために。もしと、次にQ B F K K N …
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「問題を解決する最も簡単なプログラム」に答える理論はありますか？
「コンピューティングで解決できる問題」に答えるために、計算可能性の理論を開発しました。計算可能な問題について、「プログラムは私が最も簡単なものにするか」という質問に答える理論はありますか？ 計算の複雑さが質問に答えるとは思いません。私たちはどれだけの時間が必要かを考慮していると思います（抽象的に測定されますが）。 アルゴリズム情報理論がこの質問に答えるかどうかはわかりません。理論はサイズについて話しているようですが、最小サイズと最も単純なサイズの同等性は私には明白ではありません（まあ、少なくとも私には違います）。 理論は少なくとも「単純な」または「単純な」関係を定義する必要があると思います。 私は今、コルモゴロフの複雑さを調べる必要があると確信しています。でも、質問をしていたときのことを説明したいと思います。 プログラムを改善するときは、プログラムの異なる部分間の不要な接続を減らすようにします（接続を少なくしたり弱めたりできるように、部分を再分割する場合があります）。接続が減少するため、プログラムは「より単純」に感じられます。したがって、私が質問をするとき、「単純な」という言葉の選択。プログラムのサイズも小さくなる可能性が高いですが、それは主な目的ではなく、良い副作用です。明らかに、改善プロセスは永遠に続くことはできません。やめるべきポイントがあります。「構造」（別の未定義の概念については申し訳ありません）または「関係」を考慮することによってのみ、これ以上何もできないことを自分に納得させることができますか？ ここに私の複雑さの概念のより良い説明が含まれています。 オラフ・スポーンズ（2007）複雑さ。学者、2（10）：1623
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コルモゴロフの複雑さの証明は、縮約を使用して計算できない
私は、コルモゴロフの複雑さが計算不可能な別の問題からの削減を使用して計算不可能な証拠を探しています。一般的な証明は、還元ではなくベリーのパラドックスを形式化したものですが、停止問題やポストの対応問題などから軽減することによる証明が必要です。
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コルモゴロフの複雑性は全射関数ですか？
入力（T、x）で入力xのT出力を出力する（おそらく両方が永久に実行される）チューリングマシンとユニバーサルチューリングマシンUのエンコーディングを修正しましょう。xのコルモゴロフ複雑度K（x）を、U（p）= xとなるような最短プログラムpの長さとして定義します。 すべてのn&gt; Nに対して、K（x）= nのxがあるようなNはありますか？ リマーク。ユニバーサルチューリングマシンを別の方法で定義すると、答えは否定的なものになる可能性があります。たとえば、（T、x）の長さが100で割り切れる場合、入力（T、x）でTをxでシミュレートし、それ以外の場合は何もしないUについて考えます。この例をいくつかの方法で変更して、ユニバーサルチューリングマシンのさまざまな定義の反例を取得できます。
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