Kがコルモゴロフ複雑度であるK（xx）<K（x）のようなxが存在しますか。

LET 文字列のコルモゴロフ複雑性表す。その結果、文字列が存在しない。（ここで、の連結であり $K(x)$ $x$ $K(xx)<K(x)$ $xx$ $x$ とそれ自体の）。ここでは、似ているが異なる質問が尋ねられましたが、その質問に対する答えで示された反例は、この質問では機能しません。

cc.complexity-theory kolmogorov-complexity

— スネ・ヤコブセン
ソース

回答:

私はコルモゴロフの複雑さの専門家ではありませんが、このようなxは、次のようにすべての複雑さ関数Kに対して構築できると思います。1、11、1111、11111111、…、1 ^{2 ⁿ}、…は自然数nのエンコードであるため、K（1 ^{2 ⁿ}）はo（log n）にはできません。ただし、n = 2 ^mの場合、明らかにK（1 ^{2 ⁿ}）= K（1 ^{2 ^{2 ^m}}）= O（log m）= O（log log n）です。したがって、シーケンスK（1）、K（11）、K（1111）、K（11111111）、…、K（1 ^{2 ⁿ}）、…は弱単調増加できません。つまり、文字列が存在します。 x形式1 ^{2 ⁿ}（K（xx）<K（x）。

— 伊藤剛
ソース

@ Tsuyoshi、

ような非圧縮文字列

はありますか？

x

$x$

K (x x) < K (x)

$K(xx)\lt K(x)$

— モハマッドアルトルコ

とK（1 ^ {2 ^ n}）=Ω（log n）は互いに矛盾すると思います。彼が意味するのは、

場合、

です。それ以外の場合、証明は問題ないようです。

K (1^{2^{2^{m}}}) = O (\log m)

$K(1^{2^{2^m}})=O(\log m)$

f (n) = o (\log n)

$f(n)=o(\log n)$

K (1^{2^{n}}) \neq O (f (n))

$K(1^{2^n})\neq O(f(n))$

— スネヤコブセン

これはうまくいくようです。実際、このような文字列の無限のシーケンスを提供すると思います。しかし、私は何かを誤解しているか、wikipedia（en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule_for_Kolmogorov_complexity）に表示されるKolmogorov Complexityのチェーンルールのステートメントが間違っています。最初は、ウィキペディアの定義はここでは適用されないかもしれないと考えました。Xがどこで終わり、Yが始まるかを知る必要があるので、ここではこれは必須ではないようですが、Y = X O（1）「真ん中に分割」と言って。

— アベル・モリーナ

@Sune：Ω（⋅）という表記には、わずかに異なる定義がいくつかあります。私の答えの「K（1 ^ 2 ^ n）=Ω（log n）」は「limsup K（1 ^ 2 ^ n）/ log n> 0」を意味し、「K（1 ^ 2 ^ 2 ^ m）= O（log m）。答えを編集してこの点を明確にしました。参照してください私たちが教えるべき漸近成長率のどの定義？

— 伊藤剛

@turkistanyおよびすべて：一定の定数に対してK（xx）> K（x）-cが常に真であることに注意してください。これは指摘されるべきだと思いました。これは、この質問を研究する場合、非圧縮性の非常に正確な定義が必要であることも意味します。答えはイエスだと思いますが、証拠はありません。

— domotorp

はい。実際には、コロモゴロフの複雑さはモデルによって異なります。チューリングマシン、Javaプログラム、C ++プログラム、...有限の入力セットでこれが発生するのを可能にする特異性がモデルにある場合、問題はありません。

より良い質問は、この振る舞いをどれだけ回避し、モデルを普遍的にすることができるかです。

— チャド・ブリューベーカー
ソース

より良い質問は、そのようなxはすべてのモデルに存在するのでしょうか？「モデル」が正式に何であるかはわかりませんが、剛氏の答えはすべての合理的なプログラミング言語で機能するようです。

— スネヤコブセン

0

$0$

x x

$xx$

x

$x$

@剛：

私はあなたの証拠をよく理解していませんでした。

定義する「記述言語」として標準的なチューリングマシンを選択すると仮定します。 $K(s)$ 空のテープで始まり、文字列の印刷後に停止する最小のTMの状態の数として $s$ その上。

私たちが構築できることを証明しましたか $TM_{ss}$ 文字列を「印刷」する $ss = 1111...1 = 1^{2^{n+1}}$ テープ上にあり、より少ない状態で構築されています $TM_{s}$ 文字列を「印刷」する $s = 1^{2^n}$ ？

あなたの証明をTMのコルモゴロフの複雑さに適用できますか？

OK！I GOT IT ...いつ $n+1 = 2^{m}$ その $TM_{ss}$ 新しい「内部ループ」で「強化」できます（いくつかの状態を追加しますが、 $TM_{s}$ 「カウント」に必要です $n$ ）...ありがとう！

（申し訳ありませんが、これをコメントとして投稿する方法がわかりません）

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

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— Tsuyoshi Ito