コルモゴロフの複雑さを出力できませんか？

我々はチューリングマシンと万能チューリングマシンのプレフィックスフリー符号固定しましょう$U$入力上の（プレフィックスフリーコードとして符号化された続いどんな出力）入力に出力、おそらく（両方とも永遠に実行されます）。コルモゴロフ複雑性定義、、最短プログラムの長さように。$(T,x)$$T$$x$$T$$x$$x$$K(x)$$p$$U(p)=x$

すべての入力整数出力するようなチューリングマシンがありますか これは、のコルモゴロフ複雑度とは異なります。つまり、が、？$T$$x$$T(x)\le |x|$$x$$T(x)\ne K(x)$$\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

条件が必要です、なぜなら

（a）$T(x)\not \le |x|$、その後、$K(x)$とはわずかに異なる数を出力するのは簡単です。これは、| x | + c_Uよりも大きいためです$|x|+c_U$。

（b）$\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)<C$が許可されている場合、最大1つを「幸運にも」推測することで、ほぼすべての数値に対して$0$（またはその他の定数）を出力できます。（他の定数に対して）0と評価され$0$、そこに何かを出力する（有限数）。x = 2 ^ nに対して2 \ log nのようなものを出力することで、\ limsup_ {| x | \ rightarrow \ infty} T（x）= \ inftyを保証することもできます。$\limsup_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$$2\log n$$x=2^n$

また、$T(x)$が全射ではないことを知っていれば私たちの仕事は簡単ですが、これについてはほとんど知られていないので、答えは$U$に依存するかもしれませんが、そうは思わないでしょう。

私は関係が一般的に多く研究されていることを知っていますが、

私たちの目標がいくつかのパラメーターを出力しないアルゴリズムを与えることである場合、誰かが同様の質問をしたことがありますか？

私の動機はこの問題http://arxiv.org/abs/1302.1109です。

この質問は、であるかどうか、およびデニスがコメントで指摘しているように言い換えることができます。これは一部のエンコーディングではfalseです。以下は、エンコードの詳細に依存しない、より弱いステートメントとその試みの証明ですが、簡単にするためにバイナリ言語を想定します。$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} = 0$

LET満たす計算関数でとT ：{ 0 、1 } * → N 0 ≤ T （X ）≤ | x | lim inf | x | → ∞ T （X ） = ∞ limのinfファイル| x | → ∞ | T （x ）− K （x ）| < $T:\{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}$$0 \le T(x) \le \vert x \vert$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{T(x)} = \infty$。次に。非公式には、各文字列のコルモゴロフの複雑さの周りに無限に広がるターゲットがある場合、計算可能な関数はヒットを避けることができません。$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} \lt \infty$

これを確認するには、ランダムなビット数、つまりおよびます。すべてのに対して、このようなランダムなが存在します。また、音符の値の無限の数があること用、これが上に配置された状態から次の。ここで、をとなる最小文字列とします。およびであるため、ような定数があることは明らかです。N B 0 ≤ N < 2 B K （N ）≥ bはB 、N B | { T （x ）= b } | ≥ 2 B Tは、xはN 番目の T （X ）= B C 1 K （X ）> B - C 1 K （N ）≥ B N X C $n$$b$$0 \le n \lt 2^b$$K(n) \ge b$$b$$n$$b$$\vert \{T(x) = b\} \vert \ge 2^b$$T$$x$$n^{\text{th}}$$T(x) = b$$c_1$$K(x) \gt b - c_1$$K(n) \ge b$$n$から計算できます。また、も上からよりも大きい定数のみによって制限され、はから計算できるため、ような定数があります。次に、我々はの選択肢の無数有する（少なくともカーディナリティのプレイメージとそれら値の無限の数を得、）以下のため、私たちが行っています。$x$$c_2$$K(x) \lt b + c_2$$K(n)$$b$$x$$n$$\vert K(x) - T(x) \vert \lt c_1 + c_2$$b$$2^b$$x$

含意は、いくつかのに対して、無限に頻繁に発生することです。だから、コルモゴロフの複雑さ以外のものを出力できないと言うかもしれません！$c \in \mathbb{Z}$$T(x) = K(x) + c$

次のように動作すると思います。コルモゴロフの複雑度にはC （x ）を使用します$C(x)$

• Uに時間制限t（入力プログラムの長さの指数関数など）を与え、結果U tを呼び出します。プログラムが時間制限を超えると、U tは無限ループに入ります。$U$$t$$U^t$$U^t$
• してみましょうC T（X ）についても最短プログラムXのトンを。C tは計算可能であることに注意してください。$C^t(x)$$x$$t$$C^t$
• ましょうT （X ）リターンCをT（X ）+ 1この値が等しくない限り、| x | その場合は0を返します。xが空のプログラムの出力でない限り、1を返します。$T(x)$$C^t(x) + 1$$|x|$$x$
• 以来、C （X ）≤ C T（X ）、T （xは）常に異なるであろうC （X ）。前の手順のロジックは、エッジケースを処理します。$C(x) \leq C^t(x)$$T(x)$$C(x)$
• U tは、すべての文字列のコードとして機能するため、無限遠の制限があります。$U^t$