コルモゴロフの複雑性の計算不能性は、ローヴェアの固定小数点定理から得られますか？

多くの定理と「パラドックス」-カントールの対角化、憎しみの決定不能性、コルモゴロフ複雑性の決定不能性、ゲーデル不完全性、チャイティン不完全性、ラッセルのパラドックスなど-すべてが本質的に対角化による同じ証明を持っています（これは、すべては対角化によって証明されます。むしろ、これらの定理はすべて同じ対角化を実際に使用していると感じています。詳細については、例えばYanofskyを参照するか、より簡潔で形式化されていない説明については、この質問に対する私の答えを参照してください）。

上記の質問に関するコメントの中で、サショ・ニコロフは、それらのほとんどがローヴェアの不動点定理の特別なケースであると指摘しました。それらがすべて特殊なケースである場合、これは上記のアイデアを捉える良い方法です。実際には、1つの証明（ローベレ）の結果が1つあり、そこから上記のすべてが直接の結果として続きます。

現在、ゲーデルの不完全性と停止問題とその友人の決定不能性については、彼らがLawvereの不動点定理（例えば、here、hereまたはYanofskyを参照）に従うことはよく知られています。しかし、基礎となる証明が何らかの形で「同じ」であるという事実にもかかわらず、コルモゴロフの複雑さの決定不能性のためにそれをどのように行うかすぐにはわかりません。そう：

コルモゴロフの複雑性の決定不能性は、ローヴェアの固定小数点定理の追加の対角化を必要としない迅速な結果ですか？

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

Andrej Bauerによるこのブログ投稿から学んだこのトピックについて私が今までに知ったことはすべて言うべきです：math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Sasho Nikolov

@MaxNew：

によって計算された計算可能な関数とする。ましょう

、次のTM可能：空の入力の上、それが見つかるまで、一度に文字列1を通過始まり

し

および出力

。なお

いくつかのために

のみに依存します

。そして、そのような

について

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

（任意の十分に大きな

行います）、いずれかのそのような存在しない

（この場合

又は）

いくつかの出力

、その結果

（構成による）が、

出力

が

なので、

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

。

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— ジョシュアグロチョフ

@NealYoung：同様ですが、それらは私の質問にはまったく答えません。停止する問題から削減することは、HALTを計算不能の「ソース」として、削減を使用することです。しかし、（たとえば）上記のコメントで私が与えた証拠は、K複雑性を「計算不可能性の原因」とみなすこともできることを示していますが、HALTの場合と非常によく似ています。そのような証明は、実際には何らかの技術的な意味で同じであることが示されますか？（この場合、それらはすべてLawvereの定理のインスタンスであることを示すことにより、多くの種類の簡約よりも強いように思われます。）それが私が本当に望んでいることです。

— ジョシュアグロチョフ

@NealYoung：はい、それはロジャーの不動点定理を一般化します。しかし、それをロジャーの定理としか考えないなら、あなたはその点を見落としているでしょう。ポイントは、ロヴェールのものよりも多くの異なる証明の証明戦略をとらえるのに十分なほど一般的だということです。質問にリンクされているヨノフスキーの論文は、Lawvereの定理を「カテゴリーなし」で説明することを意図しており、Lawvereのカテゴリー理論が威圧するかもしれない人々に優しい。

— ジョシュアグロチョフ

参照してくださいcstheory.stackexchange.com/a/2830

— アンドラス・サラモン

編集：ロジャーの固定小数点定理は、ローヴェアの特別なケースではないかもしれないという警告を追加します。

ここに「近い」かもしれない証明があります... Lawvereの定理の代わりにRogerの固定小数点定理を使用します。（詳細については、以下のコメントセクションを参照してください。）

してみましょう文字列のコルモゴロフ複雑性も。 $K(x)$ $x$

補題。 は計算可能ではありません $K$ 。

証明。

が計算可能であるという矛盾を仮定します。 $K$
定義任意のチューリングマシンの最小コード長さであることがと。 $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
ような定数が存在しますすべての文字列については、。 $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
関数を定義する、その結果ように、最小列ようである。 $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
以来、計算され、そうで。 $K$ $f$
ロジャーの固定点定理、チューリングマシンが存在し、ある固定点を有し、ように。 $f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
4行目のの定義により、が得られ。 $f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
行3および7は、。 $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
しかし、2行目のの定義により、、矛盾する行8。 $K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— ニール・ヤング
ソース

私が知る限り、ロジャーの固定小数点定理は、ローヴェアの固定小数点定理の例ではありません。場合次のように有効なトポスで読み取りので、しかし、変異体である

あるmutlivalued次いで全射

固定小数点特性を有しています。（実効トポスのローベレの定理は次のとおりです

が射影の場合、

には固定小数点特性があります。）

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$

A

$A$

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$

A

$A$

— Andrej Bauer

私の給与等級以上の@AndrejBauer-カテゴリー理論は知りません。ここでこれとあなたの答えを読んでみました。まだわからない。あなたはロジャースの定理のために、上記のコメントで、私に言うことができる、あなたは、機能のために何を取るか

（タイプと

）、そして何である

？または、適切なチュートリアルを提案しますか？

f

$f$

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$

A

$A$

— ニールヤング

スライド45と46 math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf（良いニュースは、今、私は明確な計画と合成計算可能性について鋭意論文を書くための期限を持っているということです）。

— アンドレイバウアー