「不死身のジェネレーター」が存在しない世界

不死身のジェネレータは次のように定義されています。

ましょう NPの関係であること、及び受け入れマシンで。非公式には、プログラムは、入力でインスタンスウィットネスペア、場合、不死身のジェネレーターです、与えられた任意の多項式時間の攻撃その下分布に応じて証人を見つけることができない無限に多くの長さについて顕著確率を、。 $R$ $M$ $L(R)$ $1^n$ $(x, w) \in R$ $|x| = n$ $x$ $x \in S$ $n$

Abadi らによって最初に定義された不死身のジェネレーター。、暗号化で多くのアプリケーションが見つかりました。

不死身のジェネレーターの存在は、であるという仮定に基づいていますが、これはおそらく十分ではありません（関連トピックも参照）。 $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$

アバディらの定理3 。上で引用した論文は、不死身のジェネレータの存在の証拠は相対化しないことを示しています：

定理3.ようなオラクルがあり、に対して不死身のジェネレーターは存在しない。 $B$ $\mathbf{P}^B \neq \mathbf{NP}^B$

この定理の証明の一部がわかりません。結合演算を表すとしましょう。してみましょう充足可能で定量化された論理式のPSPACE完全言語とすること、および聞かせて最大コルモゴロフ複雑性の文字列の非常にまばらなセットで。具体的には、それぞれ長さの1つのストリング含ま配列、によって定義される、 IS 三重指数で、のために。もしと、次に $\sqcup$ $QBF$ $K$ $K$ $n_i$ $n_1, n_2, \ldots$ $n_1 = 2$ $n_i$ $n_{i-1}$ $i > 1$ $x \in K$ $|x| = n$ $x$ コルモゴロフ複雑度持ち $n$ ます。

紙の状態に対してその $B = QBF \sqcup K$ それが保持している、 $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$ 。説明できますか？（また、 $B$ が再帰的かどうかを明確にしてください。）

— MSドゥスティ
ソース

彼らは単に（非資源有界）コルモゴロフ複雑性を話していた場合には、 uncomputableだろう（そうでなければ、計算機使用することができ文字列の短い説明を与えるために使用すると、ISを行う必要があるすべては説明しているので、機械長さの、と我々はまだ）、従って同様にuncomputableあろう。 $K$ $K$ $x \in K$ $n$ $x$ $K(x) = n$ $K(n) \leq \log n$ $B$

しかしながら、論文Abadi等。リファレンス（ハートマニス。一般化されたコルモゴロフの複雑さと実行可能な計算の構造。FOCS1983。）は、リソースに制限されたバージョンのコルモゴロフの複雑さを使用します。してみましょう、効率的な万能チューリングマシンです。を長さの文字列が存在するような文字列のセットになるように定義しますように $U$ $K_U[f(n), g(n)]$ $x$ $d$ $|d| \leq f(|x|)$ と計算には最大で時間かかります。pの2列目の上部。その論文の444であるHartmanisは、この概念を使用して、どの関連する（計算可能な）オラクルを構築するかについて説明しています。 $x = U(d)$ $U(d)$ $g(|x|)$ $P \neq NP$

これがアバディらに適応したハートマニスのアイデアです。結果。ましょう及び（私はあなたが説明した機能であると考えて）。（例えば、時間階層定理のような）標準的な対角化によって、タリーセットコンストラクトように及び $tow_3(1)=2$ $tow_3(n+1)=2^{2^{2^{n}}}$ $C$ $C \subseteq \{1^{tow_3(n)} : n \geq 1\}$ 。今長さの第一列配置からに IFF。以来 $C \in TIME[n^{\log n}] - P$ $tow_3(n)$ $K[\log n, n^{\log n}] - K[\log n, n^{\log \log n}]$ $K$ $1^{tow_3(n)} \in C$ 、我々は。 $C = \{1^n : (\exists x)[|x|=n \text{ and } x \in K]\}$ $C \in NP^{K}$

我々はまた有する、したがって。その矛盾のために想定。次に、ようなポリタイムオラクルマシンがあります。私はこれが意味することを主張する（オラクルなし！）、建設矛盾。これがポリタイムアルゴリズムです：入力 $C \notin P^{K}$ $P^K \neq NP^K$ $C \in P^{K}$ $M$ $C = L(M^K)$ $C \in P$ $C$ ： $x = 1^{tow_3(n_0)}$

厳密により短い長さのすべての文字列をで計算します。このようなすべての文字列は最大で長さを持っているので、これは多項式時間で行うことができ、と私たちはただの計算テストする必要があるさらに小さな文字列に対してに比べてまだ非常に小さい時間の量のために、。 $K$ $|x|$ $\log \log \log |x|$ $U(d)$ $d$ $|x|$
実行し、（1）の結果を使用して小さな文字列へのoracleクエリをシミュレートします。が長さの文字列をクエリする場合、「NO」の回答でそのクエリをシミュレートします。 $M(x)$ $M(x)$ $|x|$

理由ステップ（2）は、それを動作する、すなわち十分に大きな入力の長さのために、文字列がある場合、その長さは、できないクエリ、我々は、NOの回答を持つすべてのそのようなクエリをシミュレートできるように。それは、クエリた場合は、我々はだろう（のランタイム境界）事実と矛盾我々が選んだあるとされていない $y \in K$ $M^K$ $y$ $y$ $y \in K[\log n, n^k]$ $n^k$ $M$ $y$ 。 $K[\log n, n^{\log \log n}]$

— ジョシュア・グロコウ
ソース

非常に詳細でよく書かれています。ジョシュア、ありがとう！

— MS Dousti