ランダムサンプルでのコルモゴロフ複雑度の期待値

文字列のコルモゴロフ複雑度は計算できません。ただし、長さバイナリ文字列のサイズランダムなサブセットでは、いくつが未満の整数未満の複雑度を持つと予想されますか（、および関数として）？ $M$ $n$ $n_{0}$ $n$ $M$ $n$ $n_{0}$

cc.complexity-theory kolmogorov-complexity

— 対
ソース

ここでは「標準」のコルモゴロフ複雑度を使用していますか、それともプレフィックス複雑度ですか？

— オーブリーダクーニャ

実際、私はコルモゴロフの複雑さだけを考えていました。すべての文字列の宇宙を考えるとき、私はdomotorpが言及した

2^{n_{o}}

$2^{n_{o}}$ 境界を推測していました。サイズ

任意のランダムなサブセットについて「一貫した」結果

M

$M$ が生成されるかどうかは不明でした。ただし、プレフィックスの複雑さによって、別の視点がもたらされますか？

— vs

それは確かに大きさの順序を変更しないでしょう、実際、私は今私の答えは両方のバージョンの限界であると思います。

— domotorp 2011

すべての

n

$n$ およびすべての

c

$c$ について、ランダムな

n

$n$ ビットの文字列

x

$x$ がコルモゴロフ複雑度

持っている確率

K (x) \geq n - c

$K(x) \geq n-c$ は、

1 - \frac{1}{2^{c}}

$1 - \frac{1}{2^c}$ （

c = n - n_{0}

$c = n-n_0$ ）

。したがって、

M

$M$ 文字列のランダムな分布では、

...を含む

\frac{M}{2^{(} n - n_{0})}

$\frac{M}{2^(n-n_0)}$ 文字列を期待する必要があります。直感的には、文字列を選択する可能性が非常に高くなります。コルモゴロフの複雑度が高い。

K (x) < n_{0}

$K(x) \lt n_0$

— Marzio De Biasi 2011

回答:

コルモゴロフの複雑さは、いくつかの加法定数までしか決定されないため、正確な答えを出すことはできません。ここで説明する限界はさらに弱いものです。

もちろん、文字列のうち未満の複雑さを持つ文字列がいくつあるかがわかれば、予想される数は簡単に計算できます。これについてお答えします。通常、コルモゴロフの複雑さに関する最初のステートメントでは、この数は多くてもです。これは、これらの長さの短い文字列だけが存在するためです。一方、プログラムが「長さの番目の数値を取る」と言う場合、文字列が。ここで、はのコルモゴロフ複雑度のプレフィックスなしのバージョン（したがって、最大で $2^n$ $n_0$ $2^{n_0}-1$ $n$ $x$ $2^{n_0-K(n)-C}$ $n_0$ $K(n)$ $n$ $\log n+\log^* n + O(1)$ ）。より詳細には、文字列には最初に入力を取得したチューリングマシンの説明が含まれます。ここで、pはを出力するプレフィックスなしのプログラムの説明で、長さ番目の数を出力します。これはビットです。、その後にが続きます。 $px$ $n$ $x$ $n$ $O(1)$ $px$

おそらくこれらの境界を改善することは可能ですが、正確な答えが得られるとは思いません。

— ドモータープ
ソース

「プログラムが「長さnの場合、x番目の数を取る」」というフレーズについて少し説明してもらえますか？

— vs

あなたは正しい、それはそこにプレフィックスフリーでなければならない、私はそれを修正した。

— domotorp 2011

正確な答えを出すことができます。最大で（プレーン）の複雑さを持つ長さの文字列の数はで、定数係数までです。したがって、ランダムにサブセットを選択するプロセスは、妥当な確率で、未満の複雑さの文字列の割合をます。私たちの主張を示すために、等しい複雑度を持つ文字列の数もによって与えられることを示すだけで十分です。1からまでのについてこの値の合計を求めることにより、必要な結果を表示できます。 $n$ $n_0$ $2^{n_0 - K(n_0|n)}$ $2^{-K(n_0|n) + O(1)}$ $n_0$ $k$ $2^{k - K(k|n)}$ $k$ $n_0$ 。これを示すために、単純な複雑さの加法性の結果を使用します（B. BauwensおよびA. Shenによる。単純なコルモゴロフの複雑性の加法性定理。計算システムの理論、52（2）：297-302、2013年2月）、ここで、はプレフィックスのないコルモゴロフの複雑さを示します。選択、複雑度ビット文字列ごとに、したがって、このような各のために我々は。してみましょう

C (a, b) = K (a | C (a, b)) + C (b | a, C (a, b)) + O (1) .

$C(a,b) = K(a|C(a,b)) + C(b|a,C(a,b)) + O(1).$

K (\cdot)

$K(\cdot)$

a = n

$a = n$

n

$n$

b

$b$

k

$k$

k = C (b) = C (n, b) + O (1) = K (n | k) + C (b | n, k) + O (1) .

$k = C(b) = C(n,b) + O(1) = K(n|k) + C(b|n,k) + O(1).$

b

$b$

C (b | n, k) = k - K (n | k) + O (1)

$C(b|n,k) = k - K(n|k)+O(1)$

k^{'} = k - K (n | k)

$k' = k - K(n|k)$ 。これで、このような文字列は最大で、辞書式に最初にある長さ文字列のそれぞれが満たすことが。したがって、それらのは満たします。

O (2^{k^{'}})

$O(2^{k'})$

b

$b$

2^{k^{'}}

$2^{k'}$

n

$n$

C (b | n, k) \leq k^{'} + O (1)

$C(b|n,k) \le k' + O(1)$

Ω (2^{k^{'}})

$\Omega(2^{k'})$

C (b | n, k) = k^{'} + O (1)

$C(b|n,k) = k' + O(1)$

— ブルーノ・バウウェンズ
ソース