コルモゴロフの複雑さの証明は、縮約を使用して計算できない

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私は、コルモゴロフの複雑さが計算不可能な別の問題からの削減を使用して計算不可能な証拠を探しています。一般的な証明は、還元ではなくベリーのパラドックスを形式化したものですが、停止問題やポストの対応問題などから軽減することによる証明が必要です。

computability  reductions  kolmogorov-complexity 
— クリシュナ・チッカラ
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回答:

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次の2つの異なる証明を見つけることができます。

Gregory J. Chaitin、Asat Arslanov、Cristian Calude：プログラムサイズの複雑さは停止問題を計算します。EATCS 57の速報（1995）

で、李、明、Vitányi、ポールMB コルモゴロフの複雑さとその応用の紹介は、演習として提示されます（1992年2月13日、個人的なコミュニケーションでW. GasarchによってP.Gácsにクレジットされた、それを解決する方法についてのヒント付き）。

**私はそれの拡張版を私のブログで公開することに決めました。

— マルツィオデビアシ
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さらに、Chaitinの証明（そのリンクで）は、オラクルクエリを並行して実行できることを示しています。
これらの証明は本当にターン削減（1対1（または）1対多）ですか？私は混乱しています ！！私を助けてください
— クリシュナチッカラ
@KrishnaChikkala：最初は確かにチューリング削減です。私はそれがあまり明確ではないと感じたので、私はそれの拡張バージョンを私のブログで公開することにしました。あなたがそれを見てみたいなら（そしてそれが改善できると思ったらメールで私に言ってください）。また、チューリング削減は多対1削減（「より強力な」削減）とは異なります。確かに、ジョーベベルの答えは、そのような削減は存在できないことを証明しています。
— Marzio De Biasi
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これは楽しい質問でした。他の回答と以下のコメントで説明されているように、停止問題からコルモゴロフ複雑度の計算へのチューリングの削減がありますが、特に「コルモゴロフ複雑度の計算」の1つの定義では、そのような多元的な削減はありません。

私たちが話していることを正式に定義しましょう。レッツ入力として、自分自身の記述を与えられたとき、TMのその停止の標準言語を示します。LET K Oを表し{ ⟨ Xは、K ⟩ | xは 正確コルモゴロフ複雑性を有する  K }。HあLTKO{⟨バツ、k⟩|バツ コルモゴロフの複雑さは正確に k}

仮定一部多くのワン還元により。ましょうfは：{ 0 、1 } * → { 0 、1 } *この還元計算するその機能を示します。fの下のH A L Tのイメージを考えます。これをf （H A L T ）と表記します。HあLT≤KOf：{0、1}∗→{0、1}∗HあLTff（HあLT）

ノート形式の文字列で構成さ⟨ X 、K ⟩ X正確コルモゴロフ複雑性有するkは。私はその主張Kで起こるのF （H A L Tは）コルモゴロフ複雑性を有するストリングの有限数が正確にのみ存在するように、無限でありkは、およびF （H A L Tは）無限大です。f（HあLT）⟨バツ、k⟩バツkkf（HあLT）kf（HあLT）

以来、帰納的可算である（いくつかの書籍でチューリング認識別名）それは次のF （H A L Tを）帰納的可算です。事実と組み合わせると、Kさんは無制限です、我々は列挙することができるF （H A L Tを）我々はいくつか見つけるまで⟨ X 、K ⟩とkの私たちが望む限り大きくします。すなわちTM存在Mを入力上のKいくつかの要素を出力⟨ X 、kは⟩HあLTf（HあLT）kf（HあLT）⟨バツ、k⟩kMk。⟨バツ、k⟩∈f（HあLT）

新しいTM書く次のことを行います。最初に、コンピューティング| M ′ | Kleeneの再帰定理を使用します。入力でMにクエリを実行する| M ′ | + 1を取得するには⟨ のx 、| M ′ | + 1 ⟩ ∈ F （H A L T ）。出力x。M』|M』|M|M』|+1⟨バツ、|M』|+1⟩∈f（HあLT）バツ

明らかに、出力のMは「最大でコルモゴロフ複雑性を持つ文字列です| M ′ | しかし⟨ のx 、| M ′ | + 1 ⟩ ∈ F （H A L T ）矛盾です。バツM』|M』|⟨バツ、|M』|+1⟩∈f（HあLT）

小さな変更を加えれば、「コルモゴロフの複雑さは正確に」という問題を「少なくともkのコルモゴロフの複雑さ」に置き換えることもできると思います。kk

— ジョー・ベベル
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しかし、チューリングの削減についてはどうでしょうか？
— Sasho Nikolov、2015
私はこのアイデアをまだ考えていないので、コメントでこのアイデアを捨ててみましょう。決定の問題は同じであるとしましょう。ただし、削減はチューリング削減です。セット考えるS全ての⟨ Xは、K ⟩ ∈ K Oの一部のTMが存在するようにH A L T引き起こすRを照会するK Oの入力に神託を⟨ xは、K ⟩ ∈ K O。私はSが同じ無制限のkを持っていると主張しますRS⟨バツ、k⟩∈KOHあLTRKO⟨バツ、k⟩∈KOSkプロパティ（このニーズは、私が述べていますより多くのビットを正当化するため）、、そのような無制限構築するために使用することができ⟨ X 、K ⟩常に矛盾です。R⟨バツ、k⟩
— Joe Bebel、2015
実際に私はそれを撤回そのように使用することができます。チューリング還元の文脈ではそれほど明確ではありません。R
— Joe Bebel、2015
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いくつかの場所では、コルモゴロフの複雑性は停止問題とチューリングと同等であると主張しています。たとえば、ミルターセンのノートdaimi.au.dk/~bromille/DC05/Kolmogorov.pdfです。それが本当なら、チューリング削減があるに違いない。ちなみに、コルモゴロフの複雑さから停止問題へのチューリングの削減は簡単であり、停止が決定不可能であるという別の証拠を提供します。
— Sasho Nikolov 2015
他の回答のリンクに指定された引数から得られます。他の還元があるので、実際には、我々は（ほとんど）自明持っている H A L T ≡ T K O。HALT≤TKOHALT≡TKO
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