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私はいくつかのシステムの一部を実装していますが、その一部には何らかの助けが必要です。したがって、それをグラフの問題としてフレーミングして、ドメインに依存しないようにします。 問題：有向非巡回グラフが与えられます。一般性を失うことなく、は1つのソース頂点と1つのシンク頂点があると仮定します。せからすべて有向パス集合示すににおける。頂点のセットも与えられます。問題は、非負の整数の重みをのエッジに割り当てることです。したがって、 2つのパスは、の頂点の同じサブセットを含む場合にのみ同じ重みを持ちます。G S T P S T G R ⊆ V G P RG = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)GGGssstttPPPssstttGGGR ⊆ VR⊆VR \subseteq VGGGPPPRRR。（パスの重みは、そのエッジの重みの合計です。）のパスの重みの範囲はできるだけ小さくする必要があります。PPP 現在、私のアプローチは効率的ではないようです。文学への言及や良い洞察を探しています。それ以外のことも歓迎します。 編集：この問題の硬度の証拠はありますか？コンパクトな番号は常に存在しますか？

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2人の騎士が互いに攻撃することなく、チェス盤に配置できる騎士の最大数を見つける問題を考えてみましょう。答えは32です。完全に一致するものを見つけるのはそれほど難しくありません（ナイトの動きによって誘導されるグラフは2部から成り、4×4のボードに完全に一致します）。これは明らかに最小のエッジカバーです。それは答えがあることを証明することも難しいことではありません⌈mn2⌉⌈mn2⌉\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceilのためのm×nm×nm \times nチェス盤たびにm,n≥3m,n≥3m,n \geq 3：それがためにマッチングを示すために十分で3≤m,n≤63≤m,n≤63 \leq m,n \leq 6と誘導フットワークのビットを行います。 一方、チェス盤がトロイダルでm,nm,nm, nが偶数の場合、プルーフは小さなボードのマッチングを表示する必要さえありません：マップ(x,y)→(x+1,y+2)(x,y)→(x+1,y+2)(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)は偶数長のサイクルなので、完全に一致する必要があります。 長方形のチェス盤に相当するものはありますか？すなわち、十分に大きいm,nm,nm, nで常にチェス盤が完全に一致することを示す簡単な方法はありますか？大きなボードの場合、長方形のボードとトロイダルのボードは、欠けているエッジの割合がゼロになるという意味でほぼ同等ですが、その場合に完全なマッチングを保証する理論的な結果は知りません。 何の代わりにジャンプする、場合のいずれかの方向に、騎士は跳ね上がった（2 、3 ）のいずれかの方向に正方形を？または、その問題については、（p 、q ）平方、p + q奇数、p 、q共素数？そこにいる場合である答えがあることを証明する簡単な方法⌈ メートルのnが(1,2)(1,2)(1, 2)(2,3)(2,3)(2, 3)(p,q)(p,q)(p, q)p+qp+qp+qp,qp,qp, q十分に大きいため、M、N（たとえば、M、N≥C（P、Q））、何がC（P、Q）のようなルック？⌈mn2⌉⌈mn2⌉\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceilm,nm,nm, nm,n≥C(p,q)m,n≥C(p,q)m, n \geq C(p, q)C(p,q)C(p,q）C(p, q)

14 co.combinatorics  matching 

これは宿題ではありませんが、見た目は似ています。参照は大歓迎です。:-) シナリオ：あり異なるボールと異なるビン（1〜標識さ左から右には、）。各ボールは独立して均一にビンに投入されます。してみましょう内ボールの数も〜番目のビン。してみましょう次のイベントを示します。n n f （i ）i E innn nnn nnnf(i)f(i)f(i)iiiEiEiE_i ごとに、Σ K ≤ j個の F （K ） ≤ J - 1j≤ij≤ij\le i∑k≤jf(k)≤j−1∑k≤jf(k)≤j−1\sum_{k\le j}{f(k)} \le j-1 すなわち、まず、あるビン（最も左のビンは）より少ないが含まそれぞれに、ボール。J J J ≤ Ijjjjjjjjjj≤ij≤ij\le i 質問：推定、の点で？が無限になったとき。下限が優先されます。簡単に計算できる式は存在しないと思います。 n n∑i&lt;nPr(Ei)∑i&lt;nPr(Ei)\sum_{i<n}{Pr(E_i)}nnnnnn 例： 。Pr（E_n）= 0に注意してください。limn→∞Pr(E1)=limn→∞(n−1n)n=1elimn→∞Pr(E1)=limn→∞(n−1n)n=1e\lim\limits_{n\to\infty}{Pr(E_1)}=\lim\limits_{n\to\infty}{(\frac{n-1}{n})^n}=\frac{1}{e}Pr(En)=0Pr(En)=0Pr(E_n)=0 私の推測：nが無限になったとき、\ sum_ {i &lt;n} {Pr（E_i）} = \ ln nを推測します。合計の最初の\ ln n項目を検討しました。∑i&lt;nPr(Ei)=lnn∑i&lt;nPr(Ei)=ln⁡n\sum_{i<n}{Pr(E_i)}=\ln nnnnlnnln⁡n\ln n

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Emo Welzlがこの夏にこのテーマについて話すのを聞いた後、平面内の点のセットの三角形分割の数が約Ω （8.48 n）とO （30 n）の間にあることがわかります。古くなった場合はおApびします。アップデートを歓迎します。nnnΩ （ 8.48n）Ω（8.48n）\Omega(8.48^n)O （ 30n）O（30n）O(30^n) 私はこれをクラスで言及し、簡潔な賢明な発言でフォローアップして、学生に（a）この量を特定するのが非常に困難であることが証明された理由、および（b）それを特定することに非常に多くの注意を払う理由を学生に伝えたいと思いました。どちらの問題も明らかにするのに十分な答えがなかったことがわかりました。私の賢さのためにそんなに！ これらの明らかに曖昧な質問に対するあなたの理解に感謝します。ありがとう！

14 co.combinatorics  cg.comp-geom 

無向、正則グラフ所与、その直径との関係は何である-として定義され、そのコンダクタンス- 2つのノード間の最大距離として定義される分S ⊂ V E （S 、SのC）G=(V,E)G=（V、E）G=(V,E)ここでe（S、Sc）はSとScの間で交差するエッジの数です。minS⊂V e(S,Sc)min(|S|,|Sc|),分S⊂V e（S、Sc）分（|S|、|Sc|）、\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},e(S,Sc)e（S、Sc）e(S,S^c)SSSScScS^c より具体的には、直径が少なくとも（または最大）であることを知っていると仮定します。これは、コンダクタンスについて何か教えてくれますか？そして、逆に、コンダクタンスが最大（または少なくとも）αであることを知っていると仮定します。これは、直径について何か教えてくれますか？DDDαα\alpha

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Kargerのmincutアルゴリズムを使用して、グラフが持つことができる可能性のあるmincutの最大数が(n2)(n2)n \choose 2。 私は、ミニカットのセットから全単射（むしろ単射）証明を別のカーディナリティ。特別な理由はありませんが、それは単なる好奇心です。自分でやってみましたが、今のところ成功していません。私は誰もこれについて時間を浪費したくないので、質問が無意味であると思われる場合、私はモデレーターにそれに応じた行動を取るよう要求します。(n2)(n2)n \choose 2 ベスト-Akash

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Cohn、Kleinberg、Szegedy、Umansは、独創的な論文である行列乗算のグループ理論アルゴリズムで、一意に解決可能なパズル（以下で定義）とUSP容量の概念を紹介しています。彼らは、銅細工とウィノグラードは、自分の画期的な論文でいると主張等差数列を経由して行列の乗算、「暗黙のうちに」USP容量があることを証明3/22/33/22/33/2^{2/3}。この主張は他のいくつかの場所（ここではcstheoryを含む）で繰り返されていますが、説明はどこにもありません。以下は、CoppersmithとWinogradが証明していること、そしてなぜそれが十分ではないかについての私自身の理解です。 それは、USP能力があることは事実である3/22/33/22/33/2^{2/3}？もしそうなら、証拠の参照はありますか？ ユニークに解けるパズル 長さの一意に解けるパズル（USP）nnn及び幅kkkのサブセットから成る{1,2,3}k{1,2,3}k\{1,2,3\}^kサイズのnnn、我々は、三点の集合として考える、nnn「個」は（場所に対応ベクトルは111、場所は222、場所は333）であり、次の特性を満たします。すべての111個をnnn行に配置するとします。次に、他のピースを各行に1つずつ配置して、「適合する」ようにするユニークな方法が必要です。 ましょN(k)N(k)N(k)幅のUSPの最大の長さkkk。USP容量がある κ=supkN(k)1/k.κ=supkN(k)1/k. \kappa = \sup_k N(k)^{1/k}. USPでは、片のそれぞれが一意である必要がある-ない2行は、シンボル含まないことをその手段c∈{1,2,3}c∈{1,2,3}c \in \{1,2,3\}正確に同じ場所です。これは、（短い引数の後） などκ≤3/22/3N(k)≤∑a+b+c=kmin{(ka),(kb),(kc)}≤(k+22)(kk/3),N(k)≤∑a+b+c=kmin{(ka),(kb),(kc)}≤(k+22)(kk/3), N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3}, κ≤3/22/3κ≤3/22/3\kappa \leq 3/2^{2/3}。 例（長さおよび幅 USP ）： 長さおよび幅例ではなく、および -ピースは2つの異なる方法で配置できます： 4 1111 2131 1213 2233 3 3 2 3 12344444411112131121322331111213112132233\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ …

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Ramsey番号の定義は次のとおりです。 LET 少なくともためのすべてのグラフような正の数である上のクリークのいずれか含ま頂点または上の安定集合頂点を。R （a 、b ）R（a、b）R(a,b)R （a 、b ）R（a、b）R(a,b)aaabbb Ramsey Numbersの拡張に取り組んでいます。この研究には理論的な興味がありますが、これらの数字の動機を知ることは重要です。より具体的には、ラムジー数の（理論的または実用的な）応用を疑問に思っています。たとえば、Ramsey番号を使用する現実の問題の解決方法はありますか？または同様に、ラムジー数に基づいたいくつかの定理の証拠はありますか？

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背景 この質問は、「ドラキュラ」と呼ばれるボードゲームによって動機付けられています。このゲームでは、吸血鬼が1人とハンターが4人います。ハンターの目的は吸血鬼を捕まえることです。ゲームはヨーロッパで行われます。ゲームは次のようになります 。1.ハンタープレイヤーはすべてのハンターを都市に置きます。同じ都市に複数のハンターを配置できます。 2.吸血鬼プレイヤーは吸血鬼を都市に置きます。 3.プレイヤーは、クリーチャーを隣接する都市に交互に移動します。 4.ハンタープレイヤーは自分の順番で、好きなだけハンターを移動できます。 5.主な難点は、吸血鬼のプレイヤーは常にハンターのいる場所を知っているが、ハンタープレイヤーは吸血鬼の開始位置のみを知っていることです。 6.ハンターと吸血鬼が都市で会うとき、吸血鬼プレーヤーは負けます。 質問 与えられたグラフと数字nおよびkに対して、nハンターを制御するハンタープレイヤーがkターン未満で吸血鬼を捕まえることを保証する戦略はありますか？Gは平面であると仮定できます。この問題は研究されましたか？いくつかの参考文献をいただければ幸いです。GGGnnnkkknnnkkkGGG

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最大独立セットの以下のLP緩和を試しました max∑iximax∑ix私\max \sum_i x_i st xi+xj≤ 1 ∀ （I 、J ）∈ E s.t. xi+xj≤1 ∀（私、j）∈E\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E バツ私≥ 0バツ私≥0x_i\ge 0 私が試したすべてのキュービック非二部グラフのすべての変数に対して1/21/21/2を取得します。 接続されているすべての立方体の2部グラフに当てはまりますか？ そのようなグラフに適したLP緩和はありますか？ 更新03/05： ネイサンが提案したクリークベースのLP緩和の結果は次のとおりです。 ここで実験をまとめました。 興味深いことに、最も単純なLP緩和が不可欠な非二部グラフがかなりあるようです。

13 graph-theory  co.combinatorics  linear-programming 

してみましょう有界クリーク幅を持つグラフのクラスです。Gの各グラフでは、いくつかのエッジが縮小されています（ランダムなど）。クリーク幅はまだ制限されていますか？GGGGGG （一般に）もはや制限されていない場合、反例に非常に興味があります。

13 graph-theory  co.combinatorics  cliquewidth 

最近、ホログラフィックアルゴリズムの概要を説明しました。Pfaffiansと呼ばれる組み合わせオブジェクトに出会いました。私は現時点でそれらについてあまりよく知らないので、それらが使用できる驚くべき用途に出くわしました。 たとえば、平面グラフの完全一致の数を効率的に数えるために使用できることを知りました。また、2 * 1タイルを使用してチェスボードの可能なタイルの数をカウントするために使用できます。タイリングの接続は私にとって非常に興味深そうに見えたので、ウェブ上でより関連性の高い資料を検索しようとしましたが、ほとんどの場所で、接続について1つまたは2つの文だけを見つけました。 私は、誰かが関連文献への言及を提案できるかどうかを尋ねるつもりでした。

13 reference-request  co.combinatorics  counting-complexity 

分散アルゴリズムの下限を証明するさまざまな手法を探っているうちに、Ramseyの定理の次のバリアントにアプリケーションが存在する可能性があることがわかりました。 パラメーター：、K、nが与えられ、次にNが十分に大きくなるように選択されます。用語：mサブセットは、サイズmのサブセットです。kkkKKKnnnNNNmmmmmm LET 。A={1,2,...,N}A={1,2,...,N}A = \{1,2,...,N\} してみましょうすべてで構成するk個の-subsets A。BBBkkkAAA してみましょうすべてで構成されてK用の-subsets B。CCCKKKBBB 着色割り当てるのCします。f:C→{0,1}f:C→{0,1}f\colon C \to \{0,1\}CCC 今ラムジーの定理（ハイパー版）は、我々が選択したどんなにと言う、そこにある単色のn -subset B "のBは：すべてのKの-subsets Bは「同じ色を持っています。fff nnnB′B′B'BBBKKKB′B′B' 私はさらに一歩進み、単色見つけたい -subset A 'のAを次の場合B ' ⊂ Bが全てから成るk個の-subsets A 'は、すべてのK個の-subsets Bは、「同じ色を有しています。nnnA′A′A'AAAB′⊂BB′⊂BB' \subset BkkkA′A′A'KKKB′B′B' これは本当ですか、それとも偽ですか？名前はありますか？参考文献を知っていますか？ 些細な理由でそれが偽である場合、この主張に似たより弱い変形はありますか？

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これは、Hフリーカットの問題に触発された質問です。グラフ、その頂点集合のパーティション所与へのR部V 1、V 2、... 、VのRがであるHの場合フリーG [ V I ]は、のコピー誘導しないHの全てについてI、1 ≤ I ≤ R。VVVrrrV1,V2,…,VrV1,V2,…,VrV_1, V_2, \ldots, V_rHHHG[Vi]G[Vi]G[V_i]HHHiii1≤i≤r1≤i≤r1 \leq i \leq r 次の質問を検討します。 r個の部分へのHフリーパーティションが存在する最小のは何ですか？rrrHHHrrr が単一のエッジである場合、これは色数を見つけることになり、すでにNP完全であることに注意してください。この問題の固定Hの NP完全性を表示する方が簡単かどうか（Hフリーカットの場合に比べて簡単です）。自明かもしれないと思いましたが、どこにも行きませんでした。私は非常に簡単なものを見逃している可能性が完全にあり、これが事実である場合、私はいくつかのポインタに感謝します！ HHHHHHHHH

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大きさn、V_nの任意の整数のベクトル表現があるとします このベクトルは、機械学習アルゴリズムへの入力です。 最初の質問：どのタイプの表現に対して、ニューラルネットワークまたは他のベクトルからビットへのMLマッピングを使用して、nの素数性/複合性を学習することができます。これは純粋に理論的なものです-ニューラルネットワークのサイズには制限がない可能性があります。 次のような素数性テストにすでに関連している表現を無視しましょう。nの因子のヌル区切りリスト、またはMiller Rabinなどの複合性証人の存在。代わりに、異なる基数の表現、または（多変量）多項式の係数ベクトルとしての表現に注目しましょう。または他のエキゾチックなものが想定されています。 2番目の質問：表現ベクトルの詳細に関係なく、MLアルゴリズムの種類があれば、これを学習することは不可能ですか？繰り返しますが、上記の例が示されている「自明では禁止されている」表現は省略しましょう。 機械学習アルゴリズムの出力は、1ビット、素数の場合は0、複合の場合は1です。 この質問のタイトルは、質問1のコンセンサスが「不明」であり、質問2のコンセンサスが「おそらくほとんどのMLアルゴリズム」であるという私の評価を反映しています。これ以上のことは分からないので、私はこれを求めています。 この質問の主な動機は、ある場合、特定のサイズのニューラルネットワークでキャプチャできる素数のセットの構造に「情報理論」の制限があるかどうかです。私はこの種の用語の専門家ではないので、この考えを何度か言い直し、概念のモンテカルロ近似を得るかどうかを確認します。素数の集合のアルゴリズムの複雑さは何ですか？素数がディオファントイン再帰的に列挙可能であるという事実（および特定の大きなディオファントス方程式を満たすことができる）を使用して、上記の入力と出力を使用してニューラルネットワークの同じ構造をキャプチャできます。

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