チェス盤で完璧に一致しますか？

2人の騎士が互いに攻撃することなく、チェス盤に配置できる騎士の最大数を見つける問題を考えてみましょう。答えは32です。完全に一致するものを見つけるのはそれほど難しくありません（ナイトの動きによって誘導されるグラフは2部から成り、4×4のボードに完全に一致します）。これは明らかに最小のエッジカバーです。それは答えがあることを証明することも難しいことではありません$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$のための$m \times n$チェス盤たびに$m,n \geq 3$：それがためにマッチングを示すために十分で$3 \leq m,n \leq 6$と誘導フットワークのビットを行います。

一方、チェス盤がトロイダルで$m, n$が偶数の場合、プルーフは小さなボードのマッチングを表示する必要さえありません：マップ$(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$は偶数長のサイクルなので、完全に一致する必要があります。

長方形のチェス盤に相当するものはありますか？すなわち、十分に大きい$m, n$で常にチェス盤が完全に一致することを示す簡単な方法はありますか？大きなボードの場合、長方形のボードとトロイダルのボードは、欠けているエッジの割合がゼロになるという意味でほぼ同等ですが、その場合に完全なマッチングを保証する理論的な結果は知りません。

何の代わりにジャンプする、場合のいずれかの方向に、騎士は跳ね上がった（2 、3 ）のいずれかの方向に正方形を？または、その問題については、（p 、q ）平方、p + q奇数、p 、q共素数？そこにいる場合である答えがあることを証明する簡単な方法⌈ メートルの$(1, 2)$$(2, 3)$$(p, q)$$p+q$$p, q$十分に大きいため、M、N（たとえば、M、N≥C（P、Q））、何がC（P、Q）のようなルック？$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m, n$$m, n \geq C(p, q)$$C(p, q)$

答えはありません全て大型のためのM、Nなどであれば、P=6とQ=3。どうして？残りのために注意してください$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$現在、グラフは3つの2部グラフの（頂点）互いに素な結合であり、それぞれから大きな半分を選択できます。たとえば、 m = n = 100の場合、この方法で（少なくとも）5002騎士を配置できます。（これは、 x + $\mod 3$$m=n=100$三対にある6つのクラス、ペアの基数の違いを有する 1 、1 、2）。$x+y \mod 6$$1,1,2$

とqが相対素数であるという条件を追加するとどうなるかわかりません。（離れた2除数から、これはと等価であることに留意されたいP + Qおよびpは- qは相対素数であり、実際にはこれは、我々が必要であることを条件ともどの番組であるのp + qは奇数であることが必要です。）$p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$