理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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非決定性回路の能力を示す例
非決定的ブール回路には、通常の入力に加えて、「非決定性」入力のセットy = （y 1、… 、y m）があります。非決定論的回路Cは、回路xが1を出力するようにyが存在する場合、入力xを受け入れます（x 、y ）。P / p o l yと同様x=(x1,…,xn)x=(x1,…,xn)x = (x_1,\dots,x_n)y=(y1,…,ym)y=(y1,…,ym)y=(y_1,\dots,y_m)CCCxxxyyy111(x,y)(x,y)(x,y)P/polyP/polyP/poly（多項式サイズの回路によって決定可能な言語のクラス）、は、多項式サイズの非決定的回路によって決定可能な言語のクラスとして定義できます。広く、特に、非決定回路は決定的回路よりも強力であると考えられているN P ⊂ P / P oをL yは多項式階層が崩壊することを意味します。NP/polyNP/polyNP/polyNP⊂P/polyNP⊂P/polyNP \subset P/poly 文献には、非決定的回路が決定的回路よりも強力であることを示す明示的な（および無条件の）例がありますか？ 特に、 サイズc nの非決定論的回路で計算できるが、サイズ（c + ϵ ）nの決定論的回路では計算できない関数ファミリーを知っていますか？{fn}n>0{fn}n>0\{f_n\}_{n > 0}cncncn(c+ϵ)n(c+ϵ)n(c+\epsilon)n
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CNFを暗号化することは可能ですか？
CNF変換することが可能である別のCNFにΨ （C）となるようCC\mathcal CΨ(C)Ψ(C)\Psi(\mathcal C) 関数は、秘密のランダムパラメーターrから多項式時間で計算できます。ΨΨ\Psirrr 場合に解を有する場合にのみ Cは解を有します。Ψ(C)Ψ(C)\Psi(\mathcal C)CC\mathcal C Ψ （C）の解は、rを使用してCの解に効率的に変換できます。xxxΨ(C)Ψ(C)\Psi(\mathcal C)CC\mathcal Crrr なければ、解x（またはΨ （C）のその他のプロパティ）はCを解くのに役立ちません。rrrxxxΨ(C)Ψ(C)\Psi(\mathcal C)CC\mathcal C このようながある場合、それを使用して他の計算の課題を解決するために使用できます（CNFの解決を他の問題に置き換える可能性があります-問題をより具体的にしたかったのでCNFを選択しました）解決に使用した問題を知っていても、可能な解決策から利益を得ることはできません。たとえば、コンピューターゲームに因数分解の問題を埋め込むと、プレーヤーはバックグラウンドで問題に取り組んでいる場合にのみプレイできるようになり、計算の証明を時々送信することができます。この方法でソフトウェアを「無料」にすることもできます。「無料」では、両親の電気代に（おそらくより高い）コストが隠れます。ΨΨ\Psi
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コルモゴロフの複雑性の計算不能性は、ローヴェアの固定小数点定理から得られますか？
多くの定理と「パラドックス」-カントールの対角化、憎しみの決定不能性、コルモゴロフ複雑性の決定不能性、ゲーデル不完全性、チャイティン不完全性、ラッセルのパラドックスなど-すべてが本質的に対角化による同じ証明を持っています（これは、すべては対角化によって証明されます。むしろ、これらの定理はすべて同じ対角化を実際に使用していると感じています。詳細については、例えばYanofskyを参照するか、より簡潔で形式化されていない説明については 、この質問に対する私の答えを参照してください）。 上記の質問に関するコメントの中で、サショ・ニコロフは、それらのほとんどがローヴェアの不動点定理の特別なケースであると指摘しました。それらがすべて特殊なケースである場合、これは上記のアイデアを捉える良い方法です。実際には、1つの証明（ローベレ）の結果が1つあり、そこから上記のすべてが直接の結果として続きます。 現在、ゲーデルの不完全性と停止問題とその友人の決定不能性については、彼らがLawvereの不動点定理（例えば、here、hereまたはYanofskyを参照）に従うことはよく知られています。しかし、基礎となる証明が何らかの形で「同じ」であるという事実にもかかわらず、コルモゴロフの複雑さの決定不能性のためにそれをどのように行うかすぐにはわかりません。そう： コルモゴロフの複雑性の決定不能性は、ローヴェアの固定小数点定理の追加の対角化を必要としない迅速な結果ですか？
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PSPACEを多項式階層から分離する最小の複雑度のオラクルは何ですか？
バックグラウンド P S P A C E A ≠ P H AであるようなオラクルAが存在することが知られています。AAPSPACEA≠PHAPSPACE^A \neq PH^A ランダムな神託に関連して分離が成立することさえ知られています。非公式には、これをP S P A C EPSPACEPSPACEとP HPHPHが別々の多くのオラクルがあることを意味すると解釈するかもしれません。 質問 P S P A C EPSPACEPSPACEとP Hを分離するこれらのオラクルはどれほど複雑ですかPHPH。特に、OracleあるA ∈ D T I M Eは、（2 2 N）A∈DTIME(22n)A \in DTIME(2^{2^{n}})ように、 P S P A C E A ≠ P H APSPACEA≠PHAPSPACE^A …
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円の有限集合を囲む最小の円を計算しない方法
に有限のディスクセットLLLがあり、に対して最小のディスクを計算するとします。これを行うための標準的な方法は、基底見つけるためMatoušek、SharirとWelzl [1]のアルゴリズムを使用することであるの、およびlet含む最小のディスク。ディスク以来、事実用いて代数的に計算することができる基礎で、各ディスク接線である。 D⋃L⊆DBLD=⟨B⟩⋃B⟨B⟩BB⟨B⟩R2R2\mathbb{R}^2DDD⋃L⊆D⋃L⊆D\bigcup L\subseteq DBBBLLLD=⟨B⟩D=⟨B⟩D=\langle B\rangle⋃B⋃B\bigcup B⟨B⟩⟨B⟩\langle B\rangleBBBBBB⟨B⟩⟨B⟩\langle B\rangle （ある基準の場合最小となるように A単位は有する最も三つの要素で;におけるボールのための一般的に基礎最大で要素があります。）L B ⟨ B ⟩ = ⟨ L ⟩ のR dは D + 1B⊆LB⊆LB\subseteq LLLLBBB⟨B⟩=⟨L⟩⟨B⟩=⟨L⟩\langle B\rangle=\langle L\rangleRdRd\mathbb{R}^dd+1d+1d+1 次のようなランダム化された再帰アルゴリズムです。（ただし、理解しやすい反復バージョンについては以下を参照してください。） 手順：入力：ディスク、有限セット、ここでは（）基底です。MSW(L,B)MSW(L,B)MSW(L, B) B B BLLLBBBBBBBBB 場合、返します。BL=∅L=∅L=\varnothingBBB それ以外の場合は、をランダムに選択します。X∈LX∈LX\in L LET B′←MSW(L−{X},B)B′←MSW(L−{X},B)B'\leftarrow MSW(L-\{X\}, B)。 もしX⊆⟨B′⟩X⊆⟨B′⟩X\subseteq\langle B'\rangleそして返すB′B′B'。 B " B " ∪ { X }MSW(L,B′′)MSW(L,B″)MSW(L, …
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プッシュダウンオートマトンとCFLへの「より代数的な」アプローチのリファレンスですか？
でSakarovitchの本オートマトン理論上、上のセクションへの導入に書かれている無料のグループの有理数、その中に提示された資料は、「文脈自由言語の真の数学的理論の基礎を」産むこと。それにもかかわらず、コンテキストフリー言語とプッシュダウンオートマトンは本の範囲を超えているため、これは明示的にされていません。 私は、フリーグループ（および特にSakarovitchが非自発的モノイドと呼ぶもの）とプッシュダウンオートマトンおよびコンテキストフリー言語の理論（たとえば、ダイク言語、シャミールの定理など）との関係を知っています。しかし、 Sakarovitchが言及した「コンテキストフリー言語の真の数学理論」が実際に構築されているソースを見つけるのは困難です。 私が見つけた最も近いものは、変換と文脈自由言語に関するBerstelの本です。しかし、一見、この本ではプッシュダウンオートマトンはわずかにしか扱われていないように見えますが、フリーグループの合理的なサブセットの理論はまったく適用されていません。おそらく、私が探している資料は、アイレンバーグのVolume Cを対象としたものでしたが、どちらについても定かではありません。 そこで、本、調査、またはおそらく一連の論文へのポインタを求めたいと思います。そこから、Sakarovitchの「文脈自由言語の真の数学理論」と、その自由群とその合理性との関係について学ぶことができます。サブセット。それとも、実際に存在しないものを探していますか？
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CSカンファレンスで論文を発表しようとする数学者へのアドバイスはありますか？
私は、主に自己随伴演算子とユニタリー演算子のスペクトル理論で働く数学者です。私の研究の一部は量子ウォークに関連しており、特に1月にシアトルで開催された量子情報処理会議で発表したい論文があります。 理論的なCSコミュニティの文化は、数学コミュニティとは非常に異なっているようです。数学の会議ではその言語を使用しないため、会議で「論文を発表する」ことの意味を調べる必要さえありました。 この会議で検討するために論文を発表する際にアドバイスをもらえるかどうか疑問に思っていました。私の論文へのarXivリンクに加えて、1〜3ページの拡張された要約を提供することになっています。そのような文書では通常何が期待されますか？ たとえば、数学的機械についてどの程度話すべきですか？オーガナイザーは、証明の（非常に困難で技術的な）詳細を気にしますか、それともアルゴリズムを述べ、それが機能することを主張し、なぜコンピューターサイエンスに関連するのかを説明する必要がありますか？
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可能な限り最小の汎用コンビネーター
私は、ラムダ計算でこのようなコンビネータを指定するために必要な抽象化とアプリケーションの数で測定される、可能な限り最小の汎用コンビネータを探しています。ユニバーサルコンビネータの例は次のとおりです。 サイズ23： λf.f（fS（KKKI））K サイズ18： λf.f（fS（KK））K サイズ14： λf.fKSK サイズ12： λf.fS（λxyz.x） サイズ11： λf.fSK ここで、サイズ6の S =λxyz.xz（yz）とサイズ2の K =λxy.x は、SKコンビネーター計算のコンビネーターです。このホワイトペーパーでは、最初の4つの例について説明します。 私の質問は： サイズが小さいユニバーサルコンビネーターはありますか？ 可能な限り最小のユニバーサルコンビネータとは何ですか？ 編集：https : //math.stackexchange.com/a/180263/76284も参照してください。これはλazbc.bc(a(λy.c))、サイズが8で、SKベースのサイズの合計に一致します。このコンビネータからSとKを表現する方法を知っている人はいますか？
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NP完全問題の相転移はどのくらい一般的ですか？
多くのNP完全問題が相転移を示すことはよく知られています。ここで、アルゴリズムに対する入力の難しさではなく、言語の抑制に関するフェーズ遷移に興味があります。 この概念を明確にするために、次のように正式に定義しましょう。言語LLLは、次の場合に（封じ込めに関して）相転移を示します。 あるオーダーパラメータ r(x)r(x)r(x)多項式時間計算可能、インスタンスの実数値関数です。 しきい値 がありtttます。これは実定数であるか、依存する可能性があります。x | n=|x|n=|x|n=|x|、つまりt=t(n)t=t(n)t=t(n)です。 ほぼすべての場合xxxとr(x)<tr(x)<tr(x)t、我々が持っているx∉Lx∉Lx\notin L。 ほとんどすべてのについてxxx、であることが保持されr(x)≠tr(x)≠tr(x)\neq tます。（つまり、移行領域は「狭い」。） 多くの自然なNP完全問題は、この意味で相転移を示します。例には、SATの多数のバリアント、すべての単調グラフプロパティ、さまざまな制約充足問題、およびおそらく他の多くのものがあります。 質問：「いい」例外はどれですか？上記の意味で（おそらく）相転移のない自然なNP完全問題がありますか？
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剰余類交差問題の複雑さ
対称群を考えると2つのサブグループ、および、しホールド？SnSnS_nG 、H≤ SnG、H≤SnG, H\leq S_nπ∈ Snπ∈Sn\pi\in S_nG π∩ H= ∅Gπ∩H=∅G\pi\cap H=\emptyset 私の知る限り、この問題は剰余類交差問題として知られています。何が複雑なのだろうか？特に、この問題はcoAMにあることが知られていますか？ さらに、がアーベル型に制限されている場合、複雑さはどうなりますか？HHH
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最小累積セット合計
この問題を考えてみましょう：有限集合のリストが与えられたら、最小化する順序s1、s2、s3、…s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \ldotsを見つけます| s1| + | s1∪ S2| + | s1∪ S2∪ S3| +…|s1|+|s1∪s2|+|s1∪s2∪s3|+…|s_1| + |s_1 \cup s_2| + |s_1 \cup s_2 \cup s_3| + \ldots。 このための既知のアルゴリズムはありますか？その複雑さは何ですか？私はまだ効率的な最適なアルゴリズムを考えることができませんでしたが、NP-Hardでも明らかにそうではありません。
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非決定的回路のサイズの下限
パリティ関数を計算する回路の最小サイズは正確に等しいことが知られています。下限証明は、ゲート除去法に基づいています。うん2うん2U_23 （n − 1 ）3（n−1）3(n-1) 最近、ゲート除去法が非決定的回路にもうまく機能することに気付き、パリティ関数を計算する非決定的回路のサイズの下限を証明できます。うん2うん2U_23 （n − 1 ）3（n−1）3(n-1)うん2うん2U_2 （これは、非決定的計算は回路によるパリティの計算には役に立たず、サイズを3 （n − 1 ）から減らすことができないことを意味します。したがって、最小回路は決定的場合から変化しません。）うん2うん2U_23 （n − 1 ）3（n−1）3(n-1) 私の質問は次の2つです。 （1）これは新しい結果ですか、それとも既知の結果ですか？ （2）より一般的には、無制限の非決定的入力ビット（つまり、無制限の非決定性）が明示的な場合、非決定的回路（式、定深度回路などを含む）のサイズの下限の既知の結果があります関数？ 追加説明（2014年11月27日） 2番目の質問では、これが明示的な関数の無制限の非決定性を持つ非決定性回路（式、一定深さ回路などを含む）のサイズの最初の非自明な下限であるかどうかを特に知りたいと考えました。次のように、非決定性が制限されている場合、いくつかの結果があることを知っています。 [1] Hartmut Klauck：非決定性が制限された計算の下限。計算の複雑さに関するIEEE会議1998：141- [2] Vikraman Arvind、KV Subrahmanyam、NV Vinodchandran：一定深さの回路によるプログラムチェックのクエリの複雑さ。ISAAC 1999：123-132
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ブルームフィルターの従来の分析は間違っていますか？
このホワイトペーパーでは、ブルームフィルターのエラー率の従来の分析は正しくないと主張し、実際のエラー率の長くて重要な分析を提供します。リンクされた論文は2010年に公開されましたが、ブルームフィルターの従来の分析は、さまざまなアルゴリズムとデータ構造のコースで教えられ続けています。 ブルームフィルターの従来の分析は実際に間違っていますか？ ありがとう！
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非ブール関数の3nよりも良い下限？
Blumの下限は、明示的な関数完全な基底で最もよく知られている回路の下限を参照してください。関連する結果については、この質問に対するJuknaの回答。3n−o(n)3n−o(n)3n-o(n)f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f : \{0,1\}^n \to \{0,1\} の範囲が場合、最もよく知られている下限は何ですか？特に、、または、より良い結果が得られますか？{ 0 、1 } M M = N M = 2fff{0,1}m{0,1}m\{0,1\}^mm=nm=nm = nm=2m=2m = 2
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