PSPACEを多項式階層から分離する最小の複雑度のオラクルは何ですか？

バックグラウンド

ようなオラクルが存在することが知られています。 $A$ $PSPACE^A \neq PH^A$

ランダムな神託に関連して分離が成立することさえ知られています。非公式には、これを $PSPACE$ と $PH$ が別々の多くのオラクルがあることを意味すると解釈するかもしれません。

質問

$PSPACE$ とを分離するこれらのオラクルはどれほど複雑ですか $PH$ 。特に、Oracleある $A \in DTIME(2^{2^{n}})$ ように、 $PSPACE^A \neq PH^A$ ？

我々は、任意のOracle持っていますようにおよび上限知られている複雑さを持っているの？ $A$ $PSPACE^A \neq PH^A$ $A$

注：このような神託の存在は、構造的複雑性理論に影響を与える可能性があります。詳細については、以下の更新を参照してください。

下限テクニックの詳細を更新

要求：場合、すべてのオラクル、 $PSPACE = PH$ $A \in P/poly$ $PSPACE^A = PH^A$ 。

証明スケッチ：と仮定し $PSPACE = PH$ ます。

オラクルましょ $A \in P/poly$ 挙げられます。我々は、多項式時間構築でき $\Sigma_2$ オラクルチューリングマシン $M$ 所与の長さのためにその $n$ 、サイズの回路推測 $p(n)$ 存在量化及び回路が決定することを確認し使用して $A$ 回路の評価を比較することによって、およびクエリ結果を普遍的な数量化を使用して、長さ $n$ 文字列ごとに。

さらに、定量化ブール回路が与えられ、それが有効かどうかを知りたい（QBFと同様）定量化ブール回路（QBC）と呼んでいる決定問題について考えてみましょう。QBFはPSPACE完全であるため、この問題はPSPACE完全です。

仮定することで、QBCことになる $\in PH$ 。レッツは言う $QBC \in \Sigma_k$ いくつかのために $k$ 十分に大きいです。レッツ $N$ 多項式時間表す $\Sigma_k$ QBCを解決チューリングマシンを。

我々は、の計算混在でき及び多項式時間取得する（カープ・リプトン定理の証明で行われるものと同様）をのOracleチューリングマシンを解決すること。 $M$ $N$ $\Sigma_k$ $QBC^A$

非公式には、この新しいマシンは入力としてoracle QBC（oracleゲートを持つQBC）を取ります。次に、長さ入力でを計算する回路を計算します（最初の2つの数量詞を同時にピーリングします）。次に、oracle QBCのoracleゲートをの回路に置き換えます。最後に、多項式時間の残りの適用に進み、解くためのアルゴリズムをこの変形例に。 $A$ $n$ $A$ $\Sigma_k$ $QBC$

これで、条件付き下限を表示できます。

推論：オラクルが存在する場合はようは、。 $A \in NEXP$ $PSPACE^A \neq PH^A$ $NEXP \nsubseteq P/poly$

証明の概略：が存在すると仮定そのようなこと。場合、その後、我々は矛盾になるだろう。 $A \in NEXP$ $PSPACE^A \neq PH^A$ $NEXP \subseteq P/poly$

特に、場合は、上記請求項によって我々は。しかし、ことが知られているあることを意味。 $NEXP \subseteq P/poly$ $PSPACE \neq PH$ $NEXP \subseteq P/poly$ $PSPACE = PH$

（P / polyの既知の結果の詳細については、こちらをご覧ください）

— マイケル・ウェハール
ソース

おそらく、PSPACE

PH であると推測されることに言及する価値があります。すなわち、ささいな神託がするだろうが、それを証明することはできない。≠ $\ne$

— トーマスはモニカをサポートします

どのように、正確に、相対化されたPSPACEを定義しますか？文献には複数の可能性があります。特に、Oracleクエリは多項式で制限されていると想定されていますか？

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

PHに、元の式の2 ^ n qbfsをすべて決定する大きな単調なブール式「Q式の構築」を含めますか？Qフォーミュラの詳細については、QSpaceの概要、2002 Satisfiability Conference、QBFSに関する国際ワークショップを参照してください。

— ダニエルpehoushek

SEHにいるそのような

が「構造的複雑性理論に影響を与える」ことを、下限として示すことができると思います。かなりすぐに投稿する必要がありますか（明日または30分以内に意味する可能性があります）、または十分なクラスで回答が得られる可能性が高いため、これをより長く未回答のままにしますか？A $A$

ランダムなオラクルはコルモゴロフの複雑さが高いことを考えると、このようなオラクルの計算可能な上限は注目に値する結果になると思います。単一指数などの強力な上限は、強力な結果をもたらすはずです。（もちろん、この議論は純粋に発見的であり、私は現在それを厳密にする方法がわかりません。）

— アンドラスサラモン

たとえば、Ker-I Koの調査のセクション4.1で与えられた議論をたどると、上限が得られると思います。実際、ここでを任意の関数で置き換えることができます。ここで、はです。これは要求されたものとはまったく異なりますが、近いです。 $\mathsf{DTIME}(2^{2^{O(n^2)}})$ $n^2$ $nf(n)$ $f(n) \to \infty$ $n \to \infty$

特に、オラクルの分離と回路の下限の間の変換を使用し、Koの表記法に従うと、次のようになります。

我々は、長さの文字列上対角化します ""である（ポリ-タイム・アルゴリズムのいくつかの列挙で）番目の多項式とは以下で指定されます。 $t(n) = p_n(m(n))$ $p_n(x) = x^n + n$ $n$ $m(n)$
回路の下限に変換すると、これは、入力の境界深さの回路を検討していることを意味します。 $2^{t(n)}$
要件（Koのp。15を参照を満たすにはが必要です $m(n)$ のすべてのため。ここで、我々が反対対角化する回線の深さである、または同等レベルの我々はに対して対角化したいです。全てに対して対角化する、単に選択関数であることがであり、。私達はそのような選ぶかもしれません $\frac{1}{10} 2^{m/(d-1)} > d p_n(m(n))$ $n$ $d$ $\mathsf{\Sigma_d^p}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $d$ $n$ $\omega(1)$ $d$ しかし、それはslowly意的にゆっくりと成長します（おそらくでの計算可能性の仮定に従いますが、それは障害にならないはずです）。が一定であると推測した場合（そうでない場合でも、任意にゆっくり成長します）、あたりのが機能するはずです。 $d(n)$ $d(n)$ $m(n)$ $2^n$
これは、、我々はより低いと回路に対してバインドを探しているので入力。 $t(n) \sim 2^{n^2}$ $\sim 2^{2^{n^2}}$
TrevisanとXue（CCC '13）は、入力の特定の有界回路が、長さ PARITYを計算しない割り当てを見つけることができることを示しました。 $N$ $polylog(N)$
私たちにとってはなので、です。時間でそのようなシードをブルートフォースし、動作する最初のシードを使用できます。 $N=2^{2^{n^2}}$ $polylog(N) = 2^{O(n^2)}$ $2^{2^{O(n^2)}}$

をに置き換えるには、代わりににします。 $n^2$ $nf(n)$ $p_n(x) = x^{f(n)} + f(n)$

興味深いことに、私が正しく理解していれば、これは、トレビザンシュエを改善できれば...

...にpseudodeterministic /ベラージオのアルゴリズム（以下アンドリュー・モーガンさんのコメントを参照）、1を得るだろうと ; または $\mathsf{BPEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$
... ビットを推測したが、その後時間で実行され、受け入れパスで同じ出力を生成する非決定性アルゴリズム（cf. ）、それが暗示する、または $polylog(N)$ $poly(N)$ $\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$
...決定論的アルゴリズムに、一つはなるだろう。 $\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

一方で、これは、スイッチング補題のランダム化をさらに解除するのが難しい理由を示唆します。一方、これは硬さ対ランダム性に関する一種の興味深い見方として私に印象を与えます（または、これは実際には新しいもの、オラクル対ランダム性ですか？）。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

ここで取り上げられている課題の1つは、構築されるオラクルが単一の固定オラクルでなければならないということです。そのため、決定するのはBPEXPなどです。良いジェネレーターのランダムシードを選択するだけで、機能するオラクルを取得している間、そのオラクルの決定手順を取得する必要はありません。シードが異なると（一般に）オラクルが異なるためです。構築を実際に「建設的」にするためには、標準的なシードを見つけるなど、さらに何かをする必要があります。

— アンドリューモーガン

引数はBPEXPを与えませんが、複雑さを有限レベルのEXPHまで下げることができますか？

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

@EmilJeřábek：詳細をチェックせず、私は思います

動作するはずです。使用してシードを推測

、それを使用して作品を確認

、およびそれが使用辞書少なくとも種であることを確認し

、合計

。 $\mathsf{\Sigma_3 EXP}$

$\exists$

$\forall$

$\neg\exists\forall = \forall \exists \neg$

$\exists\forall\exists$

— ジョシュアグロチョフ

@EmilJerabek：もちろん、少なくともこれをさらに改善できる

ことができれば（新しい回路の下限を証明せずに改善することはできませんが）、それを行う方法はまだわかりません... $\mathsf{MA_{EXP}}$

— ジョシュアグロチョフ

@JoshuaGrochowええ、元の投稿は問題ないようです。実行時間は指数関数であるEXPHでオラクルを作成できると仮定したEmilへの返事に反対しました。振り返ってみると、私はそれについてもっと明確にすべきだった。

— アンドリューモーガン