NP完全問題の相転移はどのくらい一般的ですか？

多くのNP完全問題が相転移を示すことはよく知られています。ここで、アルゴリズムに対する入力の難しさではなく、言語の抑制に関するフェーズ遷移に興味があります。

この概念を明確にするために、次のように正式に定義しましょう。言語$L$は、次の場合に（封じ込めに関して）相転移を示します。

1. あるオーダーパラメータ $r(x)$多項式時間計算可能、インスタンスの実数値関数です。

2. しきい値 があり$t$ます。これは実定数であるか、依存する可能性があります。x $n=|x|$、つまり$t=t(n)$です。

3. ほぼすべての場合$x$と$r(x)<t$、我々が持っている$x\in L$。（ここではほぼすべての意味：ゼロを除くほとんどすべて、つまりとして比率が1に近づき$n\rightarrow\infty$ます）。

4. ほぼすべての場合$x$と$r(x)>t$、我々が持っている$x\notin L$。

5. ほとんどすべてのについて$x$、であることが保持され$r(x)\neq t$ます。（つまり、移行領域は「狭い」。）

多くの自然なNP完全問題は、この意味で相転移を示します。例には、SATの多数のバリアント、すべての単調グラフプロパティ、さまざまな制約充足問題、およびおそらく他の多くのものがあります。

質問：「いい」例外はどれですか？上記の意味で（おそらく）相転移のない自然なNP完全問題がありますか？

この分野の専門研究者は基本的に、相転移はNP完全問題の普遍的な特徴であると断言しています研究のブランチ）。そのほぼ開かれた推測。強力な証拠があります。非相転移NP完全問題のもっともらしい候補はありません。このPOVをサポートする2つの参照があります：

• NP完全問題の相転移：確率、組み合わせ論、コンピューターサイエンスへの挑戦 /ムーア

• 相転移挙動 /ウォルシュ（ppt）

ここに主張の真実の大まかなスケッチがあります。NPに含まれるPが完了している必要があります。NP完全問題/言語には、P時間で解けるインスタンスと、P≠NPの場合に指数（または少なくともスーパー多項式）時間で解けるインスタンスが必要です。ただし、「非P」インスタンスからPインスタンスを「グループ化」する方法が常に必要です。したがって、Pインスタンスと非Pインスタンスの間には常に「遷移基準」も存在する必要があります。要するに、この現象は本質的にP≠NPと結びついているのかもしれません！

もう1つの大まかな議論：すべてのNP完全問題は、削減によって交換可能です。相転移が単一の相転移で見つかった場合、それらすべてで相転移を見つけなければなりません。

これに関するより多くの状況証拠、より最近（2010年）に、ランダムグラフでのクリーク検出の単調回路の下限に相転移が現れることが示されました。

• クリークの検出の平均的なケースの複雑さ / Rossman

完全な開示：Moshe Vardiは、特にSATでの相転移を研究しており、このトーク/ビデオでは対照的な見方をしています。

• 相転移と計算の複雑さ

グラフなどのグラフを取得します。これは、n個のノードを持つすべてのグラフのコレクションからランダムにランダムに選択されたグラフで、$G_{n,m}$$n$$m$個のエッジ種のグラフには、edges- M。ランダムグラフGnの相転移$\binom{n}{2}$$m$グラフ、ハミルトニアンサイクルを見つけるのに難しくありません。論文はhttp://arxiv.org/pdf/1105.5443.pdfです。この論文の相転移は上記のように定義されていませんが、ハミルトニアンサイクル問題のハードインスタンスとハミルトニシティと非ハミルトニシティの間に相関があることを示しています。$G_{n,m}$

Dの通常のグラフのCの色分けには、ストレッチしない限り、特にフェーズ化されていない一連の離散遷移があります。

これは、SAT17に提出するカラーリング結果の表です。いくつかの例を除いて、6つの通常グラフの3つの色付けは不可能であることに注意してください。同様に、10度グラフの4色付け... C3D5N180グラフはやや困難です。C4D9ゴールデンポイントは暫定的にC4D9N180にあります。C4D9グラフは、私が遭遇したサイズで最も困難な4cnfsであるため、C4D9は「ハードスポット」と見なされます。C5D16ゴールデンポイントは存在すると推測されますが、5色から6色までのハードスポット領域にあります。

          Universal Constants of Regular Graph Coloring

カラーリング式には、頂点ごとにlgC変数があり、合計でlgC * N変数です。エッジにはCカラーリング句があり、合計でC * M句があります。余分な色を除外するために、頂点ごとにいくつかの追加句があります。ゴールデンポイントは次のような最小のNです。頂点がNの次数DグラフのC彩色性はほぼ常に満たされ、確率は1に近い。非常に高い場合、N * Nは満足のいくものでした。超高の場合、N * N * Nのランダムインスタンスが満たされました。

高確率（1-1 / N）ゴールデンカラーポイントは次のとおりです。

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180？C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

非常に高い確率（1-1 /（N * N））の黄金色のポイントは次のとおりです。

C3D5N230？C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

超高確率（1-1 /（N * N * N））黄金色のポイントは次のとおりです。

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72？C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

この研究のランダムなインスタンスはすべて満足のいくものでした。線形確率点は、数百の満足できる式をチェックしました。二次確率ポイントは、数万の充足​​可能な式をチェックしました。3次確率ポイントは、数十万の満足できる公式をチェックしました。C4D9とC5D13のポイントは難しいです。C5D16ポイントは存在すると推測されます。1つの5色付け可能な16度ランダムインスタンスは、推測を証明します。