理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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カテゴリーごとのモナド変換子の説明
プログラミングにおけるカテゴリカルな概念に関するほとんどのリソースはモナドを説明していますが、モナド変換子のカテゴリカルな説明を見たことがありません。 モナド変換子をカテゴリー理論の観点からどのように説明できますか？ 特に、次のことに関心があります。 モナド変換子とそれに対応する基本モナドの関係。 それらと新しいモナドに変換するモナドとの関係。 モナド変換スタック。
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MAX 1 in 2 SATアルゴリズム
最大の充足可能性問題（最大土）ブール充足インスタンスでsatisifiedことができる句の最大数を求める問題です。正確に1 2におけるSAT問題は、条項2つのリテラル各セットが与えられると、求められ、各節はこのセットから正確に一つのリテラルを有するようにリテラルの集合があります。 独自の選択を行うことの複雑さ：グルスワミとトレビザンによる1-in-k SATの概算は、最大2土1土を概算する方法を提供します。彼らは単調（否定されたリテラルなし）を2 Satで最大1と述べています「多項式時間でe近似を採用しています」。 Max monotone 1 in 2 Sat問題の正確なアルゴリズムを見つけたいのですが。
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効率的な集合交差について知られていること
（あなたが整数の集合の数持っていると言う（）、およびあなたがそれらのいくつかの交点を計算したい∩ S 1、S 3、S 7は、クエリかもしれませんが、あなたがしたいです多くのそのようなクエリ、またはおそらくすべての可能なクエリをサポートするため）S1,S2...SnS1,S2...SnS_1, S_2 ... S_n∩S1,S3,S7∩S1,S3,S7\cap S_1, S_3, S_7 これを線形時間で行う明白な方法があります。準線形時間を可能にするデータ構造はありますか？（もちろん、それは一般的には不可能です：回答自体は線形サイズを持っているかもしれません。しかし、アルゴリズムは、回答サイズで線形であることや、サブ線形時間で実行され、交差点） 一般的に、問題の状態はどうですか？どのようなアプローチが知られていますか、そして難しいと知られているものは何ですか？
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加重二部マッチング問題の高速アルゴリズム
私は一連の持っているのエージェントとのセットのタスクを、と私は、コストが最小となるように正確に一つのタスクに各エージェントを割り当てる必要があります。一部のエージェントは一部のタスクと互換性がありません。nんんnんんn 私のハンガリーアルゴリズムの実装では、行列を解くのに約1分かかります。禁止された割り当てについては、コストをに設定しました。（私の問題には常に実行可能な解決策が存在します）。∞640 × 640640×640640 \times 640∞∞\infty また、CPLEXでバイナリプログラムとして設定しました。同じ問題を解決するには約9秒かかります。BIPモデルでは、これらの変数を省略して、禁止されている割り当てを完全に除外します。 CPLEXでネットワークモデルとして設定することはまだ検討していませんが、それが次のステップになる可能性があります。ただし、CPLEXとの通信にはパフォーマンスコストがかかるため、専用アルゴリズムを使用するとパフォーマンスが向上するはずです。 この2部マッチングの問題は、別の反復検索アルゴリズム内のカーネルであるため、可能な限り高速に実行する必要があります。 この場合、ハンガリーのアルゴリズムよりも優れた実装可能なアルゴリズムはありますか？または、このカーネルのパフォーマンスを向上させる方法について他に提案はありますか？
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ハイパーシーケンス：証明用語の割り当てまたはハイブリッドロジックへの変換
私は公理でモーダルロジックを見てきました （◊ A ∧ ◊ B ）→ ◊ （（A ∧ ◊ B ）∨ （A ∧ B ）∨ （A ∧ ◊ B ））（◊あ∧◊B）→◊（（あ∧◊B）∨（あ∧B）∨（あ∧◊B）） (\Diamond A \land \Diamond B) \to \Diamond((A \land \Diamond B) \vee (A \land B) \vee (A \land \Diamond B)) おおまかに言って、これはアクセシビリティ関係が線形であることを示しています。 ハイパーシーケンスを使用してこの言語の証明理論を与えることができるようです（S4.3のAndrzej IndrzejczakのCut-Free Hypersequent Calculusを参照してください）。 あるいは、ハイパーシーケンスの計算をハイブリッドロジックに変換する方法を誰かが示してくれれば、私も同じように幸せになります。 ポインタはありますか？
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分割統治/再帰がおそらく役に立たない問題はありますか？
新しい問題のアルゴリズムを構築しようとするとき、分割再帰（再帰を使用）は、最初に試行するアプローチの1つです。しかし、場合によっては、入力が増えるにつれて問題がはるかに複雑になるため、このアプローチは効果がないように見えます。 私の質問は、分割統治法のアプローチでは解決できないことを証明できる問題はありますか？次の行では、これをより正式なものにしようとしています。 LET、その入力の大き有する特定の問題である（例えば、入力の配列受け付ける問題番号）。を解くための再帰アルゴリズムがあるとします。そのアルゴリズムの再帰的な実行時間は、一定時間内にすべてのについてを解くことができるオラクルを想定して計算されます。例えば：n n P （n ）P （k ）k &lt; nP（n ）P(n)P(n)んnnんんnP（n ）P（ん）P(n)P（k ）P（k）P(k)k &lt; nk&lt;んk<n 比較と2つの再帰呼び出しのみを使用するため、バイナリ検索の再帰ランタイムはです。O （1 ）O（1）O(1) 配列の最大要素は、再帰時間ます。O （1 ）O（1）O(1) マージソートの再帰ランタイムは、マージステップのためです。O （n ）O（ん）O(n) 再帰時間は通常、実際の実行時間よりも短く、これは、再帰アルゴリズムが同じ問題に対する単純な非再帰的解決策よりも単純であるという事実を反映しています。 今私の質問は： 時間で解決できる問題はありますが、再帰的なランタイムが漸近的によりも小さい再帰的なアルゴリズムはありませんか？f （n ）f（n ）f（ん）f(n)f（n ）f（ん）f(n) この質問のいくつかの特定の変形は次のとおりです。 再帰ランタイムアルゴリズムがない問題はありますか？（たぶん仕分け？）O （1 ）PPPO （1 ）O（1）O(1) 多項式再帰ランタイムのアルゴリズムがない指数アルゴリズムに問題がありますか？ 編集：私の推測とは逆に、ソートには再帰ランタイムアルゴリズムがありますO （1 ）O（1）O(1) P O （1 ）。したがって、再帰的な実行時アルゴリズムがない問題があるかどうかにかかわらず、それはまだ開いています。PPPO （1 ）O（1）O(1)
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AMまたはMAの問題
N PにもB P Pにもないことがわかっている（またはM A）にあることがわかっている問題の例は何ですか？AMAM\mathsf{AM}MAMA\mathsf{MA}NPNP\mathsf{NP}BPPBPP\mathsf{BPP} については、次の2つの例を知っています。AMAM\mathsf{AM} グラフの非同型性： 2つのラベル付きグラフおよびHが与えられた場合、それらは頂点の順列まで同じグラフですか？GGGHHH 下には、プロトコルをバインド：あなたが集合与えられているあなたがいずれかのことを知っているように| S | ≤ α | U | または| S | ≥ 4 α | U | いくつかのために0 ≤ α ≤ 1となるようにS ∈ A M所与の（である、Y ∈ Uは、かどうかをチェックY ∈ Sはで解決することができるAS⊂{0,1}mS⊂{0,1}mS\subset\{0,1\}^m|S|≤α|U||S|≤α|U||S|\le\alpha|U||S|≥4α|U||S|≥4α|U||S|\ge 4\alpha|U|0≤α≤10≤α≤10\le\alpha\le 1S∈AMS∈AMS\in\mathsf{AM}y∈Uy∈Uy\in Uy∈Sy∈Sy\in S）、そしてあなたは | S ≥ 4 α | U | 。AMAM\mathsf{AM}|S≥4α|U||S≥4α|U||S\ge …
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ユニバーサルインデックスは存在しますか？
非常に多数のの行を含み、各行に多数ののフィールドが含まれ、各フィールドに大きな固定ビット数が含まれるデータテーブルがある場合、「インデックス」構造を構築する方法はいくつかあります。次の操作は、テーブルとインデックスに対して時間で実行できます（および基準にして）。k O （k log N ）N kNNNkkkO （k ログN）O（kログ⁡N）O(k\log N)NNNkkk 新しい要素をテーブルに挿入します。 テーブルから指定された要素を削除します。 フィールドの値のセットが与えられた場合、テーブルがフィールド1が最初、フィールド2が2のように辞書式順序にソートされたときに、指定されたフィールド値より大きいフィールド値を持つテーブル内の最初のレコードを取得します。 この構造を一般化して、操作3が完了すると、kフィールドの順序を指定して、テーブル内のレコードの順序を決定できます。k ！k！k!kkk 明らかに、これはk！インデックス、フィールドの順序ごとに1つ。次に、操作には時間がかかります。O(k!klogN)O（k！kログ⁡N）O(k!k\log N) 演算が（比べて）はるかに速く、好ましくはO （k log k log N ）時間であるアルゴリズムが必要です。kkkO(klogklogN）O（kログ⁡kログ⁡N）O(k\log k \log N) そのようなアルゴリズム/データ構造は存在しますか？もし存在していれば、誰かが今までにそれを公開して実装していたようですが、存在する兆候は見当たりません。逆に、おそらくそのようなアルゴリズムが存在しないことが証明できるでしょう。しかし、そのような証拠が存在するという兆候は見つかりませんでした。
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P対NPおよびNP = EXPTIME予想の公理（集合論）コンテキストとは何ですか？
推測またはP ≠ N Pが設定されている場合（たとえば、S。クックのクレイ数学研究所によると、ここを参照）、想定される数理公理系は何ですか？P = N PP=NP\mathbf{P} = \mathbf{NP}P ≠ N PP≠NP\mathbf{P} \neq \mathbf{NP} そのようなステートメントを証明または反証するには、いくつかの公理を仮定する必要があります。どれ？ペアノ（2次形式言語）演算のみですか？ツェルメロ、フレンケルの集合論選択公理と？小さい公理的集合論（連続体仮説はあまりにも、参照を保持例えばゲーデルの構成可能集合、ここに）？ 明らかに、それは可算無限を受け入れる公理理論であるべきです。しかし、特にどれですか？特定の公理集合論でそれらが一貫していることを証明する公開された結果はありますか？（言い換えれば、それが真であるモデルを定義するが、すべてのモデルで真であると主張するわけではない）。
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代数的数に関する指数関数
代数的な数与えられた場合、私は の特定の精度までの近似を見つけることに興味があります。ここで、は複素数の実数部を指します。ℜ （E α）ℜ （）αα\alphaR(eα)ℜ(eα)\Re(e^\alpha)R()ℜ()\Re() 形式的には、ような 有理数を計算したい| ℜ （E α）- R | ≤ 2 - Nrrr|R(eα)−r|≤2−n|ℜ(eα)−r|≤2−n|\Re(e^\alpha)-r|\leq 2^{-n} αα\alphaは（標準の）最小多項式によって与えられます。 この問題をどれだけ早く解決できますか？ 場合浮動小数点、以下の基準として与えられます。αα\alpha R.ブレント。初等関数の高速倍精度評価。JACM、1976。 答えを出すようです。 ただし、代数的数使用できるかどうかはわかりません。 αα\alpha
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この「ゲーム」（カウンターのリバランス）の価値は何ですか？
この質問は2週間前にCS.SEに投稿されましたが、満足のいく答えが得られませんでした。 次のゲームがあるとします。 無限に多くのカウンター、すべて0に初期化されています。{c1,c2,…}{c1,c2,…}\{c_1,c_2,\ldots\} 各ステップで、カウンターを選択し、その値を1増やします。cicic_i 残念ながら、ステップごとに、正の値を持つ各カウンターは1ずつ減少します。TTT また、カウンターの値はによって制限されているため、カウンターをこれ以上インクリメントすることはできません。MMM 1.好きなだけステップを与えられた場合、多くの正の値のカウンターに到達できますか？ 2.ステップ後に、いくつの正の値のカウンターに到達できますか？T⋅M−1T⋅M−1T\cdot M - 1 質問（1）の場合、ここでは、正のカウンターの詳細なビルドを示します。≈Tlog(M)≈Tlog⁡(M)\approx T\log(M) 値カウンターが未満の場合： T−1T−1T-1MMM 値が厳密によりも小さい最小インデックスカウンターをインクリメントします。MMM （これは、カウンターの合計がステップごとに増加するようにバインドされているため、収束する必要があります。）TTT ましょ。r=Tr=Tr = T の間（）c0&gt;1c0&gt;1c_0>1 a。while（）c0&gt;crc0&gt;crc_0>c_r 増分crcrc_r b。r=r+1r=r+1r = r + 1 分析のために：最初の観察は、正のカウンターの数がです。rrr ここで、が到達した最大値とします。場合、ます。用我々得る、または一般にmrmrm_rcrcrc_{r}r=Tr=Tr=TM(1−1T)M(1−1T)M(1-\frac{1}{T})r=T+1r=T+1r=T+1mr(1−1T)=M(1−1T)2mr(1−1T)=M(1−1T)2m_r(1-\frac{1}{T})=M(1-\frac{1}{T})^2∀r≥T:mr=M(1−1T)r−T+1∀r≥T:mr=M(1−1T)r−T+1\forall r\geq T:m_r = M(1-\frac{1}{T})^{r-T+1} 次に、が達成されると、ます。これは、場合にループが停止することを意味します（積分またはゲーム終了戦略を与えるか、取る）。∀mr∀mr\forall m_rc0=mrc0=mrc_0=m_rmr&lt;1mr&lt;1m_r < 1 これにより、 M(1−1T)r−T+1&lt;1M(1−1T)r−T+1&lt;1M(1-\frac{1}{T})^{r-T+1} < 1 (1−1T)r−T+1&lt;M−1(1−1T)r−T+1&lt;M−1(1-\frac{1}{T})^{r-T+1} < M^{-1} (r−T+1)log(1−1T)&lt;−logM(r−T+1)log⁡(1−1T)&lt;−log⁡M({r-T+1}) \log (1-\frac{1}{T}) < -\log …
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パターンを回避する順列のための階層的ソート戦略？
クラスの場合は順列の、我々はの順列並べ替えを期待することはできませんCを未満でO （ログ| C N |）の比較、慣例によりC、N：= C ∩ S N。CC\mathcal{C}CC\mathcal{C}O （ログ| Cん| ）O(log⁡|Cn|)O(\log |\mathcal{C}_n|)Cん：= C∩ SんCn:=C∩Sn\mathcal{C}_n := \mathcal{C} \cap S_n 特に、がサブパターンによって閉じられている場合、Marcus-Tardosの定理（J. Foxによって洗練された）がそれに続きます。C n | ≤ C NここでCがあるスタンレー・Wilf定数のC。これは次の質問につながります。最大でO （n log C ）の比較を使用してそのようなクラスをソートすることは可能ですか？この質問は、D。アーサーによる論文「高速ソートおよびパターン回避順列」の質問1を強化したものです。CC\mathcal{C}| Cん| ≤ Cん|Cn|≤Cn|\mathcal{C}_n| \leq C^nCCCCC\mathcal{C}O （n ログC）O(nlog⁡C)O(n \log C) このようなソート戦略は、本質的に「不均衡な」マージソートアルゴリズムを模倣するバイナリツリーで表すことができるようです。ここでの考え方は次のとおりです。順列与え、私たちは木を探しますT π葉標識のポイントによってπ、各ノードのためになるように、UのTがπ 2つのつの子サブツリー間の「オーバーラップが」だろうO （ログC ）（最悪の場合または平均で）。ただし、この問題を解決するには、より複雑な構造が必要だと思います。それが肯定的な解決策を認めなければならない。ππ\piTπTπT_{\pi}ππ\piuuuTπTπT_{\pi}O(logC)O(log⁡C)O(\log C)
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ニューラルネットワークレイヤーの指数ギャップ
私はそれを読むここで必要機能ファミリーが存在すること高々とニューラルネットワーク上のノードD - 1つの必要間だけ機能を表すために、層O（N ）ニューラルネットワークは、少なくともている場合のD層。ハスタッドの論文を参考にしている。見つかりませんでした。誰かが論文のタイトルを教えてもらえますか？これは本当に興味深い理論的な結果だと思います。O（ 2ん）O(2n)\mathcal{O}(2^n)d− 1d−1d - 1O（n）O(n)\mathcal{O}(n)ddd
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グラフのバーコード
永続的なホモロジーを使用すると、次の3ステップの方法を使用して、点群の（トポロジー）形状を分析できます。 「ノイズ」パラメーターでパラメーター化された点集合を単体の複合体に変換します（これにはいくつかの異なる方法があります）。 この複合体のホモロジーグループを計算します（パラメーターによってパラメーター化されます） パラメータの変化に伴うグループの変化を確認してください。 さまざまなグループの「寿命」は、形状の「バーコード」と呼ばれる間隔の集合のように見えます。 単体の複合体が単に1つのスケルトン（つまり、グラフ）である場合、バーコードがどのように見えるかについての簡単な説明はありますか？言い換えると、（点集合ではなく）グラフから始めて、上記のように残りの2つのステップを実行するとします。
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