パターンを回避する順列のための階層的ソート戦略？

クラスの場合は順列の、我々はの順列並べ替えを期待することはできません未満での比較、慣例により。 $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $O(\log |\mathcal{C}_n|)$ $\mathcal{C}_n := \mathcal{C} \cap S_n$

特に、がサブパターンによって閉じられている場合、Marcus-Tardosの定理（J. Foxによって洗練された）がそれに続きますここであるスタンレー・Wilf定数の。これは次の質問につながり最大で比較を使用してそのようなクラスをソートすることは可能ですか？この質問は、D。アーサーによる論文「高速ソートおよびパターン回避順列」の質問1を強化したものです。 $\mathcal{C}$ $|\mathcal{C}_n| \leq C^n$ $C$ $\mathcal{C}$ $O(n \log C)$

このようなソート戦略は、本質的に「不均衡な」マージソートアルゴリズムを模倣するバイナリツリーで表すことができるようです。ここでの考え方は次のとおりです。順列与え、私たちは木を探します葉標識のポイントによって、各ノードのためになるようにの 2つのつの子サブツリー間の「オーバーラップが」だろう（最悪の場合または平均で）。ただし、この問題を解決するには、より複雑な構造が必要だと思います。それが肯定的な解決策を認めなければならない。 $\pi$ $T_{\pi}$ $\pi$ $u$ $T_{\pi}$ $O(\log C)$

ds.algorithms sorting permutations

— NisaiVloot
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「サブパターンによって閉じられている」とはどういう意味ですか？これは、固定パターンを回避することと何が違うのですか？

— Sasho Nikolov 14

スタンリー・ウィルフを参照すると、これはまさに意図されているもののようです。

— Suresh Venkat 14

β

$\beta$

n \log C

$n\log C$

@SashoNikolov：一般的に呼ばれる「関与」関係の下での閉鎖を意味しました。これは、（おそらく無限の）パターンのセットを回避することと同じです。

— NisaiVloot 2014

@SureshVenkat：ツリーベースまたはワードベースの表現を許可する特定のクラスに適しています。ポリタイム表現で一般的なケースを解決することは、私の知る限り開いています。組み合わせ列挙の言語では、これはランキング/アンランキングの問題ですが、関連するリストの問題はツリーを生成することで効率的に実行できます。

— NisaiVloot 2014

$231$ $C_n$ $231$ $\pi^{-1}(n) = i$ $C_{i-1} C_{n-i}$ $231$ $[0,C_n)$ $n$ $I_1,\ldots,I_n$ $C_i C_{n-i-1}$ $i=1,\ldots,n$ $\pi^{-1}(n) = i$ $\pi|_{1,\ldots,i-1}$ $231$ $\{1,\ldots,i-1\}$ $\pi|_{i+1,\ldots,n}$ $231$ $\{i+1,\ldots,n\}$ $[0,C_{i-1})$ $[0,C_{n-i})$ $\pi$ $I_i$

$\tau \in S_3$ $\tau$ $231$ $132$ $123$ $3$

— ユヴァルフィルムス
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