理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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複雑さのクラスとロジックの対応
計算可能性とロジックのクラスを一度受講しました。この資料には、複雑性/計算可能性クラス（R、RE、co-RE、P、NP、ログスペースなど）とロジック（述語計算、1次ロジック、...）の相関関係が含まれていました。 相関には、1つのフィールドのいくつかの結果が含まれており、他のフィールドの手法を使用して取得されました。P！= NPは、ロジックの問題として攻撃される可能性があると推測されました（複雑性クラスのドメインからロジックに問題を投影することにより）。 これらのテクニックと結果の良い要約はありますか？
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決定論が難しい効率的でシンプルなランダム化アルゴリズム
多くの問題について、非常にエレガントなランダム化アルゴリズムを知っているが、決定的な解決策がないか、より複雑なだけであるとよく耳にします。ただし、これについてはほんのいくつかの例を知っています。最も顕著に ランダム化クイックソート（および関連する幾何学的アルゴリズム、たとえば凸包用） ランダム化されたミンカット 多項式IDテスト クレーの測定問題 これらのうち、ランダム性を使用しないと多項式の同一性テストのみが本当に難しいようです。 ランダム化された解決策は非常にエレガントまたは非常に効率的ですが、決定論的解決策はそうではない問題の例をもっと知っていますか？理想的には、問題は素人向けの動機付けが容易でなければなりません（たとえば、多項式の同一性テストとは異なります）。
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vs
複雑性理論の中心的な問題は、おそらく対N Pです。PPPNPNPNP 自然は、量子あるので、しかし、クラスを検討するために、より自然思わ（すなわち決定問題はすべてのインスタンスの最も1/3でのエラー確率で、多項式時間で量子コンピュータで解ける）ANS Q M Aを（N Pの量子等価物）代わりに。BQPBQPBQPQMAQMAQMANPNPNP 私の質問： 1） vs N P問題の解決策は、B Q P vs Q M Aの解決策になりますか？PPPNPNPNPBQPBQPBQPQMAQMAQMA 2）相対化、自然証明、代数化の3つの障壁は、対Q M Aの問題にも適用されますか？BQPBQPBQPQMAQMAQMA
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プログラミング言語理論の研究と未解決の課題
このようないくつかの一般的な議論の精神で、私はプログラミング言語の研究における未解決の課題とホットなトピックについて意見を集めるつもりでこのスレッドを開いています。議論がプログラミング言語の研究の将来に関する意見を表面化させることさえ期待されます。 この種の議論は、PLに興味のある私のような新入生の研究者だけでなく、すでにある程度関与している研究者にも役立つと考えています。
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大きな開かれた複雑さのギャップの問題
この質問は、既知の下限と上限の間に大きなオープンな複雑性のギャップがある問題に関するものですが、複雑性クラス自体のオープンな問題のためではありません。 具体的には、聞かせてのは、問題があり言うギャップクラス （とA ⊆ B場合は一意に定義されていないが、）Aは、私たちが証明することができたために最大クラスであることがある-hard、そしてBが上限知ら最小限であります、つまり、Bに問題を解決するアルゴリズムがあります。この手段は、私たちは、問題があることを見つける終わる場合C -completeとA ⊆ C ⊆ B見つけると対照的に、一般的に、それはしません影響の複雑さの理論をPのためのアルゴリズムN P -complete問題を。A,BA,BA,BA⊆BA⊆BA\subseteq BAAAAAABBBBBBCCCA⊆C⊆BA⊆C⊆BA\subseteq C\subseteq BPPPNPNPNP 私はとの問題には興味がないおよびB = N Pそれはすでにの目的であるので、この質問。A⊆PA⊆PA\subseteq PB=NPB=NPB=NP 可能な限りギャップクラスの問題の例を探しています。スコープと正確な質問を制限するために、私は特にに問題に興味を持ってとB ⊇ E X P T I M Eのメンバーシップの両方を意味し、PおよびE X P T I M Eを -completeness現在の知識と整合しています、既知のクラスを崩壊させることなく（このリストのクラスを言う）。A⊆PA⊆PA\subseteq PB⊇EXPTIMEB⊇EXPTIMEB\supseteq EXPTIMEPPPEXPTIMEEXPTIMEEXPTIME
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KDツリーでOctreeを使用するのはなぜですか？
科学コンピューティングの経験があり、BSP（バイナリ空間分割）アプリケーションにkdツリーを広く使用しています。最近、3Dユークリッド空間を分割するための同様のデータ構造であるoctreeにかなり精通しましたが、収集したものから一定の間隔で機能するものです。 少しの独立性調査では、ほとんどのデータセットでkdツリーのパフォーマンスが一般的に優れていることが示されているようです（構築とクエリが高速です）。私の質問は、空間的/時間的パフォーマンスまたはその他の点でoctreeの利点は何ですか？また、どの状況で最も適していますか（3Dグラフィックスプログラミングを聞いたことがありますか）？両方のタイプの利点と問題の要約は、私が最も高く評価するでしょう。 さらに、Rツリーデータ構造の使用法とその利点について詳しく説明できれば、それもありがたいです。Rツリー（octreeよりも）は、k最近傍検索または範囲検索のkdツリーとまったく同じように適用されるようです。
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TCSはどのようにしてジャーナル指向ではなく会議指向になりましたか？
免責事項：私は自分の研究分野、すなわち形式的方法、意味論、プログラミング言語理論のみを保証することができます。規律の他の部分では状況が異なる可能性があります。 TCSはむしろ会議指向になっているようです。研究者は次の会議での出版を目指しています。ジャーナルバージョンが表示される場合があります。時々そうではありません。 他の学問分野（生物学、数学、私が推測する他のほとんどの分野）では、これは前代未聞です。会議論文の執筆に費やす労力ははるかに少ないですが、会議論文の数ははるかに少なくなります。「本当の取引」は雑誌の出版物です。 この状況が良いか悪いかを議論することは、火炎戦争につながる可能性があり、正確な答えはありません。代わりに、より事実に即した質問を試してみましょう。 どのようにして会議指向になりましたか？会議論文はどのようにこれほど多くの重量を増やしましたか？
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社会科学におけるアルゴリズムレンズ
アルゴリズムレンズを通して（つまり、アルゴリズムまたは複雑さの観点から）質問を見ると、コンピューターサイエンスの「標準領域」外の分野で役立ちます。特に、CSは計算生物学による生物学、量子情報処理による物理学に影響を与えており、AIと複雑性理論は定期的に神経科学と相互作用しているようです。自然科学はTCSに比較的慣れているようです。 したがって、私の質問は、社会科学に対するTCSの影響に関するものです。 TCSが提供した社会科学に関する新規で重要な洞察は何ですか？ 私は、アルゴリズム思考が経済学に与える影響を（ゲーム理論を通じて）漠然と認識しています。実際、アルゴリズムゲーム理論は現在TCSの「標準ドメイン」の一部であるため、社会科学の既存の理論を特に変更しない限り、AGTの回答を除外できます。 私が思い出す別の例は、学習可能性対文法の生得性（すなわち、刺激の貧困）論争における言語学からです。文脈自由文法の学習不可能性に関するゴールドの定理は、生得性に対する強い議論を提供し、一部の懐疑論者を納得させるのに役立ちました（SCFGは学習可能であると思われるため、これがまだ有効かどうかはわかりません）。私は、TCSの考え方が社会科学の既存の理論の変化や形成に役立ったこのタイプの例にもっと興味を持っています。 本/調査への参照は大歓迎です。
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複雑性の仮定のアンソロジー
The Random Oracle Hypothesis Is Falseの論文では、著者（Chang、Chor、Goldreich、Hartmanis、Håstad、Ranjan、Rohatgi）がランダムオラクル仮説の意味について議論しています。彼らは、複雑性クラス間の分離についてはほとんど知らないと主張し、ほとんどの結果は、合理的な仮定の使用、またはランダムオラクル仮説のいずれかを伴います。最も重要で広く信じられている仮定は、PHは崩壊しないということです。彼らの言葉で： 1つのアプローチでは、PHには無限に多くのレベルがあるという作業仮説を仮定します。したがって、PHが有限であることを暗示する仮定はすべて不正確と見なされます。例えば、カープとリプトンは NP⊆P /ポリ場合、PHが崩壊することを示した。したがって、SATには多項式サイズの回路はないと考えられます。同様に、NPのチューリング完全なセットと多対一の完全なセットはスパースではないと考えています。マハニーはこれらの条件がPHを崩壊させることを示したからです。一つもすることができることを示す任意のkについて≥0、P S A T [ K ] = P S A T [ KΣP2Σ2P\Sigma^P_2は、PHが有限であることを意味します。したがって、すべてのk≥0に対して P S A T [ k ] ≠ P S A T [ k + 1 ]であると考えます。したがって、多項式階層が実際に無限である場合、NPの計算の複雑さの多くの側面を記述できます。PSAT[k]=PSAT[k+1]PSAT[k]=PSAT[k+1]P^{\mathrm{SAT}[k]} = P^{\mathrm{SAT}[k+1]}PSAT[k]≠PSAT[k+1]PSAT[k]≠PSAT[k+1]P^{\mathrm{SAT}[k]} \ne P^{\mathrm{SAT}[k+1]} PHが崩壊しないという仮定の他に、他の多くの複雑な仮定がありました。例えば： ヤオは、以下の仮定の妥当を認める： 。RP⊆⋂ϵ>0DTIME(2nϵ)RP⊆⋂ϵ>0DTIME(2nϵ)RP \subseteq \bigcap\limits_{\epsilon > 0} …
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LOGLOG = NLOGLOGですか？
LOGLOGは、決定論的チューリングマシン（入力への双方向アクセス）によって空間O（loglog n）で計算できる言語のクラスとして定義します。同様に、非決定的チューリングマシン（入力への双方向アクセス）によって空間O（log log n）で計算できる言語のクラスとしてNLOGLOGを定義します。これらのクラスが異なることは本当に知られていないのですか？ 古い調査とL = NL（これは単なる些細なパディング引数ではありません！）に等しい場合の定理だけを見つけることができましたが、どういうわけかこれらのクラスを分離するのはそれほど難しくないと感じています。もちろん、私は完全に間違っているかもしれませんが、入力の2ビットごとに1からnまでの数字が2進数で昇順に並んでおり、いくつかのシンボルで区切られている場合、マシンはすでにログログnを学習でき、2ビットごとに学習できます決定論的マシンを欺くことができるが、非決定論的マシンを欺くことができない問題を入力します。私はまだこれをどのように行うことができるか正確にはわかりませんが、このトリックでは基本的に深さlog nのバイナリツリーを通常のリニアテープの代わりにその構造とともに入力できるため、可能なアプローチのように感じます。
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効率的な計算のためのプログラミング言語
すべての入力で停止し、他の入力で停止するすべてのマシンを許可するプログラミング言語を記述することは不可能です。ただし、このようなプログラミング言語を標準の複雑度クラスに簡単に定義できるようです。特に、すべての効率的な計算と効率的な計算のみを表現できる言語を定義できます。 たとえば、ようなものの場合、お気に入りのプログラミング言語を使用し、プログラムを記述した後（Turing Machine対応）、ヘッダーに3つの値を追加します：整数、整数、およびデフォルト出力。プログラムがコンパイルされると、出力チューリングマシン入力与えられたのサイズの実行上のためのステップ。ステップが開始する前にが停止しない場合、デフォルトの出力出力しますM ′ c k d M x n M ′ x c n k M ′ c n k d PPPPM′M′M'ccckkkdddMMMバツxxnnnM′M′M'バツxxc nkcnkc n^kM′M′M'c nkcnkc n^kddd。誤解がない限り、このプログラミング言語を使用すると、すべての計算を表現できます。ただし、この提案された言語は本質的に興味のないものです。PPP 私の質問：計算可能な関数（すべての効率的に計算可能な関数など）のサブセットを非自明な方法でキャプチャするプログラミング言語はありますか？ない場合、これには理由がありますか？
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NP！= coNPを想定した近似の困難さ
近似結果の硬さを証明するための2つの一般的な仮定は、とUnique Games Conjectureです。想定した近似結果の硬度はありますか？「ない限り、因子内でを近似は難しい」という問題を探しています。N P ≠ c o N PP≠NPP≠NPP \neq NPNP≠coNPNP≠coNPNP \neq coNPAAAAAAαα\alphaNP=coNPNP=coNPNP = coNP 「最短ベクトル問題の因子 NP硬さを示すことは、意味する」ことが知られています。これは私が探しているものの「反対」であることに注意してください。nnnNP=coNPNP=coNPNP = coNP 明確化：あり、依然としてP対NPの質問が開かれている可能性があります。場合に偽になるが、による影響を受けない（つまり、推測として残る）近似結果の硬さを探しています。N P = c oNP=coNPNP=coNPNP=coNPNP=coNPNP=coNPNP=coNPP≠NPP≠NPP \neq NP
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インパリアッツォの世界の状況？
1995年、ラッセルインパリアッツォは5つの複雑な世界を提案しました。 1- Algorithmica：。すべての驚くべき結果をもたらします。P=NPP=NPP=NP 2-発見的方法：完全な問題は最悪の場合（）はが、平均的な場合は効率的に解決できます。NPNPNPP≠NPP≠NPP \ne NP 3-ペシランド：平均ケース完全な問題は存在しますが、一方向関数は存在しません。これは、既知のソリューションでは完全問題のハードインスタンスを生成できないことを意味します。 N PNPNPNPNPNPNP 4- Minicrypt：一方向の機能はありますが、公開鍵暗号システムは不可能です 5-暗号マニア：公開キー暗号システムが存在し、安全な通信が可能です。 計算の複雑さの最近の進歩により、どの世界が支持されていますか？選択の最良の証拠は何ですか？ ラッセル・インパリアッツォ、平均ケースの複雑さに関する個人的見解 、1995 Impagliazzoの5つの世界、 計算の複雑さのブログ
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結果
TCSアマチュアとして、私は量子コンピューティングに関する人気のある非常に入門的な資料を読んでいます。これまでに学んだ情報のいくつかの基本的なビットは次のとおりです。 量子コンピューターは、多項式時間でNP完全問題を解くことが知られていません。 「量子魔法だけでは十分ではない」（Bennett et al。1997）：問題の構造を捨てて、可能な解の空間だけを考えれば、量子コンピューターでさえ√2n2n2^n2n−−√2n\sqrt{2^n}正しいものを見つけるためのステップ（Groverのアルゴリズムを使用） NP完全問題の量子多項式時間アルゴリズムが見つかった場合、何らかの方法で問題構造を活用する必要があります（そうでない場合、箇条書き2は矛盾します）。 このサイトでこれまでに誰も質問していないように見える（基本的な）質問がいくつかあります（おそらく基本的な質問です）。仮定誰かがため有界誤り量子多項式時間アルゴリズム発見こうして確定（または他の任意のNP完全問題）、S A Tの中にB Q Pを、そして暗示N P ⊆ B Q P。SATSATSATSATSATSATBQPBQPBQPNP⊆BQPNP⊆BQPNP \subseteq BQP ご質問 そのような発見の理論的な結果はどれでしょうか？複雑度クラスの全体像にどのような影響がありますか？どのクラスが他のどのクラスと同等になりますか？ そのような結果は、量子コンピューターが古典的なコンピューターよりも本質的に優れたパワーを持っていることを示唆しているように思われます。そのような結果が物理学に与える影響はどれでしょうか？それは物理学の未解決の問題に何らかの光を発しますか？同様の結果の後、物理学は変更されますか？私たちが知っている物理法則は影響を受けるでしょうか？ 問題構造を十分に一般的な方法で（つまり、特定のインスタンスに依存しないで）利用する可能性（またはそうでない）は、P = NPの問題の核心と思われます。さて、有界誤差多項式時間量子アルゴリズムが見つかり、それが問題の構造を利用しなければならない場合、その構造活用戦略は古典的なシナリオでも使用できませんか？そのような構造活用が量子コンピューターでは可能であるが、古典的なコンピューターでは不可能であるという証拠はありますか？SATSATSAT
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