理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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PまたはNPをキャプチャするVOロジックの自然な制限はありますか？
紙 Lauri HellaとJoséMaríaTurull-Torres、 高次論理を使用したクエリの計算、TCS 355 197–214、2006。doi：10.1016 / j.tcs.2006.01.009 ロジックVO、可変順序ロジックを提案します。これにより、変数の次数の定量化が可能になります。VOは非常に強力で、計算不可能なクエリを表現できます。 （以下のArthur Milchiorが指摘したように、分析階層の全体を実際にキャプチャします。） 著者は、順序変数に対する限定された普遍的数量化のみを許可することで得られるVOのフラグメントがすべてのceクエリを正確に表現することを示しています。VOでは、順序変数の範囲が自然数に及ぶため、順序変数の境界は明らかに自然条件です。 PまたはNPをキャプチャするVOの（素敵な）フラグメントはありますか？ 類推として、オブジェクトのセットを定量化できる古典的な1次論理では、2次論理またはSO と呼ばれるより強力な論理が得られます。SOは、多項式階層全体をキャプチャします。これは通常、PH = SOと記述されます。重要な複雑性クラスをキャプチャするSOの制限された形式があります：NP = SO、P = SO-Horn、およびNL = SO-Krom。これらは、許可された式の構文に制限を課すことによって取得されます。∃∃\exists したがって、興味深いクラスを取得するためにSOを制限する簡単な方法があります。PまたはNPの表現力のほぼ適切なレベルであるVOの同様の単純な制限があるかどうかを知りたいです。そのような制限が知られていない場合、私は有望な候補者への提案、またはそのような制限が存在しそうにない理由に興味があります。 これを引用している（数少ない）論文をチェックし、GoogleとScholarの明白なフレーズをチェックしましたが、明らかに関連性のあるものは見つかりませんでした。一次よりも強力なロジックを扱っている論文のほとんどは、「合理的な」計算の領域にパワーを落とす制限を扱っていないようですが、算術および分析クラスのceユニバースに満足しているようです。検索するためのポインターまたは非自明なフレーズに満足します。これは、高階のロジックで働いている人にはよく知られているかもしれません。
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「分割統治」データストリームアルゴリズム
巨大なデータストリームで機能し、その結果もかなり小さく、何らかの方法で結果をマージすることで2つのストリームの混合の結果を計算できる、有用なアルゴリズムは何ですか？ いくつか例を挙げます： sum、min、max、count、top-Kなどの明らかなもの ヒストグラム、個別のアイテムのカウント、または分位の計算のための、いわゆる「スケッチベース」ストリームアルゴリズムの近似 他に何がありますか？ （私は、その有用性がそのようなアルゴリズムの有用性によって直接決定される分散システムを監視するための趣味のプロジェクトを書いているので、興味があります）
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実際のアプリケーションで実際に使用されている秘密共有スキームの例は何ですか？
概念秘密分散方式では、多くの場合、シャミルに起因している（A.シャミール、秘密を共有する方法、Commの。ACM、22（1979）、頁612-613。）及びブレイキー（GRブレイキー、暗号鍵の保護、中Proc。NCC、vol。48、1979、pp。313-317。）。 全体的な考え方は、一部の秘密Sが参加者から隠されているということです。参加者は代わりにそれぞれ共有s iを受け取ります。すべての参加者が協力することを決定した場合、各参加者はそれぞれの共有をコンバイナに送信し、コンバイナは共有s iからSを再構築します。 秘密共有スキームに関する論文では、実際のアプリケーション（銀行の金庫など）に言及していることがよくあります。しかし、これらは仮想の「現実世界」のアプリケーション（つまり、象牙の塔の次の階）であり、実際に秘密の共有スキームを使用する銀行（または他の会社）に名前を付けることができるとは疑っています。質問：実際の実際の例は何ですか？ 理想的には、私は答えを含むようにしたいと思います：会社Xで彼らはZを保護するために秘密共有方式Yを使用します（詳細についてはABCを参照）。
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ハイパーグラフのほぼ最適なエッジ彩色のための効率的なアルゴリズム
グラフの色分けの問題は、ほとんどの人にとってすでに困難です。それでも、私は困難になり、ハイパーグラフの色付けに関する問題を尋ねる必要があります。 質問。 k-均一ハイパーグラフのほぼ最適なエッジカラーリングを見つけるための効率的なアルゴリズムは何ですか？ 詳細--- k-均一ハイパーグラフは、各エッジに正確にk個の頂点が含まれるハイパーグラフです。単純なグラフの通常の場合は、k = 2です。より正確には、2つのエッジが実際に同じ頂点セットを持つラベル付き k-均一ハイパーグラフに興味があります。ただし、エッジがk-1以下の頂点で交差するk正規ハイパーグラフで何かを解決します。 ハイパーグラフのエッジカラーリングは、グラフの場合のように、同じ色のエッジが交差しないものです。色度指数χ '（H）は、通常のように、必要な色の最小数です。 決定論的またはランダム化された多項式時間アルゴリズムの結果が欲しいです。 効率的に見つけることができるものと実際の色指数χ '（H）の間の最もよく知られている近似係数/加算ギャップを探しています最大頂点次数Δ（H）、ハイパーグラフのサイズなど。 編集：以下のハイパーグラフ双対に関するSureshの発言によって促されます。この問題は、k正規ハイパーグラフの強い頂点カラーリングを見つける問題と同等であることに注意する必要があります。現在、異なる数の頂点が含まれている可能性があります]。また、隣接する2つの頂点の色が異なるように頂点を色付けする必要があります。この再定式化にも明らかな解決策はないようです。 備考 グラフの場合、Vizingの定理は、グラフGのエッジクロマティック数がΔ（G）またはΔ（G）+1であることを保証するだけでなく、その標準的な証明は、Δ（G ）+1エッジ色。この結果は、k = 2の場合に興味があれば十分でしょう。ただし、k> 2任意に特に興味があります。 最大でt個の頂点で交差するすべてのエッジなどの制限を追加しない限り、ハイパーグラフのエッジの色付けの境界に関する既知の結果はないようです。ただし、χ '（H）自体に境界は必要ありません。「十分な」エッジカラーリングを見つけるだけのアルゴリズム。[また、ハイパーグラフに制限を付けたくありません。ただし、k-均一であることと、最大頂点次数の範囲を除きます。たとえば、f∈ω（1）に対してΔ（H）≤f（k） 。] [ 補遺。私が今求めているMathOverlowに関連する質問を建設あるいは、彩色数の限界について。]
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ストリーミングのデランダム化
ストリームアルゴリズムでは、ほとんどの場合、自明ではないことを行うためにランダム化が必要です。また、スペースが小さいため、スペースをほとんど使用しないPRGが必要です。これまでにストリームアルゴリズムで使用するために引用された2つの方法を知っています。 kkk元の推定問題のためにAlon / Matias / Szegedyが使用する4ワイズ独立ファミリーのようなワイズ独立PRG 、および（たとえば）スケッチのための2安定性ベースの方法の一般化F2F2F_2ℓ2ℓ2\ell_2 あらゆる種類の小さなスペースの問題に対して一般的に機能するNisanのPRG。 実装できるメソッドに特に興味があります。一見、上記のアプローチはどちらも比較的簡単に実装できるように見えますが、他に何かあるかどうか興味があります。
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SQ学習の計算クエリの複雑さ
PAC学習には、計算的に制限のない学習者による情報理論学習に必要なサンプルの複雑さと、多項式に必要なサンプルの複雑さとの間に多項式のギャップがある自然概念クラス（決定リストのサブセットなど）があることが知られています時間学習者。（例：http : //portal.acm.org/citation.cfm?id=267489&dl=GUIDEまたはhttp://portal.acm.org/citation.cfm?id=301437を参照） ただし、これらの結果は特定の例では秘密のエンコードに依存しているように見えるため、学習者が分布の統計的特性を照会するだけの学習のSQモデルに自然に変換されません。 O（f（n））クエリを使用してSQモデルの情報理論学習が可能なコンセプトクラスが存在するかどうかが知られていますが、計算効率の高い学習はg（n ）>> f（n）？
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無線ネットワークでのローカリゼーションの複雑さ
異なる点をます。| ij |の場合、点とは近傍であると言います。&lt;3 \ pmod {n-2}。各ポイントは、インデックスが2以内のポイントを持つ近傍であり、折り返します。R 21...n1...n1 ... nR2R2\mathbb{R}^2iiijjj2|i−j|&lt;3(modn−2)|i−j|&lt;3(modn−2)|i-j| < 3 \pmod{n-2}222 問題は： 近隣の各ペアに対して、ペアごとの距離が与えられ（どの距離がどのポイントに対応するかがわかります）、すべてのポイントのペアごとの距離を再構築する必要があります。私の質問は、このローカリゼーションの問題の複雑さは何ですか？ 多項式時間アルゴリズムを知りません。 これは、アドホックに配置されたエージェントが辞書編集の隣人とワイヤレスで通信できるセンサーネットワークのローカリゼーションの問題に動機付けられており、その位置を再構築する必要があります。 ジオメトリ/ローカリゼーションの問題についてはあまり知らないので、これは簡単かもしれません。私が知っている最も近い問題は、最近@Suresh Venkatによってこのフォーラムで指摘されたTurnpike問題です。
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O（1）concatを使用した単純なバランスのとれたツリー？
では純粋に機能最悪の時定数Catenableソートリスト、Brodalら。O（1）連結およびO（lg n）挿入、削除、および検索を備えた純粋に機能的なバランスの取れたツリーを提示します。データ構造はやや複雑です。 O（1）連結、機能的またはそうでないより単純なバランスのとれた検索ツリーはありますか？
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PCP定理証明の技術的な問題
私はここから証拠を読んでいて、技術的な（まだ重大な）問題に出くわしました。これはかなり具体的であり、コンテキストに問題があることは知っていますが、自分では理解できませんでした。 51ページと55ページでは、「標準」検証者を提示した後、分割割り当てを確認するために検証者を変更します。 最初のケース（p。51）が多項式コードに近いことを確認し、代数化（+ゼロテスター）を使用して、多項式のファミリー（Sum-（に最も近い多項式コードのコードワード）の3つの値が与えられたポイントでそれぞれ評価できる入力式に関連するプロパティを確認します。）。f1,…,fkf1,…,fkf_1,\dots,f_k0.010.010.01f˜1,…,f˜kf~1,…,f~k\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_kf1,…,fkf1,…,fkf_1,\dots,f_k 2番目の場合（p。55）が近いことをチェックし、関数を特別な合計として定義します。ようなそれぞれの値が所定の時点で評価することができる（の線形関数クローゼット）。f1,…,fkf1,…,fkf_1,\dots,f_k0.010.010.01ffff˜1,…,f˜kf~1,…,f~k\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_kffff˜1,…,f˜kf~1,…,f~k\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_kf1,…,fkf1,…,fkf_1,\dots,f_k 次に、両方のケースで、ファミリー/ランダム多項式の値に対してテスト（Sum-CheckまたはTensor + Hadamard）を実行します。f˜f~\widetilde{f} 私の問題は、のそれぞれの必要な値を再構築する手順は、無視できない一定の確率で誤った値を提供する可能性があることです。さらに、すべての値が正しく再構築される確率は非常に低く、定数についてはのみです。そして、これは両方の場合に当てはまります。f˜if~i\widetilde{f}_ickckc^kccc 検証者のステップのいくつかは、ターゲット関数 /ファミリーwhpから多項式の値を取得する必要があるため、これは悪い場合がありますfff そのため、各「再構成代数手順」を回繰り返し使用することにより、成功確率を増幅する必要があり。O(logk)O(log⁡k)O(\log k)f˜if~i\widetilde{f}_i さて、ブローアップ（比較的オリジナルの検証のクエリの複雑さに）サブ・ルーチンのクエリの複雑さがより若干大きくなっていることを、この手段、それはすなわち（とは対照的に「保証された」-「望まれた」定理の声明における爆発。kkkO(klogk)O(klog⁡k)O(k\log k)O(k)O(k)O(k) これは問題なのでしょうか、それとも何かが欠けているのでしょうか（おそらくそうなのでしょうか）？
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もっと「理論志向」になるには？
これについては、前もっておび申し上げます。閉じた正しい答えのないソフトな質問です。これはおそらく私の質問をするのに最適なフォーラムです。 私は、米国のトップ15の学校の理論グループの3年生です。これまでのところ、私はきちんとやっています。私はこれまでに第一著者の理論論文と第一著者の実用論文を持っています。私のアドバイザーは私のスキルを磨くのを手伝ってくれましたが、行き詰まってしまいました（そして無力になりました）。 これまでのところ、私の顧問は、常に正しい方向を示し、研究問題への答えを見つけるのに役立った正しい質問（抽象的すぎず、具体的すぎない）を提示する助け手と指導力でした。もっと「自立した」、つまり正しい質問をして結果を証明しようとすると、悲惨に失敗し、すぐに圧倒されたと感じます。私は理論博士課程の学生の成熟度をまだ持っていないように感じます。そこでは正しい質問を自問し、答えを出すことができます。言い換えれば、正しい定義といくつかの手持ちを考えると、私は物事を行うことができますが、そうでなければ、それは非常に困難になります。証拠を書くことになると、私のずさんなことも助けにはなりません。 スキルを磨き、物事をより早く把握し、手持ちをあまり必要としない「理論志向」になる方法についてのアドバイスを探しています。一つの答えは単に仕事を続け、経験が私を賢くすることを願うことですが、これがどのように機能するかはわかりません。私が持っている唯一の解決策は、実際に私の地域の最近の論文を調べて、できる限り詳細に証拠を手書きで書き、証拠を書くスキルを直し、直観を構築することです。 どんなアドバイスも非常に役立ちます。質問が不明な場合や詳細が必要な場合はお知らせください。
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検索よりも検証が簡単な対数長さの証人の例
簡単な観察は、問題が非決定性ビットを使用する多項式時間非決定性プログラムによって決定できる場合（つまり、すべての目撃者の長さが対数である場合）、です。O （ログN ）A ∈ PAAAO （ログn ）O(log⁡n)O(\log n)A∈PA∈PA \in \mathsf{P} 次に、「証人を見つけるよりも証人を確認する方が簡単ですか？」という質問をした場合、そのような問題に対して、すべての多項式実行時間を同等と見なすと、すべての潜在的な目撃者を検索することで多項式時間でそのような目撃者を見つけることができるため、答えはノーです。 しかし、多項式の実行時間の細かな区別を考慮するとどうなりますか？、発見するよりも検証しやすい対数長の証人の自然な問題の具体例があるかどうか疑問に思います。ここで、「簡単」とは多項式の実行時間が短いことを意味します。PP\mathsf{P} たとえば、グラフで完全に一致する既知のアルゴリズムは多項式時間を必要としますが、ノードのグラフでは時間を超えます。しかし、組のノードのセット（目撃者）が与えられた場合、が一致していることを時間内に簡単に検証できます。ただし、マッチング自体はエンコードするためにビットで必要です。n n / 2 O （n ）Ω （n ）O(n)O(n)O(n)nnnn/2n/2n/2O(n)O(n)O(n)Ω(n)Ω(n)\Omega(n) 目撃者が対数の長さを持つ検証と発見の類似の（見かけ上の）高速化を達成する自然な問題はありますか？
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最小の通常のラムダ項が最速ではない例
してみましょうsizesizesizeのλλ\lambda次のように定義され-terms： size(x)=1size(x)=1size(x) = 1、 size(λx.t)=size(t)+1size(λx.t)=size(t)+1size(λx.t) = size(t) + 1、 size(ts)=size(t)+size(s)+1size(ts)=size(t)+size(s)+1size(t s) = size(t) + size(s) + 1。 λλ\lambda -term tの複雑さを、txからその正規形へのttt並列ベータ削減の数として定義する（Levyの意味で最適な評価を使用）。txtxt x 私は同じ関数に対して2つの通常の λλ\lambda -termsの例を探しています。ここで、より大きな用語はより複雑ではありません。 ... 明確にするために編集する 私が尋ねていることは明らかではないように思えるので、堅実な例を挙げようとします。多くの場合、関数の「単純な」/「最も単純な」定義は遅く、最適ではないという考えがあります。データ構造や数式などを追加する必要があるため、パフォーマンスが向上すると用語の複雑さが増します。優れた例はfibonacci、「単純」に次のように定義できます。 -- The fixed fibonacci definition fib_rec fib n = if (is_zero x) then 1 else fib (n - 1) + f (n - …
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