多項式階層（PH）の崩壊に十分な条件

真実であれば、PHは崩壊しなければならないといういくつかの（よく知られていない）主張は何ですか？

参照を含む短い高レベルのアサーションを含む返信を歓迎します。あまり運のない逆検索を試みました。

多項式サイズのカーネル化の存在がPHの第3レベルへの崩壊を示唆する、パラメーター化された複雑な結果が（増加している）数あります。中心的な手法は、[1]に示されており、事前の作業に基づいています（[1]を参照）。

簡単な例として、パスの問題は、最長パスの問題のパラメーター化されたバージョンです。$k$

$k$ Path インスタンス：グラフと整数。パラメータ：。質問：は長さパスが含まれていますか？ G k k G k
$G$$k$
$k$
$G$$k$

この問題はFPT（多少実用的なアルゴリズム）にありますが、[2]では、多項式サイズのカーネル（）がある場合、PHが崩壊することを示しています。（現在のプレゼンテーションは、NP coNP / polyまたはcoNP NP / polyでない限り、通常、負の角化結果として表現されます。Σ P 3 ⊆ $k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

参照資料

1. HL Bodlaender、BMP Jansen、およびS. Kratsch、「クロスコンポジションによるカーネル化下限」、SIAM J. Discrete Math。、28（2014）、pp。277–305。[arXivバージョン]
2. HL Bodlaender、RG Downey、MR Fellows、D。Hermelin、「多項式カーネルのない問題について」、Journal of Computer and System Sciences、75（8）：423-434。2009. [スタンフォードホスト版]

ここで別のある興味深い条件第3のレベルまで下多項式階層崩壊：NP完全言語がランダム自己還元（非適応）を有していると仮定し、そして多項式階層に崩壊。参考：ルカ・トレビザンのノートをご覧ください。（定理67）$\Sigma_{3}^{P}$

別の興味深い条件はこれです：

我々は、近似することを知っているであるB P P N P（ここでB P PでΣ P 2近似せる＃3 S A TでΣ P 3）。$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

また、戸田の定理により、。$PH \subseteq P^{\#P}$

これら2つを組み合わせると、次のようになります。近似することが＃3 S A Tを正確に計算することに等しい場合、多項式階層が崩壊します。$\#3SAT$$\#3SAT$

参照：

[1]ジム・カディン、ブール階層が崩壊すると多項式時間階層が崩壊する、SIAM Journal on Computing 17（1988）、いいえ。6、pp。1263–1282、doi：10.1137 / 0217080。

[2]リチャード・チャンとジム・カディン、ブール階層と多項式階層：より密接な関係、SIAM Journal on Computing 25（1996）、no。2、pp。340–354、doi：10.1137 / S0097539790178069。

$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

別の形式化は次のとおりです。

$\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$$\mathsf{PH}$

$A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$$A \implies B$

$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. $\mathbb{PH}$
2. $\mathbb{PH}$

$\mathbb{PH}$

簡潔なものを次に示します。

1. $PSPACE \subseteq P/poly$
2. $EXP \subseteq P/poly$
3. $NP \subseteq P/log$