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境界条件がすべて1つのタイプである場合、高速フーリエ変換を使用してポアソン問題を解くことができると聞きました。ディリクレの正弦級数、ノイマンの余弦、および周期の両方です。2Dの長方形のドメインを考えて、2つの反対側に周期的な境界条件があり、他の2つにはディリクレ条件があるとします。この問題を効率的に解決するために、高速フーリエ変換を適用できますか？もしそうなら、指数形式は十分ではないでしょうか？そうでない場合、この状況に対してどのソルバーをお勧めしますか？

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不連続なガラーキン有限要素ソルバーとリーマンソルバーを結合する優れた論文やコードはありますか？ 楕円問題と双曲線問題の結合を探る必要がありますが、ほとんどの分割方法はせいぜいアドホックです。私は大量のFEniCSコードを持っているので、リーマンソルバーをそれと組み合わせたいだけです。単純なRoeソルバーが最初ですが、もっと複雑な方法を使用するためのガイダンスを探しています。

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一般に、ディリクレ境界条件は、非均質境界条件のFEMに対して正確に満たされません。私が見たFEMコードは、ディリクレ境界条件を補間するための自由度を設定しましたが、これに対する数学的な正当化は見つかりませんでした。必須の境界条件を設定すると、おそらく計算コストが高くなりますが、おそらくエラーの一部の機能を最小限に抑える必要があります（たとえば、Dirichlet BCが適用される境界の部分で）。| | u− uh| |||あなた−あなたh|| ||u -u_h|| このようにBCを設定する正当な理由はありますか。

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タイトルはそれのほとんどを言います。 Android（NDK）プロジェクトに使用できる軽量で使いやすいライブラリを探しています。 密度の高いものについては、Eigenを使用するのが好きですが、プロジェクトで「正常に動作する」スパースなもののための包括的な（そして文書化された）ライブラリは多くありません。 PETScはこれらすべてのMPIのことで少し重いようですが、それは私の第一印象にすぎません。助言がありますか？

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ニュートン反復法を非線形PDEに適用し、完全に陰的なスキームを使用してタイムステップを計算する方法を理解できません。たとえば、バーガース方程式を解きたい あなたt+ u uバツ- Ux x= 0ut+uux−uxx=0u_{t} + u u_{x} - u_{xx} = 0 バックワードオイラーを使用して時間を離散化する あなたt= un + 1- Uんhut=un+1−unhu_{t} = \frac{u^{n+1} - u^{n}}{h} 私たちはそれを見つけます あなたn + 1- Uんh+ un + 1（un + 1）バツ− （un + 1）x x= 0あなたn + 1− h （un + 1）x x+ H Un + 1（un …

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弾性固体の運動方程式は、 ∇⋅σ+f=ρu¨σ=Cεε=12(∇u+[∇u]T)∇⋅σ+f=ρu¨σ=Cεε=12(∇u+[∇u]T)\begin{align} &\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \rho \ddot{\mathbf{u}}\\ &\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C}\boldsymbol{\varepsilon}\\ &\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left(\nabla \mathbf{u} + [\nabla\mathbf{u}]^T\right) \end{align} またはインデックス表記 σij,j+fi=ρui¨σij=Cijklεklε=12(ui,j+uj,i)σij,j+fi=ρui¨σij=Cijklεklε=12(ui,j+uj,i)\begin{align} &\sigma_{ij,j} + f_i = \rho \ddot{u_i}\\ &\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}\\ &\varepsilon = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \end{align} uu\mathbf{u}は変位ベクトル、ff\mathbf{f}は物体力（ソース項）、σσ\boldsymbol{\sigma}は応力テンソル、εε\mathbf{\varepsilon}はひずみテンソル、CC\mathbb{C}は剛性テンソルです。等方性固体の場合、剛性テンソルは2つの異なる定数で記述されます。境界のないドメインの場合、方程式は非結合の2種類の波を認め、安定性の基準は2つの異なるケースの最悪のケース（つまり、 、より高速なもの）。 以下のために横等方性材料テンソルを定義する5つの独立したパラメータ、および波（それらの2が結合している）の3種類があります。より一般的なケースでは、パラメーターの数は21で、波は結合されます。 質問：一般的な場合のタイムマーチングアルゴリズムの安定性の基準をどのようにして見つけますか？

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私は有限要素を使用してストークスフロー問題をコード化し、それが機能することを確認しているところです。メッシュをグローバルにリファインするときに、どの収束率を期待するべきかわかりません。 線形基底関数を使用するスカラー問題については、次数収束（hは要素のサイズ）を期待し、二次基底関数を使用すると、L 2ノルムで次数h 3の収束、H 1で1の累乗が少ないことを期待します。セミノルム。私が今持っている問題は、ストークスフローをコーディングするときに、圧力には線形、速度成分には2次を使用するテイラーフード要素を使用したことです。それはh 3で収束する速度とh 2次の圧力と同じくらい簡単ですか？h2h2h^2hhhh3h3h^3L2L2L^2H1H1H^1h3h3h^3h2h2h^2 私は最初にこれをmathoverflowに投稿し、このフォーラムに適しているかもしれないと言われました。

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私は以前にやや似たような質問をしましたが、おそらくあまりに具体的すぎて誰も本当に答えることができなかったかもしれません。これが私が苦労している質問のもう少し一般的なものです。次のシステムを考えてみましょう： ∂ U 2- ∇ ⋅ （D1（u2）∇ U1）= ∇ ⋅ F1（u2）−∇⋅(D1(u2)∇u1)=∇⋅f1(u2) -\nabla\cdot(D_{1}(u_{2})\nabla u_{1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2}) ∂あなた2∂t+ ∇ ⋅ F2（u1、あなた2）- ∇ ⋅ （D2（u2）∇ U2）= 0∂u2∂t+∇⋅f2(u1,u2)−∇⋅(D2(u2)∇u2)=0 \frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2})\nabla u_{2}) = 0 BCの一般的なセットを想定： D I ∇ U I ⋅ N = U 、I 、N、あなた私= u私、D、オンΓDui=ui,D,onΓD u_{i} = u_{i,D}, …

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解くPDEのシステムがあるとします。少なくとも簡単にするために、それが時間に依存せず、（x、y）空間の長方形グリッド上で解決された準線形（その導関数では線形）であり、境界条件がすべて指定されていると仮定しましょう。私の質問はより一般的ですが、ここから始めましょう。 2つの従属変数、とv （x 、y ）がある場合があります。一般的な方程式は次のような形になります。u （x 、y）あなた（バツ、y）u(x,y)v （x 、y）v（バツ、y）v(x,y) a （x 、y）Yx x+ b （x 、y）Yyy+ c Yx y+ d（x 、y）Yバツ+ e （x 、y）Yy= f（x 、y、Y）a（バツ、y）Yバツバツ+b（バツ、y）Yyy+cYバツy+d（バツ、y）Yバツ+e（バツ、y）Yy=f（バツ、y、Y） a(x,y) Y_{xx} + b(x,y) Y_{yy} + cY_{xy} + d(x,y) Y_x + e(x,y) Y_y = f(x, y, Y) ここで、からeまでのすべての関数は2x2行列、fは2x1行列、YはaaaeeefffYYY Y（x 、y）= （u （x 、y）v （x …

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このPDEを解決したい： 現在、ADIメソッドを使用して時間微分（部分d /部分t）を含む非常に類似したpdeのpdeソリューションを自動的に生成するコードがあります。 接続されたpdeを時間微分を含むpdeで近似する方法があるかどうか疑問に思いますか？ 一次元のpdesにはアプローチがあることを知っています。たとえば、添付されたpdeですべてのY導関数を削除した場合、pdeは、時間導関数を追加し、拡散項に大きな数を乗算することで、暗黙的なステップと1ステップを使用して近似できます。 助けていただければ幸いです、ありがとう、ロブ

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移流方程式は、Crank-Nicolson法で使用するために離散化する必要があります。誰かがその方法を教えてもらえますか？

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与えられた3次元ポアソン方程式 と右辺とドメイン、Iは、機能上の任意の境界条件（BC）を課すことが解放午前φ、または実行彼らはどういうわけか右側と一致する必要がありますか？特に、定期的なBCを課す場合、右側のソリューションは1つだけでしょうか？∇2ϕ(x,y,z)=f(x,y,z)∇2ϕ(x,y,z)=f(x,y,z) \nabla^2 \phi(x, y, z) = f(x, y, z) ϕϕ\phi たとえば、聞かせて とIボックスに解決する（0 、1 ）× （0 、1 ）× （0 、1 ）。今、すべてのソリューションは、の合計でなければなりませんφ 0 + φ 1： φf(x,y,z)=−3π2sin(πx)sin(πy)sin(πz)f(x,y,z)=−3π2sin⁡(πx)sin⁡(πy)sin⁡(πz) f(x, y, z) = - 3 \pi^{2} \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )} (0,1)×(0,1)×(0,1)(0,1)×(0,1)×(0,1)(0, 1)\times …

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私は放物線システムがあるととディリクレの境界条件 U = G 、あなたt= ∇ ⋅ （K （X ）∇ U ）+ F、（X 、T ）∈ Ω × Iut=∇⋅(k(x)∇u)+f,(x,t)∈Ω×Iu_t=\nabla\cdot(k(x)\nabla u)+f,\quad (x,t)\in\Omega\times Iと初期条件 U （X 、T ）= H 、u = g、X ∈ ∂Ωu=g,x∈∂Ωu=g, \quad x\in\partial\Omegau （x 、t ）= h 、t = 0。u(x,t)=h,t=0.u(x,t)= h,\quad t=0. 多くの場合、エンジニアリングでは、過渡的な動作ではなく、このPDEの漸近的な（定常状態の）動作に関心があります。だから、私達は時々時間微分項を無視し、楕円系を解く 代わり。仮定は、その無限の時間をかけて、 LIM T → ∞ U P …

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私は数値手法に関する本を読んでおり、離散L2L2L^2ノルムの2乗は次のように定義されます||x||22=h∑1Nx2i||x||22=h∑1Nxi2||x||^2_2=h\sum_1^Nx^2_i すべてのポイントに「重み」、つまりhhhが割り当てられるため、これはすべてのポイントの値の2乗の平均に似ています。これは実際には、連続積分の近似から来ています。一方で、グリッドが間隔不均一である同様のノルムhihih_iを|として定義できますか？| x | | 2 2 = N ∑||x||22=∑1Nhix2i||x||22=∑1Nhixi2||x||^2_2=\sum_1^Nh_ix^2_i これは連続積分をこのように近似することもできるので自然に思えますが、本の中で疑わしいと思ったので、何かが足りないのです！したがって、不均一なグリッドがあり、この基準でいくつかの見積もりを作成したい場合、どのように定義する必要がありますか？

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私の数値解と比較するために、正確な解を持つデカルト座標のヘルムホルツ方程式と双調和方程式の例を探しています。 境界条件の問題が正確に定義されているインターネット上で、かなりの数の例を見つけることができました。残念ながら、これらは単なる例であり、正確な解決策は示されていません。 （math.stackexchange.comのように）ソリューションの製造について勇気づけられました。その場合、PDEのスペシャリストが認識しているいくつかの興味深い例は処理されないのではないかと恐れていました。たとえば、楕円形のBVPに関するWikipedaの記事にあるものは興味深いものです。 特定の例、またはWebページや論文への便利なリンクが評価されます。

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